ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  m1modge3gt1 GIF version

Theorem m1modge3gt1 10389
Description: Minus one modulo an integer greater than two is greater than one. (Contributed by AV, 14-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
m1modge3gt1 (𝑀 ∈ (ℤ‘3) → 1 < (-1 mod 𝑀))

Proof of Theorem m1modge3gt1
StepHypRef Expression
1 1p1e2 9054 . . . 4 (1 + 1) = 2
2 2p1e3 9070 . . . . . 6 (2 + 1) = 3
3 eluzle 9558 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (ℤ‘3) → 3 ≤ 𝑀)
42, 3eqbrtrid 4053 . . . . 5 (𝑀 ∈ (ℤ‘3) → (2 + 1) ≤ 𝑀)
5 2z 9299 . . . . . 6 2 ∈ ℤ
6 eluzelz 9555 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (ℤ‘3) → 𝑀 ∈ ℤ)
7 zltp1le 9325 . . . . . 6 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (2 < 𝑀 ↔ (2 + 1) ≤ 𝑀))
85, 6, 7sylancr 414 . . . . 5 (𝑀 ∈ (ℤ‘3) → (2 < 𝑀 ↔ (2 + 1) ≤ 𝑀))
94, 8mpbird 167 . . . 4 (𝑀 ∈ (ℤ‘3) → 2 < 𝑀)
101, 9eqbrtrid 4053 . . 3 (𝑀 ∈ (ℤ‘3) → (1 + 1) < 𝑀)
11 1red 7990 . . . 4 (𝑀 ∈ (ℤ‘3) → 1 ∈ ℝ)
12 eluzelre 9556 . . . 4 (𝑀 ∈ (ℤ‘3) → 𝑀 ∈ ℝ)
1311, 11, 12ltaddsub2d 8521 . . 3 (𝑀 ∈ (ℤ‘3) → ((1 + 1) < 𝑀 ↔ 1 < (𝑀 − 1)))
1410, 13mpbid 147 . 2 (𝑀 ∈ (ℤ‘3) → 1 < (𝑀 − 1))
15 eluzge3nn 9590 . . 3 (𝑀 ∈ (ℤ‘3) → 𝑀 ∈ ℕ)
16 m1modnnsub1 10388 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → (-1 mod 𝑀) = (𝑀 − 1))
1715, 16syl 14 . 2 (𝑀 ∈ (ℤ‘3) → (-1 mod 𝑀) = (𝑀 − 1))
1814, 17breqtrrd 4046 1 (𝑀 ∈ (ℤ‘3) → 1 < (-1 mod 𝑀))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 105   = wceq 1364  wcel 2160   class class class wbr 4018  cfv 5231  (class class class)co 5891  1c1 7830   + caddc 7832   < clt 8010  cle 8011  cmin 8146  -cneg 8147  cn 8937  2c2 8988  3c3 8989  cz 9271  cuz 9546   mod cmo 10340
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7920  ax-resscn 7921  ax-1cn 7922  ax-1re 7923  ax-icn 7924  ax-addcl 7925  ax-addrcl 7926  ax-mulcl 7927  ax-mulrcl 7928  ax-addcom 7929  ax-mulcom 7930  ax-addass 7931  ax-mulass 7932  ax-distr 7933  ax-i2m1 7934  ax-0lt1 7935  ax-1rid 7936  ax-0id 7937  ax-rnegex 7938  ax-precex 7939  ax-cnre 7940  ax-pre-ltirr 7941  ax-pre-ltwlin 7942  ax-pre-lttrn 7943  ax-pre-apti 7944  ax-pre-ltadd 7945  ax-pre-mulgt0 7946  ax-pre-mulext 7947  ax-arch 7948
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-pnf 8012  df-mnf 8013  df-xr 8014  df-ltxr 8015  df-le 8016  df-sub 8148  df-neg 8149  df-reap 8550  df-ap 8557  df-div 8648  df-inn 8938  df-2 8996  df-3 8997  df-n0 9195  df-z 9272  df-uz 9547  df-q 9638  df-rp 9672  df-fl 10288  df-mod 10341
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator