Theorem eqsstrid 3294

Description: B chained subclass and equality deduction. (Contributed by NM, 25-Apr-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqsstrid.1	⊢ 𝐴 = 𝐵
eqsstrid.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
eqsstrid	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)

Proof of Theorem eqsstrid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqsstrid.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐶)
2		eqsstrid.1	. . 3 ⊢ 𝐴 = 𝐵
3	2	sseq1i 3274	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐶 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐶)
4	1, 3	sylibr 134	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ⊆ wss 3220

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-11 1559  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-in 3226  df-ss 3233

This theorem is used by:  eqsstrrid  3295  inss  3461  difsnss  3861  tpssi  3884  peano5  4747  opabssxpd  4813  xpsspw  4889  iotanul  5356  iotass  5358  fun  5564  fun11iun  5663  fvss  5712  fmpt  5861  fliftrel  6001  ovssunirng  6123  opabbrex  6135  1stcof  6401  2ndcof  6402  tfrlemibacc  6602  tfrlemibfn  6604  tfr1onlemssrecs  6615  tfr1onlembacc  6618  tfr1onlembfn  6620  tfrcllemssrecs  6628  tfrcllembacc  6631  tfrcllembfn  6633  caucvgprlemladdrl  8051  peano5nnnn  8265  peano5nni  9316  un0addcl  9607  un0mulcl  9608  4sqlemafi  13202  4sqlemffi  13203  4sqleminfi  13204  4sqlem11  13208  4sqlem19  13216  strleund  13515  mgmidsssn0  13762  lsptpcl  14839  cnptopco  15465  cnconst2  15476  xmetresbl  15683  blsscls2  15736  perfectlem2  16317  setsvtx  16514  1hegrvtxdg1rfi  16773  bj-omtrans  17204