Theorem eqsstrid 3294

Description: B chained subclass and equality deduction. (Contributed by NM, 25-Apr-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqsstrid.1	⊢ 𝐴 = 𝐵
eqsstrid.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
eqsstrid	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)

Proof of Theorem eqsstrid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqsstrid.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐶)
2		eqsstrid.1	. . 3 ⊢ 𝐴 = 𝐵
3	2	sseq1i 3274	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐶 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐶)
4	1, 3	sylibr 134	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ⊆ wss 3220

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-11 1559  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-in 3226  df-ss 3233

This theorem is used by:  eqsstrrid  3295  inss  3461  difsnss  3861  tpssi  3884  peano5  4745  opabssxpd  4811  xpsspw  4887  iotanul  5353  iotass  5355  fun  5561  fun11iun  5660  fvss  5709  fmpt  5858  fliftrel  5998  ovssunirng  6120  opabbrex  6132  1stcof  6397  2ndcof  6398  tfrlemibacc  6597  tfrlemibfn  6599  tfr1onlemssrecs  6610  tfr1onlembacc  6613  tfr1onlembfn  6615  tfrcllemssrecs  6623  tfrcllembacc  6626  tfrcllembfn  6628  caucvgprlemladdrl  8045  peano5nnnn  8259  peano5nni  9307  un0addcl  9596  un0mulcl  9597  4sqlemafi  13174  4sqlemffi  13175  4sqleminfi  13176  4sqlem11  13180  4sqlem19  13188  strleund  13457  mgmidsssn0  13704  lsptpcl  14731  cnptopco  15323  cnconst2  15334  xmetresbl  15541  blsscls2  15594  perfectlem2  16114  setsvtx  16292  1hegrvtxdg1rfi  16551  bj-omtrans  16982