Theorem eqsstrid 3273

Description: B chained subclass and equality deduction. (Contributed by NM, 25-Apr-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqsstrid.1	⊢ 𝐴 = 𝐵
eqsstrid.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
eqsstrid	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)

Proof of Theorem eqsstrid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqsstrid.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐶)
2		eqsstrid.1	. . 3 ⊢ 𝐴 = 𝐵
3	2	sseq1i 3253	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐶 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐶)
4	1, 3	sylibr 134	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1397   ⊆ wss 3200

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-11 1554  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-in 3206  df-ss 3213

This theorem is referenced by:  eqsstrrid  3274  inss  3437  difsnss  3819  tpssi  3842  peano5  4696  opabssxpd  4762  xpsspw  4838  iotanul  5302  iotass  5304  fun  5508  fun11iun  5604  fvss  5653  fmpt  5797  fliftrel  5932  ovssunirng  6052  opabbrex  6064  1stcof  6325  2ndcof  6326  tfrlemibacc  6491  tfrlemibfn  6493  tfr1onlemssrecs  6504  tfr1onlembacc  6507  tfr1onlembfn  6509  tfrcllemssrecs  6517  tfrcllembacc  6520  tfrcllembfn  6522  caucvgprlemladdrl  7897  peano5nnnn  8111  peano5nni  9145  un0addcl  9434  un0mulcl  9435  4sqlemafi  12967  4sqlemffi  12968  4sqleminfi  12969  4sqlem11  12973  4sqlem19  12981  strleund  13185  mgmidsssn0  13466  lsptpcl  14407  cnptopco  14945  cnconst2  14956  xmetresbl  15163  blsscls2  15216  perfectlem2  15723  setsvtx  15901  1hegrvtxdg1rfi  16160  bj-omtrans  16551