ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cnconst2 GIF version
Theorem cnconst2 13772
Description: A constant function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnconst2 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ) β†’ (𝑋 Γ— {𝐡}) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Proof of Theorem cnconst2
Dummy variables π‘₯ 𝑒 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fconst6g 5416 . . 3 (𝐡 ∈ π‘Œ β†’ (𝑋 Γ— {𝐡}):π‘‹βŸΆπ‘Œ)
213ad2ant3 1020 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ) β†’ (𝑋 Γ— {𝐡}):π‘‹βŸΆπ‘Œ)
32adantr 276 . . . 4 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝑋 Γ— {𝐡}):π‘‹βŸΆπ‘Œ)
4 simpll3 1038 . . . . . . . 8 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) β†’ 𝐡 ∈ π‘Œ)
5 simplr 528 . . . . . . . 8 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
6 fvconst2g 5732 . . . . . . . 8 ((𝐡 ∈ π‘Œ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((𝑋 Γ— {𝐡})β€˜π‘₯) = 𝐡)
74, 5, 6syl2anc 411 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) β†’ ((𝑋 Γ— {𝐡})β€˜π‘₯) = 𝐡)
87eleq1d 2246 . . . . . 6 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) β†’ (((𝑋 Γ— {𝐡})β€˜π‘₯) ∈ 𝑦 ↔ 𝐡 ∈ 𝑦))
9 simpll1 1036 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑦)) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
10 toponmax 13564 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ 𝐽)
119, 10syl 14 . . . . . . . 8 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑦)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐽)
12 simplr 528 . . . . . . . 8 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑦)) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
13 df-ima 4641 . . . . . . . . 9 ((𝑋 Γ— {𝐡}) β€œ 𝑋) = ran ((𝑋 Γ— {𝐡}) β†Ύ 𝑋)
14 ssid 3177 . . . . . . . . . . . . 13 𝑋 βŠ† 𝑋
15 xpssres 4944 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 βŠ† 𝑋 β†’ ((𝑋 Γ— {𝐡}) β†Ύ 𝑋) = (𝑋 Γ— {𝐡}))
1614, 15ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 Γ— {𝐡}) β†Ύ 𝑋) = (𝑋 Γ— {𝐡})
1716rneqi 4857 . . . . . . . . . . 11 ran ((𝑋 Γ— {𝐡}) β†Ύ 𝑋) = ran (𝑋 Γ— {𝐡})
18 rnxpss 5062 . . . . . . . . . . 11 ran (𝑋 Γ— {𝐡}) βŠ† {𝐡}
1917, 18eqsstri 3189 . . . . . . . . . 10 ran ((𝑋 Γ— {𝐡}) β†Ύ 𝑋) βŠ† {𝐡}
20 simprr 531 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑦)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑦)
2120snssd 3739 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑦)) β†’ {𝐡} βŠ† 𝑦)
2219, 21sstrid 3168 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑦)) β†’ ran ((𝑋 Γ— {𝐡}) β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑦)
2313, 22eqsstrid 3203 . . . . . . . 8 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑦)) β†’ ((𝑋 Γ— {𝐡}) β€œ 𝑋) βŠ† 𝑦)
24 eleq2 2241 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = 𝑋 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑒 ↔ π‘₯ ∈ 𝑋))
25 imaeq2 4968 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 = 𝑋 β†’ ((𝑋 Γ— {𝐡}) β€œ 𝑒) = ((𝑋 Γ— {𝐡}) β€œ 𝑋))
2625sseq1d 3186 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = 𝑋 β†’ (((𝑋 Γ— {𝐡}) β€œ 𝑒) βŠ† 𝑦 ↔ ((𝑋 Γ— {𝐡}) β€œ 𝑋) βŠ† 𝑦))
2724, 26anbi12d 473 . . . . . . . . 9 (𝑒 = 𝑋 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑒 ∧ ((𝑋 Γ— {𝐡}) β€œ 𝑒) βŠ† 𝑦) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ ((𝑋 Γ— {𝐡}) β€œ 𝑋) βŠ† 𝑦)))
2827rspcev 2843 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ 𝐽 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ ((𝑋 Γ— {𝐡}) β€œ 𝑋) βŠ† 𝑦)) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑒 ∧ ((𝑋 Γ— {𝐡}) β€œ 𝑒) βŠ† 𝑦))
2911, 12, 23, 28syl12anc 1236 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑦)) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑒 ∧ ((𝑋 Γ— {𝐡}) β€œ 𝑒) βŠ† 𝑦))
3029expr 375 . . . . . 6 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) β†’ (𝐡 ∈ 𝑦 β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑒 ∧ ((𝑋 Γ— {𝐡}) β€œ 𝑒) βŠ† 𝑦)))
318, 30sylbid 150 . . . . 5 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) β†’ (((𝑋 Γ— {𝐡})β€˜π‘₯) ∈ 𝑦 β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑒 ∧ ((𝑋 Γ— {𝐡}) β€œ 𝑒) βŠ† 𝑦)))
3231ralrimiva 2550 . . . 4 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 (((𝑋 Γ— {𝐡})β€˜π‘₯) ∈ 𝑦 β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑒 ∧ ((𝑋 Γ— {𝐡}) β€œ 𝑒) βŠ† 𝑦)))
33 simpl1 1000 . . . . 5 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
34 simpl2 1001 . . . . 5 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
35 simpr 110 . . . . 5 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
36 iscnp 13738 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((𝑋 Γ— {𝐡}) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘₯) ↔ ((𝑋 Γ— {𝐡}):π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 (((𝑋 Γ— {𝐡})β€˜π‘₯) ∈ 𝑦 β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑒 ∧ ((𝑋 Γ— {𝐡}) β€œ 𝑒) βŠ† 𝑦)))))
3733, 34, 35, 36syl3anc 1238 . . . 4 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((𝑋 Γ— {𝐡}) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘₯) ↔ ((𝑋 Γ— {𝐡}):π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 (((𝑋 Γ— {𝐡})β€˜π‘₯) ∈ 𝑦 β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑒 ∧ ((𝑋 Γ— {𝐡}) β€œ 𝑒) βŠ† 𝑦)))))
383, 32, 37mpbir2and 944 . . 3 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝑋 Γ— {𝐡}) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘₯))
3938ralrimiva 2550 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (𝑋 Γ— {𝐡}) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘₯))
40 cncnp 13769 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ ((𝑋 Γ— {𝐡}) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ((𝑋 Γ— {𝐡}):π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (𝑋 Γ— {𝐡}) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘₯))))
41403adant3 1017 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ) β†’ ((𝑋 Γ— {𝐡}) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ((𝑋 Γ— {𝐡}):π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (𝑋 Γ— {𝐡}) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘₯))))
422, 39, 41mpbir2and 944 1 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ) β†’ (𝑋 Γ— {𝐡}) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  βˆ€wral 2455  βˆƒwrex 2456   βŠ† wss 3131  {csn 3594   Γ— cxp 4626  ran crn 4629   β†Ύ cres 4630   β€œ cima 4631  βŸΆwf 5214  β€˜cfv 5218  (class class class)co 5877  TopOnctopon 13549   Cn ccn 13724   CnP ccnp 13725
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-map 6652  df-topgen 12714  df-top 13537  df-topon 13550  df-cn 13727  df-cnp 13728
This theorem is referenced by:  cnconst  13773  cnmptc  13821
  Copyright terms: Public domain W3C validator