ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fmpt GIF version

Theorem fmpt 5667
Description: Functionality of the mapping operation. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
fmpt.1 𝐹 = (𝑥𝐴𝐶)
Assertion
Ref Expression
fmpt (∀𝑥𝐴 𝐶𝐵𝐹:𝐴𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem fmpt
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fmpt.1 . . . 4 𝐹 = (𝑥𝐴𝐶)
21fnmpt 5343 . . 3 (∀𝑥𝐴 𝐶𝐵𝐹 Fn 𝐴)
31rnmpt 4876 . . . 4 ran 𝐹 = {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐶}
4 r19.29 2614 . . . . . . 7 ((∀𝑥𝐴 𝐶𝐵 ∧ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐶) → ∃𝑥𝐴 (𝐶𝐵𝑦 = 𝐶))
5 eleq1 2240 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝐶 → (𝑦𝐵𝐶𝐵))
65biimparc 299 . . . . . . . 8 ((𝐶𝐵𝑦 = 𝐶) → 𝑦𝐵)
76rexlimivw 2590 . . . . . . 7 (∃𝑥𝐴 (𝐶𝐵𝑦 = 𝐶) → 𝑦𝐵)
84, 7syl 14 . . . . . 6 ((∀𝑥𝐴 𝐶𝐵 ∧ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐶) → 𝑦𝐵)
98ex 115 . . . . 5 (∀𝑥𝐴 𝐶𝐵 → (∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐶𝑦𝐵))
109abssdv 3230 . . . 4 (∀𝑥𝐴 𝐶𝐵 → {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐶} ⊆ 𝐵)
113, 10eqsstrid 3202 . . 3 (∀𝑥𝐴 𝐶𝐵 → ran 𝐹𝐵)
12 df-f 5221 . . 3 (𝐹:𝐴𝐵 ↔ (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ran 𝐹𝐵))
132, 11, 12sylanbrc 417 . 2 (∀𝑥𝐴 𝐶𝐵𝐹:𝐴𝐵)
14 fimacnv 5646 . . . 4 (𝐹:𝐴𝐵 → (𝐹𝐵) = 𝐴)
151mptpreima 5123 . . . 4 (𝐹𝐵) = {𝑥𝐴𝐶𝐵}
1614, 15eqtr3di 2225 . . 3 (𝐹:𝐴𝐵𝐴 = {𝑥𝐴𝐶𝐵})
17 rabid2 2654 . . 3 (𝐴 = {𝑥𝐴𝐶𝐵} ↔ ∀𝑥𝐴 𝐶𝐵)
1816, 17sylib 122 . 2 (𝐹:𝐴𝐵 → ∀𝑥𝐴 𝐶𝐵)
1913, 18impbii 126 1 (∀𝑥𝐴 𝐶𝐵𝐹:𝐴𝐵)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 104  wb 105   = wceq 1353  wcel 2148  {cab 2163  wral 2455  wrex 2456  {crab 2459  wss 3130  cmpt 4065  ccnv 4626  ran crn 4628  cima 4630   Fn wfn 5212  wf 5213
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-fv 5225
This theorem is referenced by:  f1ompt  5668  fmpti  5669  fvmptelcdm  5670  fmptd  5671  fmptdf  5674  rnmptss  5678  f1oresrab  5682  idref  5758  f1mpt  5772  f1stres  6160  f2ndres  6161  fmpox  6201  fmpoco  6217  iunon  6285  mptelixpg  6734  dom2lem  6772  uzf  9531  pcmptcl  12340  upxp  13775  txdis1cn  13781  cnmpt11  13786  cnmpt21  13794  fsumcncntop  14059  cncfmpt1f  14087  mulcncflem  14093  mulcncf  14094  cnmptlimc  14146  sincn  14193  coscn  14194
  Copyright terms: Public domain W3C validator