Theorem fmpt 5861

Description: Functionality of the mapping operation. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
fmpt.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
fmpt	⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ 𝐵 ↔ 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem fmpt

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmpt.1	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
2	1	fnmpt 5513	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ 𝐵 → 𝐹 Fn 𝐴)
3	1	rnmpt 5032	. . . 4 ⊢ ran 𝐹 = {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐶}
4		r19.29 2688	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐶) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = 𝐶))
5		eleq1 2301	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → (𝑦 ∈ 𝐵 ↔ 𝐶 ∈ 𝐵))
6	5	biimparc 299	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = 𝐶) → 𝑦 ∈ 𝐵)
7	6	rexlimivw 2664	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = 𝐶) → 𝑦 ∈ 𝐵)
8	4, 7	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐶) → 𝑦 ∈ 𝐵)
9	8	ex 115	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ 𝐵 → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐶 → 𝑦 ∈ 𝐵))
10	9	abssdv 3322	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ 𝐵 → {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐶} ⊆ 𝐵)
11	3, 10	eqsstrid 3294	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ 𝐵 → ran 𝐹 ⊆ 𝐵)
12		df-f 5384	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ↔ (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝐵))
13	2, 11, 12	sylanbrc 421	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ 𝐵 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
14		fimacnv 5840	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (◡𝐹 “ 𝐵) = 𝐴)
15	1	mptpreima 5284	. . . 4 ⊢ (◡𝐹 “ 𝐵) = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 ∈ 𝐵}
16	14, 15	eqtr3di 2286	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 ∈ 𝐵})
17		rabid2 2729	. . 3 ⊢ (𝐴 = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 ∈ 𝐵} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ 𝐵)
18	16, 17	sylib 122	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ 𝐵)
19	13, 18	impbii 126	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ 𝐵 ↔ 𝐹:𝐴⟶𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  {cab 2224  ∀wral 2528  ∃wrex 2529  {crab 2532   ⊆ wss 3220   ↦ cmpt 4193  ^◡ccnv 4775  ran crn 4777   “ cima 4779   Fn wfn 5375  ⟶wf 5376

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-fv 5388

This theorem is used by:  f1ompt  5862  fmpti  5863  fvmptelcdm  5864  fmptd  5865  fmptdf  5868  rnmptss  5872  f1oresrab  5876  idref  5965  f1mpt  5980  f1stres  6397  f2ndres  6398  fmpox  6440  fmpoco  6456  iunon  6560  mptelixpg  7022  dom2lem  7064  uzf  9939  ccatalpha  11402  pcmptcl  13149  gzsummhm2  14235  gsummhm2fi  14264  gsumcom2fi  14274  upxp  15515  txdis1cn  15521  cnmpt11  15526  cnmpt21  15534  fsumcncntop  15810  cncfmpt1f  15841  mulcncflem  15850  mulcncf  15851  cnmptlimc  15917  sincn  16012  coscn  16013  lgseisenlem3  16413  repiecef  17300