ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fmpt GIF version

Theorem fmpt 5666
Description: Functionality of the mapping operation. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
fmpt.1 𝐹 = (𝑥𝐴𝐶)
Assertion
Ref Expression
fmpt (∀𝑥𝐴 𝐶𝐵𝐹:𝐴𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem fmpt
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fmpt.1 . . . 4 𝐹 = (𝑥𝐴𝐶)
21fnmpt 5342 . . 3 (∀𝑥𝐴 𝐶𝐵𝐹 Fn 𝐴)
31rnmpt 4875 . . . 4 ran 𝐹 = {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐶}
4 r19.29 2614 . . . . . . 7 ((∀𝑥𝐴 𝐶𝐵 ∧ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐶) → ∃𝑥𝐴 (𝐶𝐵𝑦 = 𝐶))
5 eleq1 2240 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝐶 → (𝑦𝐵𝐶𝐵))
65biimparc 299 . . . . . . . 8 ((𝐶𝐵𝑦 = 𝐶) → 𝑦𝐵)
76rexlimivw 2590 . . . . . . 7 (∃𝑥𝐴 (𝐶𝐵𝑦 = 𝐶) → 𝑦𝐵)
84, 7syl 14 . . . . . 6 ((∀𝑥𝐴 𝐶𝐵 ∧ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐶) → 𝑦𝐵)
98ex 115 . . . . 5 (∀𝑥𝐴 𝐶𝐵 → (∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐶𝑦𝐵))
109abssdv 3229 . . . 4 (∀𝑥𝐴 𝐶𝐵 → {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐶} ⊆ 𝐵)
113, 10eqsstrid 3201 . . 3 (∀𝑥𝐴 𝐶𝐵 → ran 𝐹𝐵)
12 df-f 5220 . . 3 (𝐹:𝐴𝐵 ↔ (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ran 𝐹𝐵))
132, 11, 12sylanbrc 417 . 2 (∀𝑥𝐴 𝐶𝐵𝐹:𝐴𝐵)
14 fimacnv 5645 . . . 4 (𝐹:𝐴𝐵 → (𝐹𝐵) = 𝐴)
151mptpreima 5122 . . . 4 (𝐹𝐵) = {𝑥𝐴𝐶𝐵}
1614, 15eqtr3di 2225 . . 3 (𝐹:𝐴𝐵𝐴 = {𝑥𝐴𝐶𝐵})
17 rabid2 2653 . . 3 (𝐴 = {𝑥𝐴𝐶𝐵} ↔ ∀𝑥𝐴 𝐶𝐵)
1816, 17sylib 122 . 2 (𝐹:𝐴𝐵 → ∀𝑥𝐴 𝐶𝐵)
1913, 18impbii 126 1 (∀𝑥𝐴 𝐶𝐵𝐹:𝐴𝐵)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 104  wb 105   = wceq 1353  wcel 2148  {cab 2163  wral 2455  wrex 2456  {crab 2459  wss 3129  cmpt 4064  ccnv 4625  ran crn 4627  cima 4629   Fn wfn 5211  wf 5212
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-fv 5224
This theorem is referenced by:  f1ompt  5667  fmpti  5668  fvmptelcdm  5669  fmptd  5670  fmptdf  5673  rnmptss  5677  f1oresrab  5681  idref  5757  f1mpt  5771  f1stres  6159  f2ndres  6160  fmpox  6200  fmpoco  6216  iunon  6284  mptelixpg  6733  dom2lem  6771  uzf  9529  pcmptcl  12334  upxp  13665  txdis1cn  13671  cnmpt11  13676  cnmpt21  13684  fsumcncntop  13949  cncfmpt1f  13977  mulcncflem  13983  mulcncf  13984  cnmptlimc  14036  sincn  14083  coscn  14084
  Copyright terms: Public domain W3C validator