Theorem nninfdc 12437

Description: An unbounded decidable set of positive integers is infinite. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
nninfdc	⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛) → ω ≼ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑚,𝑛   𝑥,𝐴

Proof of Theorem nninfdc

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑓 𝑖 𝑦 𝑧 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnenom 10420	. . 3 ⊢ ℕ ≈ ω
2	1	ensymi 6776	. 2 ⊢ ω ≈ ℕ
3		breq1 4003	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 1 → (𝑚 < 𝑛 ↔ 1 < 𝑛))
4	3	rexbidv 2478	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 1 → (∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛 ↔ ∃𝑛 ∈ 𝐴 1 < 𝑛))
5		simp3 999	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛) → ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛)
6		1nn 8919	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ
7	6	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛) → 1 ∈ ℕ)
8	4, 5, 7	rspcdva 2846	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛) → ∃𝑛 ∈ 𝐴 1 < 𝑛)
9		breq2 4004	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (1 < 𝑛 ↔ 1 < 𝑗))
10	9	cbvrexv 2704	. . . . 5 ⊢ (∃𝑛 ∈ 𝐴 1 < 𝑛 ↔ ∃𝑗 ∈ 𝐴 1 < 𝑗)
11	8, 10	sylib 122	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛) → ∃𝑗 ∈ 𝐴 1 < 𝑗)
12		simpl1 1000	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛) ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 1 < 𝑗)) → 𝐴 ⊆ ℕ)
13		simpl2 1001	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛) ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 1 < 𝑗)) → ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
14		simpl3 1002	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛) ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 1 < 𝑗)) → ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛)
15		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛) ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 1 < 𝑗)) → (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 1 < 𝑗))
16		fvoveq1 5892	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 𝑦 → (ℤ≥‘(𝑎 + 1)) = (ℤ≥‘(𝑦 + 1)))
17	16	ineq2d 3336	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝑦 → (𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑎 + 1))) = (𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))))
18	17	infeq1d 7005	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑦 → inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑎 + 1))), ℝ, < ) = inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < ))
19		eqidd 2178	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝑧 → inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < ) = inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < ))
20	18, 19	cbvmpov 5949	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ, 𝑏 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑎 + 1))), ℝ, < )) = (𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < ))
21		seqeq2 10435	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ, 𝑏 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑎 + 1))), ℝ, < )) = (𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < )) → seq1((𝑎 ∈ ℕ, 𝑏 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑎 + 1))), ℝ, < )), (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝑗)) = seq1((𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < )), (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝑗)))
22	20, 21	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ seq1((𝑎 ∈ ℕ, 𝑏 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑎 + 1))), ℝ, < )), (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝑗)) = seq1((𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < )), (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝑗))
23	12, 13, 14, 15, 22	nninfdclemf1 12436	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛) ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 1 < 𝑗)) → seq1((𝑎 ∈ ℕ, 𝑏 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑎 + 1))), ℝ, < )), (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝑗)):ℕ–1-1→𝐴)
24		seqex 10433	. . . . . 6 ⊢ seq1((𝑎 ∈ ℕ, 𝑏 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑎 + 1))), ℝ, < )), (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝑗)) ∈ V
25		f1eq1 5412	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = seq1((𝑎 ∈ ℕ, 𝑏 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑎 + 1))), ℝ, < )), (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝑗)) → (𝑓:ℕ–1-1→𝐴 ↔ seq1((𝑎 ∈ ℕ, 𝑏 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑎 + 1))), ℝ, < )), (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝑗)):ℕ–1-1→𝐴))
26	24, 25	spcev 2832	. . . . 5 ⊢ (seq1((𝑎 ∈ ℕ, 𝑏 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑎 + 1))), ℝ, < )), (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝑗)):ℕ–1-1→𝐴 → ∃𝑓 𝑓:ℕ–1-1→𝐴)
27	23, 26	syl 14	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛) ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 1 < 𝑗)) → ∃𝑓 𝑓:ℕ–1-1→𝐴)
28	11, 27	rexlimddv 2599	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛) → ∃𝑓 𝑓:ℕ–1-1→𝐴)
29		nnex 8914	. . . . . 6 ⊢ ℕ ∈ V
30	29	ssex 4137	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℕ → 𝐴 ∈ V)
31	30	3ad2ant1 1018	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛) → 𝐴 ∈ V)
32		brdomg 6742	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → (ℕ ≼ 𝐴 ↔ ∃𝑓 𝑓:ℕ–1-1→𝐴))
33	31, 32	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛) → (ℕ ≼ 𝐴 ↔ ∃𝑓 𝑓:ℕ–1-1→𝐴))
34	28, 33	mpbird 167	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛) → ℕ ≼ 𝐴)
35		endomtr 6784	. 2 ⊢ ((ω ≈ ℕ ∧ ℕ ≼ 𝐴) → ω ≼ 𝐴)
36	2, 34, 35	sylancr 414	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛) → ω ≼ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  DECID wdc 834   ∧ w3a 978   = wceq 1353  ∃wex 1492   ∈ wcel 2148  ∀wral 2455  ∃wrex 2456  Vcvv 2737   ∩ cin 3128   ⊆ wss 3129   class class class wbr 4000   ↦ cmpt 4061  ωcom 4586  –1-1→wf1 5209  ‘cfv 5212  (class class class)co 5869   ∈ cmpo 5871   ≈ cen 6732   ≼ cdom 6733  infcinf 6976  ℝcr 7801  1c1 7803   + caddc 7805   < clt 7982  ℕcn 8908  ℤ_≥cuz 9517  seqcseq 10431

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-addcom 7902  ax-addass 7904  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-isom 5221  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-er 6529  df-en 6735  df-dom 6736  df-sup 6977  df-inf 6978  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-inn 8909  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-fz 9996  df-fzo 10129  df-seqfrec 10432

This theorem is referenced by:  unbendc  12438