Theorem nninfdc 12401

Description: An unbounded decidable set of positive integers is infinite. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
nninfdc	⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛) → ω ≼ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑚,𝑛   𝑥,𝐴

Proof of Theorem nninfdc

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑓 𝑖 𝑦 𝑧 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnenom 10383	. . 3 ⊢ ℕ ≈ ω
2	1	ensymi 6758	. 2 ⊢ ω ≈ ℕ
3		breq1 3990	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 1 → (𝑚 < 𝑛 ↔ 1 < 𝑛))
4	3	rexbidv 2471	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 1 → (∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛 ↔ ∃𝑛 ∈ 𝐴 1 < 𝑛))
5		simp3 994	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛) → ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛)
6		1nn 8882	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ
7	6	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛) → 1 ∈ ℕ)
8	4, 5, 7	rspcdva 2839	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛) → ∃𝑛 ∈ 𝐴 1 < 𝑛)
9		breq2 3991	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (1 < 𝑛 ↔ 1 < 𝑗))
10	9	cbvrexv 2697	. . . . 5 ⊢ (∃𝑛 ∈ 𝐴 1 < 𝑛 ↔ ∃𝑗 ∈ 𝐴 1 < 𝑗)
11	8, 10	sylib 121	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛) → ∃𝑗 ∈ 𝐴 1 < 𝑗)
12		simpl1 995	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛) ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 1 < 𝑗)) → 𝐴 ⊆ ℕ)
13		simpl2 996	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛) ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 1 < 𝑗)) → ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
14		simpl3 997	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛) ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 1 < 𝑗)) → ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛)
15		simpr 109	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛) ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 1 < 𝑗)) → (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 1 < 𝑗))
16		fvoveq1 5874	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 𝑦 → (ℤ≥‘(𝑎 + 1)) = (ℤ≥‘(𝑦 + 1)))
17	16	ineq2d 3328	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝑦 → (𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑎 + 1))) = (𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))))
18	17	infeq1d 6987	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑦 → inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑎 + 1))), ℝ, < ) = inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < ))
19		eqidd 2171	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝑧 → inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < ) = inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < ))
20	18, 19	cbvmpov 5931	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ, 𝑏 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑎 + 1))), ℝ, < )) = (𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < ))
21		seqeq2 10398	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ, 𝑏 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑎 + 1))), ℝ, < )) = (𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < )) → seq1((𝑎 ∈ ℕ, 𝑏 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑎 + 1))), ℝ, < )), (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝑗)) = seq1((𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < )), (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝑗)))
22	20, 21	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ seq1((𝑎 ∈ ℕ, 𝑏 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑎 + 1))), ℝ, < )), (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝑗)) = seq1((𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < )), (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝑗))
23	12, 13, 14, 15, 22	nninfdclemf1 12400	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛) ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 1 < 𝑗)) → seq1((𝑎 ∈ ℕ, 𝑏 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑎 + 1))), ℝ, < )), (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝑗)):ℕ–1-1→𝐴)
24		seqex 10396	. . . . . 6 ⊢ seq1((𝑎 ∈ ℕ, 𝑏 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑎 + 1))), ℝ, < )), (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝑗)) ∈ V
25		f1eq1 5396	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = seq1((𝑎 ∈ ℕ, 𝑏 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑎 + 1))), ℝ, < )), (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝑗)) → (𝑓:ℕ–1-1→𝐴 ↔ seq1((𝑎 ∈ ℕ, 𝑏 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑎 + 1))), ℝ, < )), (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝑗)):ℕ–1-1→𝐴))
26	24, 25	spcev 2825	. . . . 5 ⊢ (seq1((𝑎 ∈ ℕ, 𝑏 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑎 + 1))), ℝ, < )), (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝑗)):ℕ–1-1→𝐴 → ∃𝑓 𝑓:ℕ–1-1→𝐴)
27	23, 26	syl 14	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛) ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 1 < 𝑗)) → ∃𝑓 𝑓:ℕ–1-1→𝐴)
28	11, 27	rexlimddv 2592	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛) → ∃𝑓 𝑓:ℕ–1-1→𝐴)
29		nnex 8877	. . . . . 6 ⊢ ℕ ∈ V
30	29	ssex 4124	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℕ → 𝐴 ∈ V)
31	30	3ad2ant1 1013	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛) → 𝐴 ∈ V)
32		brdomg 6724	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → (ℕ ≼ 𝐴 ↔ ∃𝑓 𝑓:ℕ–1-1→𝐴))
33	31, 32	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛) → (ℕ ≼ 𝐴 ↔ ∃𝑓 𝑓:ℕ–1-1→𝐴))
34	28, 33	mpbird 166	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛) → ℕ ≼ 𝐴)
35		endomtr 6766	. 2 ⊢ ((ω ≈ ℕ ∧ ℕ ≼ 𝐴) → ω ≼ 𝐴)
36	2, 34, 35	sylancr 412	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛) → ω ≼ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104  DECID wdc 829   ∧ w3a 973   = wceq 1348  ∃wex 1485   ∈ wcel 2141  ∀wral 2448  ∃wrex 2449  Vcvv 2730   ∩ cin 3120   ⊆ wss 3121   class class class wbr 3987   ↦ cmpt 4048  ωcom 4572  –1-1→wf1 5193  ‘cfv 5196  (class class class)co 5851   ∈ cmpo 5853   ≈ cen 6714   ≼ cdom 6715  infcinf 6958  ℝcr 7766  1c1 7768   + caddc 7770   < clt 7947  ℕcn 8871  ℤ_≥cuz 9480  seqcseq 10394

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570  ax-cnex 7858  ax-resscn 7859  ax-1cn 7860  ax-1re 7861  ax-icn 7862  ax-addcl 7863  ax-addrcl 7864  ax-mulcl 7865  ax-addcom 7867  ax-addass 7869  ax-distr 7871  ax-i2m1 7872  ax-0lt1 7873  ax-0id 7875  ax-rnegex 7876  ax-cnre 7878  ax-pre-ltirr 7879  ax-pre-ltwlin 7880  ax-pre-lttrn 7881  ax-pre-apti 7882  ax-pre-ltadd 7883

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-iord 4349  df-on 4351  df-ilim 4352  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-isom 5205  df-riota 5807  df-ov 5854  df-oprab 5855  df-mpo 5856  df-1st 6117  df-2nd 6118  df-recs 6282  df-frec 6368  df-er 6511  df-en 6717  df-dom 6718  df-sup 6959  df-inf 6960  df-pnf 7949  df-mnf 7950  df-xr 7951  df-ltxr 7952  df-le 7953  df-sub 8085  df-neg 8086  df-inn 8872  df-n0 9129  df-z 9206  df-uz 9481  df-fz 9959  df-fzo 10092  df-seqfrec 10395

This theorem is referenced by:  unbendc  12402