Theorem nninfdc 13322

Description: An unbounded decidable set of positive integers is infinite. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
nninfdc	⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛) → ω ≼ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑚,𝑛   𝑥,𝐴

Proof of Theorem nninfdc

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑓 𝑖 𝑦 𝑧 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnenom 10849	. . 3 ⊢ ℕ ≈ ω
2	1	ensymi 7059	. 2 ⊢ ω ≈ ℕ
3		breq1 4128	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 1 → (𝑚 < 𝑛 ↔ 1 < 𝑛))
4	3	rexbidv 2551	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 1 → (∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛 ↔ ∃𝑛 ∈ 𝐴 1 < 𝑛))
5		simp3 1030	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛) → ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛)
6		1nn 9294	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ
7	6	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛) → 1 ∈ ℕ)
8	4, 5, 7	rspcdva 2934	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛) → ∃𝑛 ∈ 𝐴 1 < 𝑛)
9		breq2 4129	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (1 < 𝑛 ↔ 1 < 𝑗))
10	9	cbvrexv 2787	. . . . 5 ⊢ (∃𝑛 ∈ 𝐴 1 < 𝑛 ↔ ∃𝑗 ∈ 𝐴 1 < 𝑗)
11	8, 10	sylib 122	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛) → ∃𝑗 ∈ 𝐴 1 < 𝑗)
12		simpl1 1031	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛) ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 1 < 𝑗)) → 𝐴 ⊆ ℕ)
13		simpl2 1032	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛) ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 1 < 𝑗)) → ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
14		simpl3 1033	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛) ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 1 < 𝑗)) → ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛)
15		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛) ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 1 < 𝑗)) → (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 1 < 𝑗))
16		fvoveq1 6098	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 𝑦 → (ℤ≥‘(𝑎 + 1)) = (ℤ≥‘(𝑦 + 1)))
17	16	ineq2d 3432	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝑦 → (𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑎 + 1))) = (𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))))
18	17	infeq1d 7342	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑦 → inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑎 + 1))), ℝ, < ) = inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < ))
19		eqidd 2239	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝑧 → inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < ) = inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < ))
20	18, 19	cbvmpov 6158	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ, 𝑏 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑎 + 1))), ℝ, < )) = (𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < ))
21		seqeq2 10866	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ, 𝑏 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑎 + 1))), ℝ, < )) = (𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < )) → seq1((𝑎 ∈ ℕ, 𝑏 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑎 + 1))), ℝ, < )), (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝑗)) = seq1((𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < )), (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝑗)))
22	20, 21	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ seq1((𝑎 ∈ ℕ, 𝑏 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑎 + 1))), ℝ, < )), (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝑗)) = seq1((𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < )), (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝑗))
23	12, 13, 14, 15, 22	nninfdclemf1 13321	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛) ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 1 < 𝑗)) → seq1((𝑎 ∈ ℕ, 𝑏 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑎 + 1))), ℝ, < )), (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝑗)):ℕ–1-1→𝐴)
24		seqex 10864	. . . . . 6 ⊢ seq1((𝑎 ∈ ℕ, 𝑏 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑎 + 1))), ℝ, < )), (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝑗)) ∈ V
25		f1eq1 5588	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = seq1((𝑎 ∈ ℕ, 𝑏 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑎 + 1))), ℝ, < )), (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝑗)) → (𝑓:ℕ–1-1→𝐴 ↔ seq1((𝑎 ∈ ℕ, 𝑏 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑎 + 1))), ℝ, < )), (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝑗)):ℕ–1-1→𝐴))
26	24, 25	spcev 2920	. . . . 5 ⊢ (seq1((𝑎 ∈ ℕ, 𝑏 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑎 + 1))), ℝ, < )), (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝑗)):ℕ–1-1→𝐴 → ∃𝑓 𝑓:ℕ–1-1→𝐴)
27	23, 26	syl 14	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛) ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 1 < 𝑗)) → ∃𝑓 𝑓:ℕ–1-1→𝐴)
28	11, 27	rexlimddv 2673	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛) → ∃𝑓 𝑓:ℕ–1-1→𝐴)
29		nnex 9289	. . . . . 6 ⊢ ℕ ∈ V
30	29	ssex 4265	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℕ → 𝐴 ∈ V)
31	30	3ad2ant1 1049	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛) → 𝐴 ∈ V)
32		brdomg 7022	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → (ℕ ≼ 𝐴 ↔ ∃𝑓 𝑓:ℕ–1-1→𝐴))
33	31, 32	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛) → (ℕ ≼ 𝐴 ↔ ∃𝑓 𝑓:ℕ–1-1→𝐴))
34	28, 33	mpbird 167	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛) → ℕ ≼ 𝐴)
35		endomtr 7067	. 2 ⊢ ((ω ≈ ℕ ∧ ℕ ≼ 𝐴) → ω ≼ 𝐴)
36	2, 34, 35	sylancr 418	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛) → ω ≼ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  DECID wdc 846   ∧ w3a 1009   = wceq 1402  ∃wex 1545   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  ∃wrex 2529  Vcvv 2821   ∩ cin 3219   ⊆ wss 3220   class class class wbr 4125   ↦ cmpt 4187  ωcom 4732  –1-1→wf1 5369  ‘cfv 5372  (class class class)co 6075   ∈ cmpo 6077   ≈ cen 7010   ≼ cdom 7011  infcinf 7313  ℝcr 8168  1c1 8170   + caddc 8172   < clt 8350  ℕcn 9283  ℤ_≥cuz 9900  seqcseq 10862

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-isom 5381  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-frec 6652  df-er 6797  df-en 7013  df-dom 7014  df-sup 7314  df-inf 7315  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-fz 10391  df-fzo 10528  df-seqfrec 10863

This theorem is referenced by:  unbendc  13323