Theorem nninfdc 13204

Description: An unbounded decidable set of positive integers is infinite. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
nninfdc	⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛) → ω ≼ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑚,𝑛   𝑥,𝐴

Proof of Theorem nninfdc

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑓 𝑖 𝑦 𝑧 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnenom 10796	. . 3 ⊢ ℕ ≈ ω
2	1	ensymi 7022	. 2 ⊢ ω ≈ ℕ
3		breq1 4112	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 1 → (𝑚 < 𝑛 ↔ 1 < 𝑛))
4	3	rexbidv 2543	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 1 → (∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛 ↔ ∃𝑛 ∈ 𝐴 1 < 𝑛))
5		simp3 1026	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛) → ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛)
6		1nn 9248	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ
7	6	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛) → 1 ∈ ℕ)
8	4, 5, 7	rspcdva 2926	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛) → ∃𝑛 ∈ 𝐴 1 < 𝑛)
9		breq2 4113	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (1 < 𝑛 ↔ 1 < 𝑗))
10	9	cbvrexv 2779	. . . . 5 ⊢ (∃𝑛 ∈ 𝐴 1 < 𝑛 ↔ ∃𝑗 ∈ 𝐴 1 < 𝑗)
11	8, 10	sylib 122	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛) → ∃𝑗 ∈ 𝐴 1 < 𝑗)
12		simpl1 1027	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛) ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 1 < 𝑗)) → 𝐴 ⊆ ℕ)
13		simpl2 1028	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛) ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 1 < 𝑗)) → ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
14		simpl3 1029	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛) ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 1 < 𝑗)) → ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛)
15		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛) ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 1 < 𝑗)) → (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 1 < 𝑗))
16		fvoveq1 6073	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 𝑦 → (ℤ≥‘(𝑎 + 1)) = (ℤ≥‘(𝑦 + 1)))
17	16	ineq2d 3422	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝑦 → (𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑎 + 1))) = (𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))))
18	17	infeq1d 7303	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑦 → inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑎 + 1))), ℝ, < ) = inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < ))
19		eqidd 2233	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝑧 → inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < ) = inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < ))
20	18, 19	cbvmpov 6133	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ, 𝑏 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑎 + 1))), ℝ, < )) = (𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < ))
21		seqeq2 10813	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ, 𝑏 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑎 + 1))), ℝ, < )) = (𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < )) → seq1((𝑎 ∈ ℕ, 𝑏 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑎 + 1))), ℝ, < )), (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝑗)) = seq1((𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < )), (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝑗)))
22	20, 21	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ seq1((𝑎 ∈ ℕ, 𝑏 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑎 + 1))), ℝ, < )), (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝑗)) = seq1((𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < )), (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝑗))
23	12, 13, 14, 15, 22	nninfdclemf1 13203	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛) ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 1 < 𝑗)) → seq1((𝑎 ∈ ℕ, 𝑏 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑎 + 1))), ℝ, < )), (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝑗)):ℕ–1-1→𝐴)
24		seqex 10811	. . . . . 6 ⊢ seq1((𝑎 ∈ ℕ, 𝑏 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑎 + 1))), ℝ, < )), (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝑗)) ∈ V
25		f1eq1 5568	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = seq1((𝑎 ∈ ℕ, 𝑏 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑎 + 1))), ℝ, < )), (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝑗)) → (𝑓:ℕ–1-1→𝐴 ↔ seq1((𝑎 ∈ ℕ, 𝑏 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑎 + 1))), ℝ, < )), (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝑗)):ℕ–1-1→𝐴))
26	24, 25	spcev 2912	. . . . 5 ⊢ (seq1((𝑎 ∈ ℕ, 𝑏 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑎 + 1))), ℝ, < )), (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝑗)):ℕ–1-1→𝐴 → ∃𝑓 𝑓:ℕ–1-1→𝐴)
27	23, 26	syl 14	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛) ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 1 < 𝑗)) → ∃𝑓 𝑓:ℕ–1-1→𝐴)
28	11, 27	rexlimddv 2665	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛) → ∃𝑓 𝑓:ℕ–1-1→𝐴)
29		nnex 9243	. . . . . 6 ⊢ ℕ ∈ V
30	29	ssex 4247	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℕ → 𝐴 ∈ V)
31	30	3ad2ant1 1045	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛) → 𝐴 ∈ V)
32		brdomg 6985	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → (ℕ ≼ 𝐴 ↔ ∃𝑓 𝑓:ℕ–1-1→𝐴))
33	31, 32	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛) → (ℕ ≼ 𝐴 ↔ ∃𝑓 𝑓:ℕ–1-1→𝐴))
34	28, 33	mpbird 167	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛) → ℕ ≼ 𝐴)
35		endomtr 7030	. 2 ⊢ ((ω ≈ ℕ ∧ ℕ ≼ 𝐴) → ω ≼ 𝐴)
36	2, 34, 35	sylancr 414	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛) → ω ≼ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  DECID wdc 842   ∧ w3a 1005   = wceq 1398  ∃wex 1541   ∈ wcel 2203  ∀wral 2520  ∃wrex 2521  Vcvv 2813   ∩ cin 3210   ⊆ wss 3211   class class class wbr 4109   ↦ cmpt 4171  ωcom 4712  –1-1→wf1 5349  ‘cfv 5352  (class class class)co 6050   ∈ cmpo 6052   ≈ cen 6973   ≼ cdom 6974  infcinf 7274  ℝcr 8126  1c1 8128   + caddc 8130   < clt 8308  ℕcn 9237  ℤ_≥cuz 9853  seqcseq 10809

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-po 4417  df-iso 4418  df-iord 4487  df-on 4489  df-ilim 4490  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-isom 5361  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-frec 6622  df-er 6767  df-en 6976  df-dom 6977  df-sup 7275  df-inf 7276  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-inn 9238  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854  df-fz 10343  df-fzo 10477  df-seqfrec 10810

This theorem is referenced by:  unbendc  13205