Theorem nninfdc 13064

Description: An unbounded decidable set of positive integers is infinite. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
nninfdc	⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛) → ω ≼ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑚,𝑛   𝑥,𝐴

Proof of Theorem nninfdc

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑓 𝑖 𝑦 𝑧 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnenom 10686	. . 3 ⊢ ℕ ≈ ω
2	1	ensymi 6951	. 2 ⊢ ω ≈ ℕ
3		breq1 4089	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 1 → (𝑚 < 𝑛 ↔ 1 < 𝑛))
4	3	rexbidv 2531	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 1 → (∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛 ↔ ∃𝑛 ∈ 𝐴 1 < 𝑛))
5		simp3 1023	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛) → ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛)
6		1nn 9144	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ
7	6	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛) → 1 ∈ ℕ)
8	4, 5, 7	rspcdva 2913	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛) → ∃𝑛 ∈ 𝐴 1 < 𝑛)
9		breq2 4090	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (1 < 𝑛 ↔ 1 < 𝑗))
10	9	cbvrexv 2766	. . . . 5 ⊢ (∃𝑛 ∈ 𝐴 1 < 𝑛 ↔ ∃𝑗 ∈ 𝐴 1 < 𝑗)
11	8, 10	sylib 122	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛) → ∃𝑗 ∈ 𝐴 1 < 𝑗)
12		simpl1 1024	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛) ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 1 < 𝑗)) → 𝐴 ⊆ ℕ)
13		simpl2 1025	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛) ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 1 < 𝑗)) → ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
14		simpl3 1026	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛) ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 1 < 𝑗)) → ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛)
15		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛) ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 1 < 𝑗)) → (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 1 < 𝑗))
16		fvoveq1 6036	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 𝑦 → (ℤ≥‘(𝑎 + 1)) = (ℤ≥‘(𝑦 + 1)))
17	16	ineq2d 3406	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝑦 → (𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑎 + 1))) = (𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))))
18	17	infeq1d 7202	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑦 → inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑎 + 1))), ℝ, < ) = inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < ))
19		eqidd 2230	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝑧 → inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < ) = inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < ))
20	18, 19	cbvmpov 6096	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ, 𝑏 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑎 + 1))), ℝ, < )) = (𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < ))
21		seqeq2 10703	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ, 𝑏 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑎 + 1))), ℝ, < )) = (𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < )) → seq1((𝑎 ∈ ℕ, 𝑏 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑎 + 1))), ℝ, < )), (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝑗)) = seq1((𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < )), (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝑗)))
22	20, 21	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ seq1((𝑎 ∈ ℕ, 𝑏 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑎 + 1))), ℝ, < )), (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝑗)) = seq1((𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < )), (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝑗))
23	12, 13, 14, 15, 22	nninfdclemf1 13063	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛) ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 1 < 𝑗)) → seq1((𝑎 ∈ ℕ, 𝑏 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑎 + 1))), ℝ, < )), (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝑗)):ℕ–1-1→𝐴)
24		seqex 10701	. . . . . 6 ⊢ seq1((𝑎 ∈ ℕ, 𝑏 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑎 + 1))), ℝ, < )), (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝑗)) ∈ V
25		f1eq1 5534	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = seq1((𝑎 ∈ ℕ, 𝑏 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑎 + 1))), ℝ, < )), (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝑗)) → (𝑓:ℕ–1-1→𝐴 ↔ seq1((𝑎 ∈ ℕ, 𝑏 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑎 + 1))), ℝ, < )), (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝑗)):ℕ–1-1→𝐴))
26	24, 25	spcev 2899	. . . . 5 ⊢ (seq1((𝑎 ∈ ℕ, 𝑏 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑎 + 1))), ℝ, < )), (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝑗)):ℕ–1-1→𝐴 → ∃𝑓 𝑓:ℕ–1-1→𝐴)
27	23, 26	syl 14	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛) ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 1 < 𝑗)) → ∃𝑓 𝑓:ℕ–1-1→𝐴)
28	11, 27	rexlimddv 2653	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛) → ∃𝑓 𝑓:ℕ–1-1→𝐴)
29		nnex 9139	. . . . . 6 ⊢ ℕ ∈ V
30	29	ssex 4224	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℕ → 𝐴 ∈ V)
31	30	3ad2ant1 1042	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛) → 𝐴 ∈ V)
32		brdomg 6914	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → (ℕ ≼ 𝐴 ↔ ∃𝑓 𝑓:ℕ–1-1→𝐴))
33	31, 32	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛) → (ℕ ≼ 𝐴 ↔ ∃𝑓 𝑓:ℕ–1-1→𝐴))
34	28, 33	mpbird 167	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛) → ℕ ≼ 𝐴)
35		endomtr 6959	. 2 ⊢ ((ω ≈ ℕ ∧ ℕ ≼ 𝐴) → ω ≼ 𝐴)
36	2, 34, 35	sylancr 414	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛) → ω ≼ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  DECID wdc 839   ∧ w3a 1002   = wceq 1395  ∃wex 1538   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508  ∃wrex 2509  Vcvv 2800   ∩ cin 3197   ⊆ wss 3198   class class class wbr 4086   ↦ cmpt 4148  ωcom 4686  –1-1→wf1 5321  ‘cfv 5324  (class class class)co 6013   ∈ cmpo 6015   ≈ cen 6902   ≼ cdom 6903  infcinf 7173  ℝcr 8021  1c1 8023   + caddc 8025   < clt 8204  ℕcn 9133  ℤ_≥cuz 9745  seqcseq 10699

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-addcom 8122  ax-addass 8124  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-apti 8137  ax-pre-ltadd 8138

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-isom 5333  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-frec 6552  df-er 6697  df-en 6905  df-dom 6906  df-sup 7174  df-inf 7175  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-inn 9134  df-n0 9393  df-z 9470  df-uz 9746  df-fz 10234  df-fzo 10368  df-seqfrec 10700

This theorem is referenced by:  unbendc  13065