Theorem mpteq2dva 4119

Description: Slightly more general equality inference for the maps-to notation. (Contributed by Scott Fenton, 25-Apr-2012.)

Hypothesis

Ref	Expression
mpteq2dva.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
mpteq2dva	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))

Distinct variable group:   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem mpteq2dva

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1539	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		mpteq2dva.1	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 = 𝐶)
3	1, 2	mpteq2da 4118	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   ↦ cmpt 4090

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-11 1517  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-ral 2477  df-opab 4091  df-mpt 4092

This theorem is referenced by:  mpteq2dv  4120  fmptapd  5749  offval  6138  offval2  6146  caofinvl  6155  caofcom  6156  caofdig  6159  freceq1  6445  freceq2  6446  pw2f1odclem  6890  mapxpen  6904  xpmapenlem  6905  nnnninf2  7186  nninfwlpoimlemginf  7235  fser0const  10606  sumeq1  11498  sumeq2  11502  prodeq2  11700  prod1dc  11729  restid2  12859  qusin  12909  grpinvpropdg  13147  mulgrhm2  14098  cnmpt1t  14453  cnmpt12  14455  fsumcncntop  14724  divccncfap  14745  cdivcncfap  14758  expcncf  14763  divcncfap  14768  maxcncf  14769  mincncf  14770  dvidlemap  14845  dvcnp2cntop  14848  dvaddxxbr  14850  dvmulxxbr  14851  dvimulf  14855  dvcoapbr  14856  dvcjbr  14857  dvcj  14858  dvfre  14859  dvexp  14860  dvexp2  14861  dvrecap  14862  dvmptcmulcn  14868  dvmptnegcn  14869  dvmptsubcn  14870  dvef  14873  ply1termlem  14888  plypow  14890  plyconst  14891  plyaddlem1  14893  plymullem1  14894  lgsval4lem  15127  lgsneg  15140  lgsmod  15142  lgseisenlem3  15188  lgseisenlem4  15189