Theorem fnniniseg2 5703

Description: Support sets of functions expressed as abstractions. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fnniniseg2	⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (◡𝐹 “ (V ∖ {𝐵})) = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝐵})

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝐵

Proof of Theorem fnniniseg2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fncnvima2 5701	. 2 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (◡𝐹 “ (V ∖ {𝐵})) = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ (V ∖ {𝐵})})
2		eldifsn 3760	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ (V ∖ {𝐵}) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ V ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝐵))
3		funfvex 5593	. . . . . 6 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝑥) ∈ V)
4	3	funfni 5376	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ V)
5	4	biantrurd 305	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑥) ≠ 𝐵 ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ V ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝐵)))
6	2, 5	bitr4id 199	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑥) ∈ (V ∖ {𝐵}) ↔ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝐵))
7	6	rabbidva 2760	. 2 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ (V ∖ {𝐵})} = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝐵})
8	1, 7	eqtrd 2238	1 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (◡𝐹 “ (V ∖ {𝐵})) = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝐵})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1373   ∈ wcel 2176   ≠ wne 2376  {crab 2488  Vcvv 2772   ∖ cdif 3163  {csn 3633  ^◡ccnv 4674   “ cima 4678   Fn wfn 5266  ‘cfv 5271

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4045  df-opab 4106  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-fv 5279

This theorem is referenced by: (None)