Theorem fnniniseg2 5682

Description: Support sets of functions expressed as abstractions. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fnniniseg2	⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (◡𝐹 “ (V ∖ {𝐵})) = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝐵})

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝐵

Proof of Theorem fnniniseg2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fncnvima2 5680	. 2 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (◡𝐹 “ (V ∖ {𝐵})) = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ (V ∖ {𝐵})})
2		eldifsn 3746	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ (V ∖ {𝐵}) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ V ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝐵))
3		funfvex 5572	. . . . . 6 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝑥) ∈ V)
4	3	funfni 5355	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ V)
5	4	biantrurd 305	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑥) ≠ 𝐵 ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ V ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝐵)))
6	2, 5	bitr4id 199	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑥) ∈ (V ∖ {𝐵}) ↔ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝐵))
7	6	rabbidva 2748	. 2 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ (V ∖ {𝐵})} = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝐵})
8	1, 7	eqtrd 2226	1 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (◡𝐹 “ (V ∖ {𝐵})) = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝐵})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2364  {crab 2476  Vcvv 2760   ∖ cdif 3151  {csn 3619  ^◡ccnv 4659   “ cima 4663   Fn wfn 5250  ‘cfv 5255

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-fv 5263

This theorem is referenced by: (None)