ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fnniniseg2 GIF version

Theorem fnniniseg2 5631
Description: Support sets of functions expressed as abstractions. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
fnniniseg2 (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐹 “ (V ∖ {𝐵})) = {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) ≠ 𝐵})
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝐵

Proof of Theorem fnniniseg2
StepHypRef Expression
1 fncnvima2 5629 . 2 (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐹 “ (V ∖ {𝐵})) = {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) ∈ (V ∖ {𝐵})})
2 eldifsn 3716 . . . 4 ((𝐹𝑥) ∈ (V ∖ {𝐵}) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ V ∧ (𝐹𝑥) ≠ 𝐵))
3 funfvex 5524 . . . . . 6 ((Fun 𝐹𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝐹𝑥) ∈ V)
43funfni 5308 . . . . 5 ((𝐹 Fn 𝐴𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ V)
54biantrurd 305 . . . 4 ((𝐹 Fn 𝐴𝑥𝐴) → ((𝐹𝑥) ≠ 𝐵 ↔ ((𝐹𝑥) ∈ V ∧ (𝐹𝑥) ≠ 𝐵)))
62, 5bitr4id 199 . . 3 ((𝐹 Fn 𝐴𝑥𝐴) → ((𝐹𝑥) ∈ (V ∖ {𝐵}) ↔ (𝐹𝑥) ≠ 𝐵))
76rabbidva 2723 . 2 (𝐹 Fn 𝐴 → {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) ∈ (V ∖ {𝐵})} = {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) ≠ 𝐵})
81, 7eqtrd 2208 1 (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐹 “ (V ∖ {𝐵})) = {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) ≠ 𝐵})
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104   = wceq 1353  wcel 2146  wne 2345  {crab 2457  Vcvv 2735  cdif 3124  {csn 3589  ccnv 4619  cima 4623   Fn wfn 5203  cfv 5208
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-ral 2458  df-rex 2459  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-br 3999  df-opab 4060  df-id 4287  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-fv 5216
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator