ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fnniniseg2 GIF version

Theorem fnniniseg2 5509
Description: Support sets of functions expressed as abstractions. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
fnniniseg2 (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐹 “ (V ∖ {𝐵})) = {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) ≠ 𝐵})
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝐵

Proof of Theorem fnniniseg2
StepHypRef Expression
1 fncnvima2 5507 . 2 (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐹 “ (V ∖ {𝐵})) = {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) ∈ (V ∖ {𝐵})})
2 funfvex 5404 . . . . . 6 ((Fun 𝐹𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝐹𝑥) ∈ V)
32funfni 5191 . . . . 5 ((𝐹 Fn 𝐴𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ V)
43biantrurd 301 . . . 4 ((𝐹 Fn 𝐴𝑥𝐴) → ((𝐹𝑥) ≠ 𝐵 ↔ ((𝐹𝑥) ∈ V ∧ (𝐹𝑥) ≠ 𝐵)))
5 eldifsn 3618 . . . 4 ((𝐹𝑥) ∈ (V ∖ {𝐵}) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ V ∧ (𝐹𝑥) ≠ 𝐵))
64, 5syl6rbbr 198 . . 3 ((𝐹 Fn 𝐴𝑥𝐴) → ((𝐹𝑥) ∈ (V ∖ {𝐵}) ↔ (𝐹𝑥) ≠ 𝐵))
76rabbidva 2646 . 2 (𝐹 Fn 𝐴 → {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) ∈ (V ∖ {𝐵})} = {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) ≠ 𝐵})
81, 7eqtrd 2148 1 (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐹 “ (V ∖ {𝐵})) = {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) ≠ 𝐵})
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1314  wcel 1463  wne 2283  {crab 2395  Vcvv 2658  cdif 3036  {csn 3495  ccnv 4506  cima 4510   Fn wfn 5086  cfv 5091
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-ral 2396  df-rex 2397  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-br 3898  df-opab 3958  df-id 4183  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-fv 5099
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator