Theorem fnniniseg2 5757

Description: Support sets of functions expressed as abstractions. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fnniniseg2	⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (◡𝐹 “ (V ∖ {𝐵})) = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝐵})

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝐵

Proof of Theorem fnniniseg2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fncnvima2 5755	. 2 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (◡𝐹 “ (V ∖ {𝐵})) = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ (V ∖ {𝐵})})
2		eldifsn 3794	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ (V ∖ {𝐵}) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ V ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝐵))
3		funfvex 5643	. . . . . 6 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝑥) ∈ V)
4	3	funfni 5422	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ V)
5	4	biantrurd 305	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑥) ≠ 𝐵 ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ V ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝐵)))
6	2, 5	bitr4id 199	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑥) ∈ (V ∖ {𝐵}) ↔ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝐵))
7	6	rabbidva 2787	. 2 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ (V ∖ {𝐵})} = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝐵})
8	1, 7	eqtrd 2262	1 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (◡𝐹 “ (V ∖ {𝐵})) = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝐵})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ≠ wne 2400  {crab 2512  Vcvv 2799   ∖ cdif 3194  {csn 3666  ^◡ccnv 4717   “ cima 4721   Fn wfn 5312  ‘cfv 5317

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-br 4083  df-opab 4145  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-fv 5325

This theorem is referenced by: (None)