Theorem fnniniseg2 5779

Description: Support sets of functions expressed as abstractions. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fnniniseg2	⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (◡𝐹 “ (V ∖ {𝐵})) = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝐵})

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝐵

Proof of Theorem fnniniseg2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fncnvima2 5777	. 2 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (◡𝐹 “ (V ∖ {𝐵})) = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ (V ∖ {𝐵})})
2		eldifsn 3804	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ (V ∖ {𝐵}) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ V ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝐵))
3		funfvex 5665	. . . . . 6 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝑥) ∈ V)
4	3	funfni 5439	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ V)
5	4	biantrurd 305	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑥) ≠ 𝐵 ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ V ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝐵)))
6	2, 5	bitr4id 199	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑥) ∈ (V ∖ {𝐵}) ↔ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝐵))
7	6	rabbidva 2791	. 2 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ (V ∖ {𝐵})} = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝐵})
8	1, 7	eqtrd 2264	1 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (◡𝐹 “ (V ∖ {𝐵})) = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝐵})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2202   ≠ wne 2403  {crab 2515  Vcvv 2803   ∖ cdif 3198  {csn 3673  ^◡ccnv 4730   “ cima 4734   Fn wfn 5328  ‘cfv 5333

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-fv 5341

This theorem is referenced by: (None)