ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  rexsupp GIF version

Theorem rexsupp 5512
Description: Existential quantification restricted to a support. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
rexsupp (𝐹 Fn 𝐴 → (∃𝑥 ∈ (𝐹 “ (V ∖ {𝑍}))𝜑 ↔ ∃𝑥𝐴 ((𝐹𝑥) ≠ 𝑍𝜑)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐴
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem rexsupp
StepHypRef Expression
1 elpreima 5507 . . . . 5 (𝐹 Fn 𝐴 → (𝑥 ∈ (𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) ↔ (𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) ∈ (V ∖ {𝑍}))))
2 funfvex 5406 . . . . . . . . 9 ((Fun 𝐹𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝐹𝑥) ∈ V)
32funfni 5193 . . . . . . . 8 ((𝐹 Fn 𝐴𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ V)
43biantrurd 303 . . . . . . 7 ((𝐹 Fn 𝐴𝑥𝐴) → ((𝐹𝑥) ≠ 𝑍 ↔ ((𝐹𝑥) ∈ V ∧ (𝐹𝑥) ≠ 𝑍)))
5 eldifsn 3620 . . . . . . 7 ((𝐹𝑥) ∈ (V ∖ {𝑍}) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ V ∧ (𝐹𝑥) ≠ 𝑍))
64, 5syl6rbbr 198 . . . . . 6 ((𝐹 Fn 𝐴𝑥𝐴) → ((𝐹𝑥) ∈ (V ∖ {𝑍}) ↔ (𝐹𝑥) ≠ 𝑍))
76pm5.32da 447 . . . . 5 (𝐹 Fn 𝐴 → ((𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) ∈ (V ∖ {𝑍})) ↔ (𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) ≠ 𝑍)))
81, 7bitrd 187 . . . 4 (𝐹 Fn 𝐴 → (𝑥 ∈ (𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) ↔ (𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) ≠ 𝑍)))
98anbi1d 460 . . 3 (𝐹 Fn 𝐴 → ((𝑥 ∈ (𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) ∧ 𝜑) ↔ ((𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) ≠ 𝑍) ∧ 𝜑)))
10 anass 398 . . 3 (((𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) ≠ 𝑍) ∧ 𝜑) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝐹𝑥) ≠ 𝑍𝜑)))
119, 10syl6bb 195 . 2 (𝐹 Fn 𝐴 → ((𝑥 ∈ (𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) ∧ 𝜑) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝐹𝑥) ≠ 𝑍𝜑))))
1211rexbidv2 2417 1 (𝐹 Fn 𝐴 → (∃𝑥 ∈ (𝐹 “ (V ∖ {𝑍}))𝜑 ↔ ∃𝑥𝐴 ((𝐹𝑥) ≠ 𝑍𝜑)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  wcel 1465  wne 2285  wrex 2394  Vcvv 2660  cdif 3038  {csn 3497  ccnv 4508  cima 4512   Fn wfn 5088  cfv 5093
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-ral 2398  df-rex 2399  df-v 2662  df-sbc 2883  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-br 3900  df-opab 3960  df-id 4185  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-fv 5101
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator