Theorem rexsupp 6452

Description: Existential quantification restricted to a support. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.) (Revised by AV, 27-May-2019.)

Assertion

Ref	Expression
rexsupp	⊢ ((𝐹 Fn 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (∃𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍)𝜑 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑋 ((𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍 ∧ 𝜑)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊   𝑥,𝑋   𝑥,𝑍

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem rexsupp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elsuppfn 6442	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍)))
2	1	anbi1d 465	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → ((𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ∧ 𝜑) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍) ∧ 𝜑)))
3		anass 401	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍) ∧ 𝜑) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍 ∧ 𝜑)))
4	2, 3	bitrdi 196	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → ((𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ∧ 𝜑) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍 ∧ 𝜑))))
5	4	rexbidv2 2545	1 ⊢ ((𝐹 Fn 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (∃𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍)𝜑 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑋 ((𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍 ∧ 𝜑)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1005   ∈ wcel 2203   ≠ wne 2412  ∃wrex 2521   Fn wfn 5346  ‘cfv 5351  (class class class)co 6049   supp csupp 6434

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-supp 6435

This theorem is referenced by: (None)