ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  rexsupp GIF version

Theorem rexsupp 5636
Description: Existential quantification restricted to a support. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
rexsupp (𝐹 Fn 𝐴 → (∃𝑥 ∈ (𝐹 “ (V ∖ {𝑍}))𝜑 ↔ ∃𝑥𝐴 ((𝐹𝑥) ≠ 𝑍𝜑)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐴
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem rexsupp
StepHypRef Expression
1 elpreima 5631 . . . . 5 (𝐹 Fn 𝐴 → (𝑥 ∈ (𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) ↔ (𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) ∈ (V ∖ {𝑍}))))
2 eldifsn 3718 . . . . . . 7 ((𝐹𝑥) ∈ (V ∖ {𝑍}) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ V ∧ (𝐹𝑥) ≠ 𝑍))
3 funfvex 5528 . . . . . . . . 9 ((Fun 𝐹𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝐹𝑥) ∈ V)
43funfni 5312 . . . . . . . 8 ((𝐹 Fn 𝐴𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ V)
54biantrurd 305 . . . . . . 7 ((𝐹 Fn 𝐴𝑥𝐴) → ((𝐹𝑥) ≠ 𝑍 ↔ ((𝐹𝑥) ∈ V ∧ (𝐹𝑥) ≠ 𝑍)))
62, 5bitr4id 199 . . . . . 6 ((𝐹 Fn 𝐴𝑥𝐴) → ((𝐹𝑥) ∈ (V ∖ {𝑍}) ↔ (𝐹𝑥) ≠ 𝑍))
76pm5.32da 452 . . . . 5 (𝐹 Fn 𝐴 → ((𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) ∈ (V ∖ {𝑍})) ↔ (𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) ≠ 𝑍)))
81, 7bitrd 188 . . . 4 (𝐹 Fn 𝐴 → (𝑥 ∈ (𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) ↔ (𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) ≠ 𝑍)))
98anbi1d 465 . . 3 (𝐹 Fn 𝐴 → ((𝑥 ∈ (𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) ∧ 𝜑) ↔ ((𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) ≠ 𝑍) ∧ 𝜑)))
10 anass 401 . . 3 (((𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) ≠ 𝑍) ∧ 𝜑) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝐹𝑥) ≠ 𝑍𝜑)))
119, 10bitrdi 196 . 2 (𝐹 Fn 𝐴 → ((𝑥 ∈ (𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) ∧ 𝜑) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝐹𝑥) ≠ 𝑍𝜑))))
1211rexbidv2 2480 1 (𝐹 Fn 𝐴 → (∃𝑥 ∈ (𝐹 “ (V ∖ {𝑍}))𝜑 ↔ ∃𝑥𝐴 ((𝐹𝑥) ≠ 𝑍𝜑)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  wcel 2148  wne 2347  wrex 2456  Vcvv 2737  cdif 3126  {csn 3591  ccnv 4622  cima 4626   Fn wfn 5207  cfv 5212
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-br 4001  df-opab 4062  df-id 4290  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-fv 5220
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator