Theorem rexsupp 5620

Description: Existential quantification restricted to a support. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rexsupp	⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (∃𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍}))𝜑 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍 ∧ 𝜑)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem rexsupp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpreima 5615	. . . . 5 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (V ∖ {𝑍}))))
2		eldifsn 3710	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ (V ∖ {𝑍}) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ V ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍))
3		funfvex 5513	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝑥) ∈ V)
4	3	funfni 5298	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ V)
5	4	biantrurd 303	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍 ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ V ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍)))
6	2, 5	bitr4id 198	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑥) ∈ (V ∖ {𝑍}) ↔ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍))
7	6	pm5.32da 449	. . . . 5 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (V ∖ {𝑍})) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍)))
8	1, 7	bitrd 187	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍)))
9	8	anbi1d 462	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → ((𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) ∧ 𝜑) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍) ∧ 𝜑)))
10		anass 399	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍) ∧ 𝜑) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ((𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍 ∧ 𝜑)))
11	9, 10	bitrdi 195	. 2 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → ((𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) ∧ 𝜑) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ((𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍 ∧ 𝜑))))
12	11	rexbidv2 2473	1 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (∃𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍}))𝜑 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍 ∧ 𝜑)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2340  ∃wrex 2449  Vcvv 2730   ∖ cdif 3118  {csn 3583  ^◡ccnv 4610   “ cima 4614   Fn wfn 5193  ‘cfv 5198

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-fv 5206

This theorem is referenced by: (None)