ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  rexsupp GIF version

Theorem rexsupp 5551
Description: Existential quantification restricted to a support. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
rexsupp (𝐹 Fn 𝐴 → (∃𝑥 ∈ (𝐹 “ (V ∖ {𝑍}))𝜑 ↔ ∃𝑥𝐴 ((𝐹𝑥) ≠ 𝑍𝜑)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐴
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem rexsupp
StepHypRef Expression
1 elpreima 5546 . . . . 5 (𝐹 Fn 𝐴 → (𝑥 ∈ (𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) ↔ (𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) ∈ (V ∖ {𝑍}))))
2 funfvex 5445 . . . . . . . . 9 ((Fun 𝐹𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝐹𝑥) ∈ V)
32funfni 5230 . . . . . . . 8 ((𝐹 Fn 𝐴𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ V)
43biantrurd 303 . . . . . . 7 ((𝐹 Fn 𝐴𝑥𝐴) → ((𝐹𝑥) ≠ 𝑍 ↔ ((𝐹𝑥) ∈ V ∧ (𝐹𝑥) ≠ 𝑍)))
5 eldifsn 3657 . . . . . . 7 ((𝐹𝑥) ∈ (V ∖ {𝑍}) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ V ∧ (𝐹𝑥) ≠ 𝑍))
64, 5syl6rbbr 198 . . . . . 6 ((𝐹 Fn 𝐴𝑥𝐴) → ((𝐹𝑥) ∈ (V ∖ {𝑍}) ↔ (𝐹𝑥) ≠ 𝑍))
76pm5.32da 448 . . . . 5 (𝐹 Fn 𝐴 → ((𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) ∈ (V ∖ {𝑍})) ↔ (𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) ≠ 𝑍)))
81, 7bitrd 187 . . . 4 (𝐹 Fn 𝐴 → (𝑥 ∈ (𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) ↔ (𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) ≠ 𝑍)))
98anbi1d 461 . . 3 (𝐹 Fn 𝐴 → ((𝑥 ∈ (𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) ∧ 𝜑) ↔ ((𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) ≠ 𝑍) ∧ 𝜑)))
10 anass 399 . . 3 (((𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) ≠ 𝑍) ∧ 𝜑) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝐹𝑥) ≠ 𝑍𝜑)))
119, 10syl6bb 195 . 2 (𝐹 Fn 𝐴 → ((𝑥 ∈ (𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) ∧ 𝜑) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝐹𝑥) ≠ 𝑍𝜑))))
1211rexbidv2 2441 1 (𝐹 Fn 𝐴 → (∃𝑥 ∈ (𝐹 “ (V ∖ {𝑍}))𝜑 ↔ ∃𝑥𝐴 ((𝐹𝑥) ≠ 𝑍𝜑)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  wcel 1481  wne 2309  wrex 2418  Vcvv 2689  cdif 3072  {csn 3531  ccnv 4545  cima 4549   Fn wfn 5125  cfv 5130
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4053  ax-pow 4105  ax-pr 4138
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-sbc 2913  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-br 3937  df-opab 3997  df-id 4222  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-fv 5138
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator