Theorem rexsupp 5609

Description: Existential quantification restricted to a support. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rexsupp	⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (∃𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍}))𝜑 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍 ∧ 𝜑)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem rexsupp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpreima 5604	. . . . 5 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (V ∖ {𝑍}))))
2		eldifsn 3703	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ (V ∖ {𝑍}) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ V ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍))
3		funfvex 5503	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝑥) ∈ V)
4	3	funfni 5288	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ V)
5	4	biantrurd 303	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍 ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ V ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍)))
6	2, 5	bitr4id 198	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑥) ∈ (V ∖ {𝑍}) ↔ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍))
7	6	pm5.32da 448	. . . . 5 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (V ∖ {𝑍})) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍)))
8	1, 7	bitrd 187	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍)))
9	8	anbi1d 461	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → ((𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) ∧ 𝜑) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍) ∧ 𝜑)))
10		anass 399	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍) ∧ 𝜑) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ((𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍 ∧ 𝜑)))
11	9, 10	bitrdi 195	. 2 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → ((𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) ∧ 𝜑) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ((𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍 ∧ 𝜑))))
12	11	rexbidv2 2469	1 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (∃𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍}))𝜑 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍 ∧ 𝜑)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∈ wcel 2136   ≠ wne 2336  ∃wrex 2445  Vcvv 2726   ∖ cdif 3113  {csn 3576  ^◡ccnv 4603   “ cima 4607   Fn wfn 5183  ‘cfv 5188

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-fv 5196

This theorem is referenced by: (None)