Theorem rexsupp 5643

Description: Existential quantification restricted to a support. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rexsupp	⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (∃𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍}))𝜑 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍 ∧ 𝜑)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem rexsupp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpreima 5638	. . . . 5 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (V ∖ {𝑍}))))
2		eldifsn 3721	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ (V ∖ {𝑍}) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ V ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍))
3		funfvex 5534	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝑥) ∈ V)
4	3	funfni 5318	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ V)
5	4	biantrurd 305	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍 ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ V ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍)))
6	2, 5	bitr4id 199	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑥) ∈ (V ∖ {𝑍}) ↔ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍))
7	6	pm5.32da 452	. . . . 5 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (V ∖ {𝑍})) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍)))
8	1, 7	bitrd 188	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍)))
9	8	anbi1d 465	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → ((𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) ∧ 𝜑) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍) ∧ 𝜑)))
10		anass 401	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍) ∧ 𝜑) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ((𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍 ∧ 𝜑)))
11	9, 10	bitrdi 196	. 2 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → ((𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) ∧ 𝜑) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ((𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍 ∧ 𝜑))))
12	11	rexbidv2 2480	1 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (∃𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍}))𝜑 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍 ∧ 𝜑)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2148   ≠ wne 2347  ∃wrex 2456  Vcvv 2739   ∖ cdif 3128  {csn 3594  ^◡ccnv 4627   “ cima 4631   Fn wfn 5213  ‘cfv 5218

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-fv 5226

This theorem is referenced by: (None)