ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  rexsupp GIF version

Theorem rexsupp 5407
Description: Existential quantification restricted to a support. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
rexsupp (𝐹 Fn 𝐴 → (∃𝑥 ∈ (𝐹 “ (V ∖ {𝑍}))𝜑 ↔ ∃𝑥𝐴 ((𝐹𝑥) ≠ 𝑍𝜑)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐴
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem rexsupp
StepHypRef Expression
1 elpreima 5402 . . . . 5 (𝐹 Fn 𝐴 → (𝑥 ∈ (𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) ↔ (𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) ∈ (V ∖ {𝑍}))))
2 funfvex 5306 . . . . . . . . 9 ((Fun 𝐹𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝐹𝑥) ∈ V)
32funfni 5100 . . . . . . . 8 ((𝐹 Fn 𝐴𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ V)
43biantrurd 299 . . . . . . 7 ((𝐹 Fn 𝐴𝑥𝐴) → ((𝐹𝑥) ≠ 𝑍 ↔ ((𝐹𝑥) ∈ V ∧ (𝐹𝑥) ≠ 𝑍)))
5 eldifsn 3562 . . . . . . 7 ((𝐹𝑥) ∈ (V ∖ {𝑍}) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ V ∧ (𝐹𝑥) ≠ 𝑍))
64, 5syl6rbbr 197 . . . . . 6 ((𝐹 Fn 𝐴𝑥𝐴) → ((𝐹𝑥) ∈ (V ∖ {𝑍}) ↔ (𝐹𝑥) ≠ 𝑍))
76pm5.32da 440 . . . . 5 (𝐹 Fn 𝐴 → ((𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) ∈ (V ∖ {𝑍})) ↔ (𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) ≠ 𝑍)))
81, 7bitrd 186 . . . 4 (𝐹 Fn 𝐴 → (𝑥 ∈ (𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) ↔ (𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) ≠ 𝑍)))
98anbi1d 453 . . 3 (𝐹 Fn 𝐴 → ((𝑥 ∈ (𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) ∧ 𝜑) ↔ ((𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) ≠ 𝑍) ∧ 𝜑)))
10 anass 393 . . 3 (((𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) ≠ 𝑍) ∧ 𝜑) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝐹𝑥) ≠ 𝑍𝜑)))
119, 10syl6bb 194 . 2 (𝐹 Fn 𝐴 → ((𝑥 ∈ (𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) ∧ 𝜑) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝐹𝑥) ≠ 𝑍𝜑))))
1211rexbidv2 2383 1 (𝐹 Fn 𝐴 → (∃𝑥 ∈ (𝐹 “ (V ∖ {𝑍}))𝜑 ↔ ∃𝑥𝐴 ((𝐹𝑥) ≠ 𝑍𝜑)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103  wcel 1438  wne 2255  wrex 2360  Vcvv 2619  cdif 2994  {csn 3441  ccnv 4427  cima 4431   Fn wfn 4997  cfv 5002
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-sbc 2839  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-br 3838  df-opab 3892  df-id 4111  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-fv 5010
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator