Theorem funun 5261

Description: The union of functions with disjoint domains is a function. Theorem 4.6 of [Monk1] p. 43. (Contributed by NM, 12-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
funun	⊢ (((Fun 𝐹 ∧ Fun 𝐺) ∧ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅) → Fun (𝐹 ∪ 𝐺))

Proof of Theorem funun

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funrel 5234	. . . . 5 ⊢ (Fun 𝐹 → Rel 𝐹)
2		funrel 5234	. . . . 5 ⊢ (Fun 𝐺 → Rel 𝐺)
3	1, 2	anim12i 338	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ Fun 𝐺) → (Rel 𝐹 ∧ Rel 𝐺))
4		relun 4744	. . . 4 ⊢ (Rel (𝐹 ∪ 𝐺) ↔ (Rel 𝐹 ∧ Rel 𝐺))
5	3, 4	sylibr 134	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ Fun 𝐺) → Rel (𝐹 ∪ 𝐺))
6	5	adantr 276	. 2 ⊢ (((Fun 𝐹 ∧ Fun 𝐺) ∧ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅) → Rel (𝐹 ∪ 𝐺))
7		elun 3277	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐹 ∪ 𝐺) ↔ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∨ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺))
8		elun 3277	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ (𝐹 ∪ 𝐺) ↔ (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹 ∨ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺))
9	7, 8	anbi12i 460	. . . . . . 7 ⊢ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐹 ∪ 𝐺) ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ (𝐹 ∪ 𝐺)) ↔ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∨ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺) ∧ (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹 ∨ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺)))
10		anddi 821	. . . . . . 7 ⊢ (((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∨ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺) ∧ (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹 ∨ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺)) ↔ (((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∨ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺)) ∨ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∨ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺))))
11	9, 10	bitri 184	. . . . . 6 ⊢ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐹 ∪ 𝐺) ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ (𝐹 ∪ 𝐺)) ↔ (((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∨ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺)) ∨ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∨ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺))))
12		disj1 3474	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅ ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ dom 𝐹 → ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐺))
13	12	biimpi 120	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅ → ∀𝑥(𝑥 ∈ dom 𝐹 → ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐺))
14	13	19.21bi 1558	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅ → (𝑥 ∈ dom 𝐹 → ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐺))
15		imnan 690	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ dom 𝐹 → ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ↔ ¬ (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺))
16	14, 15	sylib 122	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅ → ¬ (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺))
17		vex 2741	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑥 ∈ V
18		vex 2741	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑦 ∈ V
19	17, 18	opeldm 4831	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
20		vex 2741	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑧 ∈ V
21	17, 20	opeldm 4831	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺 → 𝑥 ∈ dom 𝐺)
22	19, 21	anim12i 338	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺) → (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺))
23	16, 22	nsyl 628	. . . . . . . . 9 ⊢ ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅ → ¬ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺))
24		orel2 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺) → (((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∨ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺)) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹)))
25	23, 24	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅ → (((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∨ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺)) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹)))
26	14	con2d 624	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅ → (𝑥 ∈ dom 𝐺 → ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐹))
27		imnan 690	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ dom 𝐺 → ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐹) ↔ ¬ (𝑥 ∈ dom 𝐺 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹))
28	26, 27	sylib 122	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅ → ¬ (𝑥 ∈ dom 𝐺 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹))
29	17, 18	opeldm 4831	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 → 𝑥 ∈ dom 𝐺)
30	17, 20	opeldm 4831	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹 → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
31	29, 30	anim12i 338	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → (𝑥 ∈ dom 𝐺 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹))
32	28, 31	nsyl 628	. . . . . . . . 9 ⊢ ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅ → ¬ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹))
33		orel1 725	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → (((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∨ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺)) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺)))
34	32, 33	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅ → (((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∨ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺)) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺)))
35	25, 34	orim12d 786	. . . . . . 7 ⊢ ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅ → ((((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∨ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺)) ∨ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∨ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺))) → ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∨ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺))))
36	35	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ (((Fun 𝐹 ∧ Fun 𝐺) ∧ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅) → ((((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∨ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺)) ∨ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∨ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺))) → ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∨ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺))))
37	11, 36	biimtrid 152	. . . . 5 ⊢ (((Fun 𝐹 ∧ Fun 𝐺) ∧ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅) → ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐹 ∪ 𝐺) ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ (𝐹 ∪ 𝐺)) → ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∨ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺))))
38		dffun4 5228	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Fun 𝐹 ↔ (Rel 𝐹 ∧ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → 𝑦 = 𝑧)))
39	38	simprbi 275	. . . . . . . . 9 ⊢ (Fun 𝐹 → ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → 𝑦 = 𝑧))
40	39	19.21bi 1558	. . . . . . . 8 ⊢ (Fun 𝐹 → ∀𝑦∀𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → 𝑦 = 𝑧))
41	40	19.21bbi 1559	. . . . . . 7 ⊢ (Fun 𝐹 → ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → 𝑦 = 𝑧))
42		dffun4 5228	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Fun 𝐺 ↔ (Rel 𝐺 ∧ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺) → 𝑦 = 𝑧)))
43	42	simprbi 275	. . . . . . . . 9 ⊢ (Fun 𝐺 → ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺) → 𝑦 = 𝑧))
44	43	19.21bi 1558	. . . . . . . 8 ⊢ (Fun 𝐺 → ∀𝑦∀𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺) → 𝑦 = 𝑧))
45	44	19.21bbi 1559	. . . . . . 7 ⊢ (Fun 𝐺 → ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺) → 𝑦 = 𝑧))
46	41, 45	jaao 719	. . . . . 6 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ Fun 𝐺) → (((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∨ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺)) → 𝑦 = 𝑧))
47	46	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((Fun 𝐹 ∧ Fun 𝐺) ∧ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅) → (((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∨ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺)) → 𝑦 = 𝑧))
48	37, 47	syld 45	. . . 4 ⊢ (((Fun 𝐹 ∧ Fun 𝐺) ∧ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅) → ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐹 ∪ 𝐺) ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ (𝐹 ∪ 𝐺)) → 𝑦 = 𝑧))
49	48	alrimiv 1874	. . 3 ⊢ (((Fun 𝐹 ∧ Fun 𝐺) ∧ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅) → ∀𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐹 ∪ 𝐺) ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ (𝐹 ∪ 𝐺)) → 𝑦 = 𝑧))
50	49	alrimivv 1875	. 2 ⊢ (((Fun 𝐹 ∧ Fun 𝐺) ∧ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅) → ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐹 ∪ 𝐺) ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ (𝐹 ∪ 𝐺)) → 𝑦 = 𝑧))
51		dffun4 5228	. 2 ⊢ (Fun (𝐹 ∪ 𝐺) ↔ (Rel (𝐹 ∪ 𝐺) ∧ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐹 ∪ 𝐺) ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ (𝐹 ∪ 𝐺)) → 𝑦 = 𝑧)))
52	6, 50, 51	sylanbrc 417	1 ⊢ (((Fun 𝐹 ∧ Fun 𝐺) ∧ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅) → Fun (𝐹 ∪ 𝐺))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 708  ∀wal 1351   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   ∪ cun 3128   ∩ cin 3129  ∅c0 3423  ⟨cop 3596  dom cdm 4627  Rel wrel 4632  Fun wfun 5211

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-v 2740  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-br 4005  df-opab 4066  df-id 4294  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-fun 5219

This theorem is referenced by:  funprg  5267  funtpg  5268  funtp  5270  fnun  5323  fvun1  5583  sbthlem7  6962  sbthlemi8  6963  casefun  7084  caseinj  7088  djufun  7103  djuinj  7105  exmidfodomrlemim  7200  setsfun  12497  setsfun0  12498  strleund  12562  strleun  12563