Theorem gtapd 8526

Description: 'Greater than' implies apart. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltapd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltapd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltapd.lt	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
gtapd	⊢ (𝜑 → 𝐵 # 𝐴)

Proof of Theorem gtapd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltapd.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltapd.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		ltapd.lt	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
4		ltap 8522	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 # 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1227	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 # 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2135   class class class wbr 3976  ℝcr 7743   < clt 7924   # cap 8470

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4094  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405  ax-setind 4508  ax-cnex 7835  ax-resscn 7836  ax-1cn 7837  ax-1re 7838  ax-icn 7839  ax-addcl 7840  ax-addrcl 7841  ax-mulcl 7842  ax-mulrcl 7843  ax-addcom 7844  ax-mulcom 7845  ax-addass 7846  ax-mulass 7847  ax-distr 7848  ax-i2m1 7849  ax-0lt1 7850  ax-1rid 7851  ax-0id 7852  ax-rnegex 7853  ax-precex 7854  ax-cnre 7855  ax-pre-ltirr 7856  ax-pre-lttrn 7858  ax-pre-apti 7859  ax-pre-ltadd 7860  ax-pre-mulgt0 7861

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-nel 2430  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rab 2451  df-v 2723  df-sbc 2947  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-br 3977  df-opab 4038  df-id 4265  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-iota 5147  df-fun 5184  df-fv 5190  df-riota 5792  df-ov 5839  df-oprab 5840  df-mpo 5841  df-pnf 7926  df-mnf 7927  df-ltxr 7929  df-sub 8062  df-neg 8063  df-reap 8464  df-ap 8471

This theorem is referenced by:  ltapd  8527  btwnapz  9312  abssubap0  11018  sqrt2irrap  12089  logbrec  13419  logbgt0b  13425  logbgcd1irr  13426  logbgcd1irraplemexp  13427  logbgcd1irraplemap  13428  apdifflemf  13759