ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nn0opthlem2d GIF version

Theorem nn0opthlem2d 10715
Description: Lemma for nn0opth2 10718. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
nn0opthd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℕ0)
nn0opthd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℕ0)
nn0opthd.3 (𝜑𝐶 ∈ ℕ0)
nn0opthd.4 (𝜑𝐷 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
nn0opthlem2d (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) < 𝐶 → ((𝐶 · 𝐶) + 𝐷) ≠ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵)))

Proof of Theorem nn0opthlem2d
StepHypRef Expression
1 nn0opthd.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℕ0)
2 nn0opthd.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℕ0)
31, 2nn0addcld 9247 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0)
43nn0red 9244 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
54, 4remulcld 8002 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) ∈ ℝ)
62nn0red 9244 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
75, 6readdcld 8001 . . . 4 (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ∈ ℝ)
87adantr 276 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) < 𝐶) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ∈ ℝ)
9 nn0opthd.3 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℕ0)
109nn0red 9244 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
1110, 10remulcld 8002 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶 · 𝐶) ∈ ℝ)
1211adantr 276 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) < 𝐶) → (𝐶 · 𝐶) ∈ ℝ)
13 nn0opthd.4 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ ℕ0)
1413nn0red 9244 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
1511, 14readdcld 8001 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐶 · 𝐶) + 𝐷) ∈ ℝ)
1615adantr 276 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) < 𝐶) → ((𝐶 · 𝐶) + 𝐷) ∈ ℝ)
17 2re 9003 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ
1817a1i 9 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
1918, 4remulcld 8002 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · (𝐴 + 𝐵)) ∈ ℝ)
205, 19readdcld 8001 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + (2 · (𝐴 + 𝐵))) ∈ ℝ)
2120adantr 276 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) < 𝐶) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + (2 · (𝐴 + 𝐵))) ∈ ℝ)
22 nn0addge2 9237 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐵 ≤ (𝐴 + 𝐵))
236, 1, 22syl2anc 411 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ≤ (𝐴 + 𝐵))
24 nn0addge1 9236 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝐵) ≤ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 + 𝐵)))
254, 3, 24syl2anc 411 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ≤ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 + 𝐵)))
264recnd 8000 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
27262timesd 9175 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2 · (𝐴 + 𝐵)) = ((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 + 𝐵)))
2825, 27breqtrrd 4043 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ≤ (2 · (𝐴 + 𝐵)))
296, 4, 19, 23, 28letrd 8095 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ≤ (2 · (𝐴 + 𝐵)))
306, 19, 5, 29leadd2dd 8531 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ≤ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + (2 · (𝐴 + 𝐵))))
3130adantr 276 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) < 𝐶) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ≤ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + (2 · (𝐴 + 𝐵))))
323, 9nn0opthlem1d 10714 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) < 𝐶 ↔ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + (2 · (𝐴 + 𝐵))) < (𝐶 · 𝐶)))
3332biimpa 296 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) < 𝐶) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + (2 · (𝐴 + 𝐵))) < (𝐶 · 𝐶))
348, 21, 12, 31, 33lelttrd 8096 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) < 𝐶) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) < (𝐶 · 𝐶))
35 nn0addge1 9236 . . . . . 6 (((𝐶 · 𝐶) ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (𝐶 · 𝐶) ≤ ((𝐶 · 𝐶) + 𝐷))
3611, 13, 35syl2anc 411 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶 · 𝐶) ≤ ((𝐶 · 𝐶) + 𝐷))
3736adantr 276 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) < 𝐶) → (𝐶 · 𝐶) ≤ ((𝐶 · 𝐶) + 𝐷))
388, 12, 16, 34, 37ltletrd 8394 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) < 𝐶) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) < ((𝐶 · 𝐶) + 𝐷))
398, 38gtned 8084 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) < 𝐶) → ((𝐶 · 𝐶) + 𝐷) ≠ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵))
4039ex 115 1 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) < 𝐶 → ((𝐶 · 𝐶) + 𝐷) ≠ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wcel 2158  wne 2357   class class class wbr 4015  (class class class)co 5888  cr 7824   + caddc 7828   · cmul 7830   < clt 8006  cle 8007  2c2 8984  0cn0 9190
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-mulrcl 7924  ax-addcom 7925  ax-mulcom 7926  ax-addass 7927  ax-mulass 7928  ax-distr 7929  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-1rid 7932  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-precex 7935  ax-cnre 7936  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-ltwlin 7938  ax-pre-lttrn 7939  ax-pre-apti 7940  ax-pre-ltadd 7941  ax-pre-mulgt0 7942  ax-pre-mulext 7943
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6155  df-2nd 6156  df-recs 6320  df-frec 6406  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-xr 8010  df-ltxr 8011  df-le 8012  df-sub 8144  df-neg 8145  df-reap 8546  df-ap 8553  df-div 8644  df-inn 8934  df-2 8992  df-n0 9191  df-z 9268  df-uz 9543  df-seqfrec 10460  df-exp 10534
This theorem is referenced by:  nn0opthd  10716
  Copyright terms: Public domain W3C validator