Theorem nn0opthlem2d 10634

Description: Lemma for nn0opth2 10637. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0opthd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
nn0opthd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)
nn0opthd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ0)
nn0opthd.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0opthlem2d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) < 𝐶 → ((𝐶 · 𝐶) + 𝐷) ≠ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵)))

Proof of Theorem nn0opthlem2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0opthd.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2		nn0opthd.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)
3	1, 2	nn0addcld 9171	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0)
4	3	nn0red 9168	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
5	4, 4	remulcld 7929	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) ∈ ℝ)
6	2	nn0red 9168	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
7	5, 6	readdcld 7928	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ∈ ℝ)
8	7	adantr 274	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) < 𝐶) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ∈ ℝ)
9		nn0opthd.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ0)
10	9	nn0red 9168	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
11	10, 10	remulcld 7929	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐶) ∈ ℝ)
12	11	adantr 274	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) < 𝐶) → (𝐶 · 𝐶) ∈ ℝ)
13		nn0opthd.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
14	13	nn0red 9168	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
15	11, 14	readdcld 7928	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐶) + 𝐷) ∈ ℝ)
16	15	adantr 274	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) < 𝐶) → ((𝐶 · 𝐶) + 𝐷) ∈ ℝ)
17		2re 8927	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
18	17	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
19	18, 4	remulcld 7929	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝐴 + 𝐵)) ∈ ℝ)
20	5, 19	readdcld 7928	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + (2 · (𝐴 + 𝐵))) ∈ ℝ)
21	20	adantr 274	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) < 𝐶) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + (2 · (𝐴 + 𝐵))) ∈ ℝ)
22		nn0addge2 9161	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐵 ≤ (𝐴 + 𝐵))
23	6, 1, 22	syl2anc 409	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ (𝐴 + 𝐵))
24		nn0addge1 9160	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝐵) ≤ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 + 𝐵)))
25	4, 3, 24	syl2anc 409	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ≤ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 + 𝐵)))
26	4	recnd 7927	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
27	26	2timesd 9099	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝐴 + 𝐵)) = ((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 + 𝐵)))
28	25, 27	breqtrrd 4010	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ≤ (2 · (𝐴 + 𝐵)))
29	6, 4, 19, 23, 28	letrd 8022	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ (2 · (𝐴 + 𝐵)))
30	6, 19, 5, 29	leadd2dd 8458	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ≤ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + (2 · (𝐴 + 𝐵))))
31	30	adantr 274	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) < 𝐶) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ≤ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + (2 · (𝐴 + 𝐵))))
32	3, 9	nn0opthlem1d 10633	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) < 𝐶 ↔ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + (2 · (𝐴 + 𝐵))) < (𝐶 · 𝐶)))
33	32	biimpa 294	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) < 𝐶) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + (2 · (𝐴 + 𝐵))) < (𝐶 · 𝐶))
34	8, 21, 12, 31, 33	lelttrd 8023	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) < 𝐶) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) < (𝐶 · 𝐶))
35		nn0addge1 9160	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 · 𝐶) ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (𝐶 · 𝐶) ≤ ((𝐶 · 𝐶) + 𝐷))
36	11, 13, 35	syl2anc 409	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐶) ≤ ((𝐶 · 𝐶) + 𝐷))
37	36	adantr 274	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) < 𝐶) → (𝐶 · 𝐶) ≤ ((𝐶 · 𝐶) + 𝐷))
38	8, 12, 16, 34, 37	ltletrd 8321	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) < 𝐶) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) < ((𝐶 · 𝐶) + 𝐷))
39	8, 38	gtned 8011	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) < 𝐶) → ((𝐶 · 𝐶) + 𝐷) ≠ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵))
40	39	ex 114	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) < 𝐶 → ((𝐶 · 𝐶) + 𝐷) ≠ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∈ wcel 2136   ≠ wne 2336   class class class wbr 3982  (class class class)co 5842  ℝcr 7752   + caddc 7756   · cmul 7758   < clt 7933   ≤ cle 7934  2c2 8908  ℕ₀cn0 9114

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-frec 6359  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-seqfrec 10381  df-exp 10455

This theorem is referenced by:  nn0opthd  10635