ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nn0opthlem2d GIF version

Theorem nn0opthlem2d 10190
Description: Lemma for nn0opth2 10193. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
nn0opthd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℕ0)
nn0opthd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℕ0)
nn0opthd.3 (𝜑𝐶 ∈ ℕ0)
nn0opthd.4 (𝜑𝐷 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
nn0opthlem2d (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) < 𝐶 → ((𝐶 · 𝐶) + 𝐷) ≠ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵)))

Proof of Theorem nn0opthlem2d
StepHypRef Expression
1 nn0opthd.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℕ0)
2 nn0opthd.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℕ0)
31, 2nn0addcld 8791 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0)
43nn0red 8788 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
54, 4remulcld 7579 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) ∈ ℝ)
62nn0red 8788 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
75, 6readdcld 7578 . . . 4 (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ∈ ℝ)
87adantr 271 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) < 𝐶) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ∈ ℝ)
9 nn0opthd.3 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℕ0)
109nn0red 8788 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
1110, 10remulcld 7579 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶 · 𝐶) ∈ ℝ)
1211adantr 271 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) < 𝐶) → (𝐶 · 𝐶) ∈ ℝ)
13 nn0opthd.4 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ ℕ0)
1413nn0red 8788 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
1511, 14readdcld 7578 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐶 · 𝐶) + 𝐷) ∈ ℝ)
1615adantr 271 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) < 𝐶) → ((𝐶 · 𝐶) + 𝐷) ∈ ℝ)
17 2re 8553 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ
1817a1i 9 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
1918, 4remulcld 7579 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · (𝐴 + 𝐵)) ∈ ℝ)
205, 19readdcld 7578 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + (2 · (𝐴 + 𝐵))) ∈ ℝ)
2120adantr 271 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) < 𝐶) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + (2 · (𝐴 + 𝐵))) ∈ ℝ)
22 nn0addge2 8781 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐵 ≤ (𝐴 + 𝐵))
236, 1, 22syl2anc 404 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ≤ (𝐴 + 𝐵))
24 nn0addge1 8780 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝐵) ≤ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 + 𝐵)))
254, 3, 24syl2anc 404 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ≤ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 + 𝐵)))
264recnd 7577 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
27262timesd 8719 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2 · (𝐴 + 𝐵)) = ((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 + 𝐵)))
2825, 27breqtrrd 3877 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ≤ (2 · (𝐴 + 𝐵)))
296, 4, 19, 23, 28letrd 7668 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ≤ (2 · (𝐴 + 𝐵)))
306, 19, 5, 29leadd2dd 8098 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ≤ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + (2 · (𝐴 + 𝐵))))
3130adantr 271 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) < 𝐶) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ≤ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + (2 · (𝐴 + 𝐵))))
323, 9nn0opthlem1d 10189 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) < 𝐶 ↔ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + (2 · (𝐴 + 𝐵))) < (𝐶 · 𝐶)))
3332biimpa 291 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) < 𝐶) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + (2 · (𝐴 + 𝐵))) < (𝐶 · 𝐶))
348, 21, 12, 31, 33lelttrd 7669 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) < 𝐶) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) < (𝐶 · 𝐶))
35 nn0addge1 8780 . . . . . 6 (((𝐶 · 𝐶) ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (𝐶 · 𝐶) ≤ ((𝐶 · 𝐶) + 𝐷))
3611, 13, 35syl2anc 404 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶 · 𝐶) ≤ ((𝐶 · 𝐶) + 𝐷))
3736adantr 271 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) < 𝐶) → (𝐶 · 𝐶) ≤ ((𝐶 · 𝐶) + 𝐷))
388, 12, 16, 34, 37ltletrd 7962 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) < 𝐶) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) < ((𝐶 · 𝐶) + 𝐷))
398, 38gtned 7658 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) < 𝐶) → ((𝐶 · 𝐶) + 𝐷) ≠ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵))
4039ex 114 1 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) < 𝐶 → ((𝐶 · 𝐶) + 𝐷) ≠ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wcel 1439  wne 2256   class class class wbr 3851  (class class class)co 5666  cr 7410   + caddc 7414   · cmul 7416   < clt 7583  cle 7584  2c2 8534  0cn0 8734
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3960  ax-sep 3963  ax-nul 3971  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-iinf 4416  ax-cnex 7497  ax-resscn 7498  ax-1cn 7499  ax-1re 7500  ax-icn 7501  ax-addcl 7502  ax-addrcl 7503  ax-mulcl 7504  ax-mulrcl 7505  ax-addcom 7506  ax-mulcom 7507  ax-addass 7508  ax-mulass 7509  ax-distr 7510  ax-i2m1 7511  ax-0lt1 7512  ax-1rid 7513  ax-0id 7514  ax-rnegex 7515  ax-precex 7516  ax-cnre 7517  ax-pre-ltirr 7518  ax-pre-ltwlin 7519  ax-pre-lttrn 7520  ax-pre-apti 7521  ax-pre-ltadd 7522  ax-pre-mulgt0 7523  ax-pre-mulext 7524
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rmo 2368  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-if 3398  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-tr 3943  df-id 4129  df-po 4132  df-iso 4133  df-iord 4202  df-on 4204  df-ilim 4205  df-suc 4207  df-iom 4419  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-rn 4463  df-res 4464  df-ima 4465  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-1st 5925  df-2nd 5926  df-recs 6084  df-frec 6170  df-pnf 7585  df-mnf 7586  df-xr 7587  df-ltxr 7588  df-le 7589  df-sub 7716  df-neg 7717  df-reap 8113  df-ap 8120  df-div 8201  df-inn 8484  df-2 8542  df-n0 8735  df-z 8812  df-uz 9081  df-iseq 9914  df-seq3 9915  df-exp 10016
This theorem is referenced by:  nn0opthd  10191
  Copyright terms: Public domain W3C validator