ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nn0opthlem2d GIF version

Theorem nn0opthlem2d 10479
Description: Lemma for nn0opth2 10482. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
nn0opthd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℕ0)
nn0opthd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℕ0)
nn0opthd.3 (𝜑𝐶 ∈ ℕ0)
nn0opthd.4 (𝜑𝐷 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
nn0opthlem2d (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) < 𝐶 → ((𝐶 · 𝐶) + 𝐷) ≠ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵)))

Proof of Theorem nn0opthlem2d
StepHypRef Expression
1 nn0opthd.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℕ0)
2 nn0opthd.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℕ0)
31, 2nn0addcld 9046 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0)
43nn0red 9043 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
54, 4remulcld 7808 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) ∈ ℝ)
62nn0red 9043 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
75, 6readdcld 7807 . . . 4 (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ∈ ℝ)
87adantr 274 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) < 𝐶) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ∈ ℝ)
9 nn0opthd.3 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℕ0)
109nn0red 9043 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
1110, 10remulcld 7808 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶 · 𝐶) ∈ ℝ)
1211adantr 274 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) < 𝐶) → (𝐶 · 𝐶) ∈ ℝ)
13 nn0opthd.4 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ ℕ0)
1413nn0red 9043 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
1511, 14readdcld 7807 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐶 · 𝐶) + 𝐷) ∈ ℝ)
1615adantr 274 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) < 𝐶) → ((𝐶 · 𝐶) + 𝐷) ∈ ℝ)
17 2re 8802 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ
1817a1i 9 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
1918, 4remulcld 7808 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · (𝐴 + 𝐵)) ∈ ℝ)
205, 19readdcld 7807 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + (2 · (𝐴 + 𝐵))) ∈ ℝ)
2120adantr 274 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) < 𝐶) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + (2 · (𝐴 + 𝐵))) ∈ ℝ)
22 nn0addge2 9036 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐵 ≤ (𝐴 + 𝐵))
236, 1, 22syl2anc 408 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ≤ (𝐴 + 𝐵))
24 nn0addge1 9035 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝐵) ≤ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 + 𝐵)))
254, 3, 24syl2anc 408 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ≤ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 + 𝐵)))
264recnd 7806 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
27262timesd 8974 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2 · (𝐴 + 𝐵)) = ((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 + 𝐵)))
2825, 27breqtrrd 3956 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ≤ (2 · (𝐴 + 𝐵)))
296, 4, 19, 23, 28letrd 7898 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ≤ (2 · (𝐴 + 𝐵)))
306, 19, 5, 29leadd2dd 8334 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ≤ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + (2 · (𝐴 + 𝐵))))
3130adantr 274 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) < 𝐶) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ≤ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + (2 · (𝐴 + 𝐵))))
323, 9nn0opthlem1d 10478 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) < 𝐶 ↔ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + (2 · (𝐴 + 𝐵))) < (𝐶 · 𝐶)))
3332biimpa 294 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) < 𝐶) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + (2 · (𝐴 + 𝐵))) < (𝐶 · 𝐶))
348, 21, 12, 31, 33lelttrd 7899 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) < 𝐶) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) < (𝐶 · 𝐶))
35 nn0addge1 9035 . . . . . 6 (((𝐶 · 𝐶) ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (𝐶 · 𝐶) ≤ ((𝐶 · 𝐶) + 𝐷))
3611, 13, 35syl2anc 408 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶 · 𝐶) ≤ ((𝐶 · 𝐶) + 𝐷))
3736adantr 274 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) < 𝐶) → (𝐶 · 𝐶) ≤ ((𝐶 · 𝐶) + 𝐷))
388, 12, 16, 34, 37ltletrd 8197 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) < 𝐶) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) < ((𝐶 · 𝐶) + 𝐷))
398, 38gtned 7888 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) < 𝐶) → ((𝐶 · 𝐶) + 𝐷) ≠ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵))
4039ex 114 1 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) < 𝐶 → ((𝐶 · 𝐶) + 𝐷) ≠ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wcel 1480  wne 2308   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774  cr 7631   + caddc 7635   · cmul 7637   < clt 7812  cle 7813  2c2 8783  0cn0 8989
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-mulrcl 7731  ax-addcom 7732  ax-mulcom 7733  ax-addass 7734  ax-mulass 7735  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0lt1 7738  ax-1rid 7739  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-precex 7742  ax-cnre 7743  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-lttrn 7746  ax-pre-apti 7747  ax-pre-ltadd 7748  ax-pre-mulgt0 7749  ax-pre-mulext 7750
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-sub 7947  df-neg 7948  df-reap 8349  df-ap 8356  df-div 8445  df-inn 8733  df-2 8791  df-n0 8990  df-z 9067  df-uz 9339  df-seqfrec 10231  df-exp 10305
This theorem is referenced by:  nn0opthd  10480
  Copyright terms: Public domain W3C validator