ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nn0opthlem2d GIF version

Theorem nn0opthlem2d 9978
Description: Lemma for nn0opth2 9981. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
nn0opthd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℕ0)
nn0opthd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℕ0)
nn0opthd.3 (𝜑𝐶 ∈ ℕ0)
nn0opthd.4 (𝜑𝐷 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
nn0opthlem2d (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) < 𝐶 → ((𝐶 · 𝐶) + 𝐷) ≠ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵)))

Proof of Theorem nn0opthlem2d
StepHypRef Expression
1 nn0opthd.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℕ0)
2 nn0opthd.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℕ0)
31, 2nn0addcld 8640 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0)
43nn0red 8637 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
54, 4remulcld 7439 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) ∈ ℝ)
62nn0red 8637 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
75, 6readdcld 7438 . . . 4 (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ∈ ℝ)
87adantr 270 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) < 𝐶) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ∈ ℝ)
9 nn0opthd.3 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℕ0)
109nn0red 8637 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
1110, 10remulcld 7439 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶 · 𝐶) ∈ ℝ)
1211adantr 270 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) < 𝐶) → (𝐶 · 𝐶) ∈ ℝ)
13 nn0opthd.4 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ ℕ0)
1413nn0red 8637 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
1511, 14readdcld 7438 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐶 · 𝐶) + 𝐷) ∈ ℝ)
1615adantr 270 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) < 𝐶) → ((𝐶 · 𝐶) + 𝐷) ∈ ℝ)
17 2re 8404 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ
1817a1i 9 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
1918, 4remulcld 7439 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · (𝐴 + 𝐵)) ∈ ℝ)
205, 19readdcld 7438 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + (2 · (𝐴 + 𝐵))) ∈ ℝ)
2120adantr 270 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) < 𝐶) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + (2 · (𝐴 + 𝐵))) ∈ ℝ)
22 nn0addge2 8630 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐵 ≤ (𝐴 + 𝐵))
236, 1, 22syl2anc 403 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ≤ (𝐴 + 𝐵))
24 nn0addge1 8629 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝐵) ≤ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 + 𝐵)))
254, 3, 24syl2anc 403 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ≤ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 + 𝐵)))
264recnd 7437 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
27262timesd 8568 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2 · (𝐴 + 𝐵)) = ((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 + 𝐵)))
2825, 27breqtrrd 3840 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ≤ (2 · (𝐴 + 𝐵)))
296, 4, 19, 23, 28letrd 7528 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ≤ (2 · (𝐴 + 𝐵)))
306, 19, 5, 29leadd2dd 7955 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ≤ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + (2 · (𝐴 + 𝐵))))
3130adantr 270 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) < 𝐶) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ≤ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + (2 · (𝐴 + 𝐵))))
323, 9nn0opthlem1d 9977 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) < 𝐶 ↔ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + (2 · (𝐴 + 𝐵))) < (𝐶 · 𝐶)))
3332biimpa 290 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) < 𝐶) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + (2 · (𝐴 + 𝐵))) < (𝐶 · 𝐶))
348, 21, 12, 31, 33lelttrd 7529 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) < 𝐶) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) < (𝐶 · 𝐶))
35 nn0addge1 8629 . . . . . 6 (((𝐶 · 𝐶) ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (𝐶 · 𝐶) ≤ ((𝐶 · 𝐶) + 𝐷))
3611, 13, 35syl2anc 403 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶 · 𝐶) ≤ ((𝐶 · 𝐶) + 𝐷))
3736adantr 270 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) < 𝐶) → (𝐶 · 𝐶) ≤ ((𝐶 · 𝐶) + 𝐷))
388, 12, 16, 34, 37ltletrd 7822 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) < 𝐶) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) < ((𝐶 · 𝐶) + 𝐷))
398, 38gtned 7518 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) < 𝐶) → ((𝐶 · 𝐶) + 𝐷) ≠ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵))
4039ex 113 1 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) < 𝐶 → ((𝐶 · 𝐶) + 𝐷) ≠ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wcel 1436  wne 2251   class class class wbr 3814  (class class class)co 5594  cr 7270   + caddc 7274   · cmul 7276   < clt 7443  cle 7444  2c2 8384  0cn0 8583
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-coll 3922  ax-sep 3925  ax-nul 3933  ax-pow 3977  ax-pr 4003  ax-un 4227  ax-setind 4319  ax-iinf 4369  ax-cnex 7357  ax-resscn 7358  ax-1cn 7359  ax-1re 7360  ax-icn 7361  ax-addcl 7362  ax-addrcl 7363  ax-mulcl 7364  ax-mulrcl 7365  ax-addcom 7366  ax-mulcom 7367  ax-addass 7368  ax-mulass 7369  ax-distr 7370  ax-i2m1 7371  ax-0lt1 7372  ax-1rid 7373  ax-0id 7374  ax-rnegex 7375  ax-precex 7376  ax-cnre 7377  ax-pre-ltirr 7378  ax-pre-ltwlin 7379  ax-pre-lttrn 7380  ax-pre-apti 7381  ax-pre-ltadd 7382  ax-pre-mulgt0 7383  ax-pre-mulext 7384
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 779  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rmo 2363  df-rab 2364  df-v 2616  df-sbc 2829  df-csb 2922  df-dif 2988  df-un 2990  df-in 2992  df-ss 2999  df-nul 3273  df-if 3377  df-pw 3411  df-sn 3431  df-pr 3432  df-op 3434  df-uni 3631  df-int 3666  df-iun 3709  df-br 3815  df-opab 3869  df-mpt 3870  df-tr 3905  df-id 4087  df-po 4090  df-iso 4091  df-iord 4160  df-on 4162  df-ilim 4163  df-suc 4165  df-iom 4372  df-xp 4410  df-rel 4411  df-cnv 4412  df-co 4413  df-dm 4414  df-rn 4415  df-res 4416  df-ima 4417  df-iota 4937  df-fun 4974  df-fn 4975  df-f 4976  df-f1 4977  df-fo 4978  df-f1o 4979  df-fv 4980  df-riota 5550  df-ov 5597  df-oprab 5598  df-mpt2 5599  df-1st 5849  df-2nd 5850  df-recs 6005  df-frec 6091  df-pnf 7445  df-mnf 7446  df-xr 7447  df-ltxr 7448  df-le 7449  df-sub 7576  df-neg 7577  df-reap 7970  df-ap 7977  df-div 8056  df-inn 8335  df-2 8393  df-n0 8584  df-z 8661  df-uz 8929  df-iseq 9755  df-iexp 9806
This theorem is referenced by:  nn0opthd  9979
  Copyright terms: Public domain W3C validator