Theorem nn0opthlem2d 10813

Description: Lemma for nn0opth2 10816. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0opthd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
nn0opthd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)
nn0opthd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ0)
nn0opthd.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0opthlem2d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) < 𝐶 → ((𝐶 · 𝐶) + 𝐷) ≠ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵)))

Proof of Theorem nn0opthlem2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0opthd.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2		nn0opthd.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)
3	1, 2	nn0addcld 9306	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0)
4	3	nn0red 9303	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
5	4, 4	remulcld 8057	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) ∈ ℝ)
6	2	nn0red 9303	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
7	5, 6	readdcld 8056	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ∈ ℝ)
8	7	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) < 𝐶) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ∈ ℝ)
9		nn0opthd.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ0)
10	9	nn0red 9303	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
11	10, 10	remulcld 8057	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐶) ∈ ℝ)
12	11	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) < 𝐶) → (𝐶 · 𝐶) ∈ ℝ)
13		nn0opthd.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
14	13	nn0red 9303	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
15	11, 14	readdcld 8056	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐶) + 𝐷) ∈ ℝ)
16	15	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) < 𝐶) → ((𝐶 · 𝐶) + 𝐷) ∈ ℝ)
17		2re 9060	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
18	17	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
19	18, 4	remulcld 8057	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝐴 + 𝐵)) ∈ ℝ)
20	5, 19	readdcld 8056	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + (2 · (𝐴 + 𝐵))) ∈ ℝ)
21	20	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) < 𝐶) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + (2 · (𝐴 + 𝐵))) ∈ ℝ)
22		nn0addge2 9296	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐵 ≤ (𝐴 + 𝐵))
23	6, 1, 22	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ (𝐴 + 𝐵))
24		nn0addge1 9295	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝐵) ≤ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 + 𝐵)))
25	4, 3, 24	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ≤ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 + 𝐵)))
26	4	recnd 8055	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
27	26	2timesd 9234	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝐴 + 𝐵)) = ((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 + 𝐵)))
28	25, 27	breqtrrd 4061	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ≤ (2 · (𝐴 + 𝐵)))
29	6, 4, 19, 23, 28	letrd 8150	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ (2 · (𝐴 + 𝐵)))
30	6, 19, 5, 29	leadd2dd 8587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ≤ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + (2 · (𝐴 + 𝐵))))
31	30	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) < 𝐶) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ≤ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + (2 · (𝐴 + 𝐵))))
32	3, 9	nn0opthlem1d 10812	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) < 𝐶 ↔ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + (2 · (𝐴 + 𝐵))) < (𝐶 · 𝐶)))
33	32	biimpa 296	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) < 𝐶) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + (2 · (𝐴 + 𝐵))) < (𝐶 · 𝐶))
34	8, 21, 12, 31, 33	lelttrd 8151	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) < 𝐶) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) < (𝐶 · 𝐶))
35		nn0addge1 9295	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 · 𝐶) ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (𝐶 · 𝐶) ≤ ((𝐶 · 𝐶) + 𝐷))
36	11, 13, 35	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐶) ≤ ((𝐶 · 𝐶) + 𝐷))
37	36	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) < 𝐶) → (𝐶 · 𝐶) ≤ ((𝐶 · 𝐶) + 𝐷))
38	8, 12, 16, 34, 37	ltletrd 8450	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) < 𝐶) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) < ((𝐶 · 𝐶) + 𝐷))
39	8, 38	gtned 8139	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) < 𝐶) → ((𝐶 · 𝐶) + 𝐷) ≠ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵))
40	39	ex 115	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) < 𝐶 → ((𝐶 · 𝐶) + 𝐷) ≠ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2167   ≠ wne 2367   class class class wbr 4033  (class class class)co 5922  ℝcr 7878   + caddc 7882   · cmul 7884   < clt 8061   ≤ cle 8062  2c2 9041  ℕ₀cn0 9249

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-frec 6449  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-seqfrec 10540  df-exp 10631

This theorem is referenced by:  nn0opthd  10814