ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nn0opthlem2d GIF version

Theorem nn0opthlem2d 10701
Description: Lemma for nn0opth2 10704. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
nn0opthd.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•0)
nn0opthd.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•0)
nn0opthd.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„•0)
nn0opthd.4 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„•0)
Assertion
Ref Expression
nn0opthlem2d (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + ๐ต) < ๐ถ โ†’ ((๐ถ ยท ๐ถ) + ๐ท) โ‰  (((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต)))

Proof of Theorem nn0opthlem2d
StepHypRef Expression
1 nn0opthd.1 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•0)
2 nn0opthd.2 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•0)
31, 2nn0addcld 9233 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„•0)
43nn0red 9230 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„)
54, 4remulcld 7988 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) โˆˆ โ„)
62nn0red 9230 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
75, 6readdcld 7987 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต) โˆˆ โ„)
87adantr 276 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐ด + ๐ต) < ๐ถ) โ†’ (((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต) โˆˆ โ„)
9 nn0opthd.3 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„•0)
109nn0red 9230 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
1110, 10remulcld 7988 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ ยท ๐ถ) โˆˆ โ„)
1211adantr 276 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐ด + ๐ต) < ๐ถ) โ†’ (๐ถ ยท ๐ถ) โˆˆ โ„)
13 nn0opthd.4 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„•0)
1413nn0red 9230 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„)
1511, 14readdcld 7987 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ ยท ๐ถ) + ๐ท) โˆˆ โ„)
1615adantr 276 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐ด + ๐ต) < ๐ถ) โ†’ ((๐ถ ยท ๐ถ) + ๐ท) โˆˆ โ„)
17 2re 8989 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„
1817a1i 9 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„)
1918, 4remulcld 7988 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท (๐ด + ๐ต)) โˆˆ โ„)
205, 19readdcld 7987 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + (2 ยท (๐ด + ๐ต))) โˆˆ โ„)
2120adantr 276 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐ด + ๐ต) < ๐ถ) โ†’ (((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + (2 ยท (๐ด + ๐ต))) โˆˆ โ„)
22 nn0addge2 9223 . . . . . . . . 9 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ต โ‰ค (๐ด + ๐ต))
236, 1, 22syl2anc 411 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โ‰ค (๐ด + ๐ต))
24 nn0addge1 9222 . . . . . . . . . 10 (((๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด + ๐ต) โ‰ค ((๐ด + ๐ต) + (๐ด + ๐ต)))
254, 3, 24syl2anc 411 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ด + ๐ต) โ‰ค ((๐ด + ๐ต) + (๐ด + ๐ต)))
264recnd 7986 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„‚)
27262timesd 9161 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท (๐ด + ๐ต)) = ((๐ด + ๐ต) + (๐ด + ๐ต)))
2825, 27breqtrrd 4032 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ด + ๐ต) โ‰ค (2 ยท (๐ด + ๐ต)))
296, 4, 19, 23, 28letrd 8081 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โ‰ค (2 ยท (๐ด + ๐ต)))
306, 19, 5, 29leadd2dd 8517 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต) โ‰ค (((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + (2 ยท (๐ด + ๐ต))))
3130adantr 276 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐ด + ๐ต) < ๐ถ) โ†’ (((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต) โ‰ค (((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + (2 ยท (๐ด + ๐ต))))
323, 9nn0opthlem1d 10700 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + ๐ต) < ๐ถ โ†” (((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + (2 ยท (๐ด + ๐ต))) < (๐ถ ยท ๐ถ)))
3332biimpa 296 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐ด + ๐ต) < ๐ถ) โ†’ (((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + (2 ยท (๐ด + ๐ต))) < (๐ถ ยท ๐ถ))
348, 21, 12, 31, 33lelttrd 8082 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐ด + ๐ต) < ๐ถ) โ†’ (((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต) < (๐ถ ยท ๐ถ))
35 nn0addge1 9222 . . . . . 6 (((๐ถ ยท ๐ถ) โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ถ ยท ๐ถ) โ‰ค ((๐ถ ยท ๐ถ) + ๐ท))
3611, 13, 35syl2anc 411 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ ยท ๐ถ) โ‰ค ((๐ถ ยท ๐ถ) + ๐ท))
3736adantr 276 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐ด + ๐ต) < ๐ถ) โ†’ (๐ถ ยท ๐ถ) โ‰ค ((๐ถ ยท ๐ถ) + ๐ท))
388, 12, 16, 34, 37ltletrd 8380 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐ด + ๐ต) < ๐ถ) โ†’ (((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต) < ((๐ถ ยท ๐ถ) + ๐ท))
398, 38gtned 8070 . 2 ((๐œ‘ โˆง (๐ด + ๐ต) < ๐ถ) โ†’ ((๐ถ ยท ๐ถ) + ๐ท) โ‰  (((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต))
4039ex 115 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + ๐ต) < ๐ถ โ†’ ((๐ถ ยท ๐ถ) + ๐ท) โ‰  (((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โˆˆ wcel 2148   โ‰  wne 2347   class class class wbr 4004  (class class class)co 5875  โ„cr 7810   + caddc 7814   ยท cmul 7816   < clt 7992   โ‰ค cle 7993  2c2 8970  โ„•0cn0 9176
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-frec 6392  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-seqfrec 10446  df-exp 10520
This theorem is referenced by:  nn0opthd  10702
  Copyright terms: Public domain W3C validator