Theorem nn0opthlem2d 10795

Description: Lemma for nn0opth2 10798. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0opthd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
nn0opthd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)
nn0opthd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ0)
nn0opthd.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0opthlem2d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) < 𝐶 → ((𝐶 · 𝐶) + 𝐷) ≠ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵)))

Proof of Theorem nn0opthlem2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0opthd.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2		nn0opthd.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)
3	1, 2	nn0addcld 9300	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0)
4	3	nn0red 9297	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
5	4, 4	remulcld 8052	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) ∈ ℝ)
6	2	nn0red 9297	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
7	5, 6	readdcld 8051	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ∈ ℝ)
8	7	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) < 𝐶) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ∈ ℝ)
9		nn0opthd.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ0)
10	9	nn0red 9297	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
11	10, 10	remulcld 8052	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐶) ∈ ℝ)
12	11	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) < 𝐶) → (𝐶 · 𝐶) ∈ ℝ)
13		nn0opthd.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
14	13	nn0red 9297	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
15	11, 14	readdcld 8051	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐶) + 𝐷) ∈ ℝ)
16	15	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) < 𝐶) → ((𝐶 · 𝐶) + 𝐷) ∈ ℝ)
17		2re 9054	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
18	17	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
19	18, 4	remulcld 8052	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝐴 + 𝐵)) ∈ ℝ)
20	5, 19	readdcld 8051	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + (2 · (𝐴 + 𝐵))) ∈ ℝ)
21	20	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) < 𝐶) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + (2 · (𝐴 + 𝐵))) ∈ ℝ)
22		nn0addge2 9290	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐵 ≤ (𝐴 + 𝐵))
23	6, 1, 22	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ (𝐴 + 𝐵))
24		nn0addge1 9289	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝐵) ≤ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 + 𝐵)))
25	4, 3, 24	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ≤ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 + 𝐵)))
26	4	recnd 8050	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
27	26	2timesd 9228	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝐴 + 𝐵)) = ((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 + 𝐵)))
28	25, 27	breqtrrd 4058	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ≤ (2 · (𝐴 + 𝐵)))
29	6, 4, 19, 23, 28	letrd 8145	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ (2 · (𝐴 + 𝐵)))
30	6, 19, 5, 29	leadd2dd 8581	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ≤ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + (2 · (𝐴 + 𝐵))))
31	30	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) < 𝐶) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ≤ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + (2 · (𝐴 + 𝐵))))
32	3, 9	nn0opthlem1d 10794	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) < 𝐶 ↔ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + (2 · (𝐴 + 𝐵))) < (𝐶 · 𝐶)))
33	32	biimpa 296	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) < 𝐶) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + (2 · (𝐴 + 𝐵))) < (𝐶 · 𝐶))
34	8, 21, 12, 31, 33	lelttrd 8146	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) < 𝐶) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) < (𝐶 · 𝐶))
35		nn0addge1 9289	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 · 𝐶) ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (𝐶 · 𝐶) ≤ ((𝐶 · 𝐶) + 𝐷))
36	11, 13, 35	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐶) ≤ ((𝐶 · 𝐶) + 𝐷))
37	36	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) < 𝐶) → (𝐶 · 𝐶) ≤ ((𝐶 · 𝐶) + 𝐷))
38	8, 12, 16, 34, 37	ltletrd 8444	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) < 𝐶) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) < ((𝐶 · 𝐶) + 𝐷))
39	8, 38	gtned 8134	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) < 𝐶) → ((𝐶 · 𝐶) + 𝐷) ≠ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵))
40	39	ex 115	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) < 𝐶 → ((𝐶 · 𝐶) + 𝐷) ≠ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2364   class class class wbr 4030  (class class class)co 5919  ℝcr 7873   + caddc 7877   · cmul 7879   < clt 8056   ≤ cle 8057  2c2 9035  ℕ₀cn0 9243

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991  ax-pre-mulext 7992

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-iord 4398  df-on 4400  df-ilim 4401  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-frec 6446  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603  df-div 8694  df-inn 8985  df-2 9043  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-seqfrec 10522  df-exp 10613

This theorem is referenced by:  nn0opthd  10796