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Theorem logbgcd1irr 13128
 Description: The logarithm of an integer greater than 1 to an integer base greater than 1 is not rational if the argument and the base are relatively prime. For example, (2 logb 9) ∈ (ℝ ∖ ℚ) (Contributed by AV, 29-Dec-2022.)
Assertion
Ref Expression
logbgcd1irr ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑋 gcd 𝐵) = 1) → (𝐵 logb 𝑋) ∈ (ℝ ∖ ℚ))

Proof of Theorem logbgcd1irr
Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluz2nn 9417 . . . . 5 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 𝐵 ∈ ℕ)
21nnrpd 9540 . . . 4 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 𝐵 ∈ ℝ+)
323ad2ant2 1004 . . 3 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑋 gcd 𝐵) = 1) → 𝐵 ∈ ℝ+)
4 1red 7834 . . . . 5 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 1 ∈ ℝ)
5 eluzelre 9389 . . . . 5 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 𝐵 ∈ ℝ)
6 eluz2gt1 9452 . . . . 5 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 1 < 𝐵)
74, 5, 6gtapd 8452 . . . 4 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 𝐵 # 1)
873ad2ant2 1004 . . 3 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑋 gcd 𝐵) = 1) → 𝐵 # 1)
9 eluz2nn 9417 . . . . 5 (𝑋 ∈ (ℤ‘2) → 𝑋 ∈ ℕ)
109nnrpd 9540 . . . 4 (𝑋 ∈ (ℤ‘2) → 𝑋 ∈ ℝ+)
11103ad2ant1 1003 . . 3 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑋 gcd 𝐵) = 1) → 𝑋 ∈ ℝ+)
12 rplogbcl 13107 . . 3 ((𝐵 ∈ ℝ+𝐵 # 1 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → (𝐵 logb 𝑋) ∈ ℝ)
133, 8, 11, 12syl3anc 1217 . 2 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑋 gcd 𝐵) = 1) → (𝐵 logb 𝑋) ∈ ℝ)
14 eluz2gt1 9452 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ (ℤ‘2) → 1 < 𝑋)
1514adantr 274 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → 1 < 𝑋)
169adantr 274 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑋 ∈ ℕ)
1716nnrpd 9540 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑋 ∈ ℝ+)
181adantl 275 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → 𝐵 ∈ ℕ)
1918nnrpd 9540 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → 𝐵 ∈ ℝ+)
206adantl 275 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → 1 < 𝐵)
21 logbgt0b 13127 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ ℝ+ ∧ (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵)) → (0 < (𝐵 logb 𝑋) ↔ 1 < 𝑋))
2217, 19, 20, 21syl12anc 1215 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → (0 < (𝐵 logb 𝑋) ↔ 1 < 𝑋))
2315, 22mpbird 166 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → 0 < (𝐵 logb 𝑋))
2423anim1ci 339 . . . . . . 7 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐵 logb 𝑋) ∈ ℚ) → ((𝐵 logb 𝑋) ∈ ℚ ∧ 0 < (𝐵 logb 𝑋)))
25 elpq 9496 . . . . . . 7 (((𝐵 logb 𝑋) ∈ ℚ ∧ 0 < (𝐵 logb 𝑋)) → ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐵 logb 𝑋) = (𝑚 / 𝑛))
2624, 25syl 14 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐵 logb 𝑋) ∈ ℚ) → ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐵 logb 𝑋) = (𝑚 / 𝑛))
2726ex 114 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝐵 logb 𝑋) ∈ ℚ → ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐵 logb 𝑋) = (𝑚 / 𝑛)))
28 oveq2 5794 . . . . . . . . . 10 ((𝑚 / 𝑛) = (𝐵 logb 𝑋) → (𝐵𝑐(𝑚 / 𝑛)) = (𝐵𝑐(𝐵 logb 𝑋)))
2928eqcoms 2144 . . . . . . . . 9 ((𝐵 logb 𝑋) = (𝑚 / 𝑛) → (𝐵𝑐(𝑚 / 𝑛)) = (𝐵𝑐(𝐵 logb 𝑋)))
307adantl 275 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → 𝐵 # 1)
31 rpcxplogb 13125 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ ℝ+𝐵 # 1 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → (𝐵𝑐(𝐵 logb 𝑋)) = 𝑋)
3219, 30, 17, 31syl3anc 1217 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐵𝑐(𝐵 logb 𝑋)) = 𝑋)
3332adantr 274 . . . . . . . . 9 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝐵𝑐(𝐵 logb 𝑋)) = 𝑋)
3429, 33sylan9eqr 2196 . . . . . . . 8 ((((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ (𝐵 logb 𝑋) = (𝑚 / 𝑛)) → (𝐵𝑐(𝑚 / 𝑛)) = 𝑋)
3534ex 114 . . . . . . 7 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝐵 logb 𝑋) = (𝑚 / 𝑛) → (𝐵𝑐(𝑚 / 𝑛)) = 𝑋))
36 oveq1 5793 . . . . . . . 8 ((𝐵𝑐(𝑚 / 𝑛)) = 𝑋 → ((𝐵𝑐(𝑚 / 𝑛))↑𝑛) = (𝑋𝑛))
3719adantr 274 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝐵 ∈ ℝ+)
38 nnrp 9509 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℝ+)
3938ad2antrl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝑚 ∈ ℝ+)
40 nnrp 9509 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ+)
4140ad2antll 483 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝑛 ∈ ℝ+)
4239, 41rpdivcld 9560 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝑚 / 𝑛) ∈ ℝ+)
4342rpred 9542 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝑚 / 𝑛) ∈ ℝ)
44 nncn 8781 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
4544ad2antll 483 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝑛 ∈ ℂ)
4637, 43, 45cxpmuld 13100 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝐵𝑐((𝑚 / 𝑛) · 𝑛)) = ((𝐵𝑐(𝑚 / 𝑛))↑𝑐𝑛))
4739rpcnd 9544 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝑚 ∈ ℂ)
4841rpap0d 9548 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝑛 # 0)
4947, 45, 48divcanap1d 8604 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝑚 / 𝑛) · 𝑛) = 𝑚)
5049oveq2d 5802 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝐵𝑐((𝑚 / 𝑛) · 𝑛)) = (𝐵𝑐𝑚))
511ad2antlr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝐵 ∈ ℕ)
52 nnz 9126 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℤ)
5352ad2antrl 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝑚 ∈ ℤ)
54 cxpexpnn 13061 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝐵𝑐𝑚) = (𝐵𝑚))
5551, 53, 54syl2anc 409 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝐵𝑐𝑚) = (𝐵𝑚))
5650, 55eqtrd 2174 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝐵𝑐((𝑚 / 𝑛) · 𝑛)) = (𝐵𝑚))
5737, 43rpcxpcld 13096 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝐵𝑐(𝑚 / 𝑛)) ∈ ℝ+)
58 nnz 9126 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℤ)
5958ad2antll 483 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝑛 ∈ ℤ)
60 cxpexprp 13060 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵𝑐(𝑚 / 𝑛)) ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℤ) → ((𝐵𝑐(𝑚 / 𝑛))↑𝑐𝑛) = ((𝐵𝑐(𝑚 / 𝑛))↑𝑛))
6157, 59, 60syl2anc 409 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝐵𝑐(𝑚 / 𝑛))↑𝑐𝑛) = ((𝐵𝑐(𝑚 / 𝑛))↑𝑛))
6246, 56, 613eqtr3rd 2183 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝐵𝑐(𝑚 / 𝑛))↑𝑛) = (𝐵𝑚))
6362eqeq1d 2150 . . . . . . . . 9 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (((𝐵𝑐(𝑚 / 𝑛))↑𝑛) = (𝑋𝑛) ↔ (𝐵𝑚) = (𝑋𝑛)))
64 simpr 109 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
65 rplpwr 11787 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑋 gcd 𝐵) = 1 → ((𝑋𝑛) gcd 𝐵) = 1))
6616, 18, 64, 65syl2an3an 1277 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝑋 gcd 𝐵) = 1 → ((𝑋𝑛) gcd 𝐵) = 1))
67 oveq1 5793 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑋𝑛) = (𝐵𝑚) → ((𝑋𝑛) gcd 𝐵) = ((𝐵𝑚) gcd 𝐵))
6867eqeq1d 2150 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑋𝑛) = (𝐵𝑚) → (((𝑋𝑛) gcd 𝐵) = 1 ↔ ((𝐵𝑚) gcd 𝐵) = 1))
6968eqcoms 2144 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐵𝑚) = (𝑋𝑛) → (((𝑋𝑛) gcd 𝐵) = 1 ↔ ((𝐵𝑚) gcd 𝐵) = 1))
7069adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ (𝐵𝑚) = (𝑋𝑛)) → (((𝑋𝑛) gcd 𝐵) = 1 ↔ ((𝐵𝑚) gcd 𝐵) = 1))
71 eluzelz 9388 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 𝐵 ∈ ℤ)
7271adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → 𝐵 ∈ ℤ)
73 simpl 108 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℕ)
74 rpexp 11903 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (((𝐵𝑚) gcd 𝐵) = 1 ↔ (𝐵 gcd 𝐵) = 1))
7572, 72, 73, 74syl2an3an 1277 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (((𝐵𝑚) gcd 𝐵) = 1 ↔ (𝐵 gcd 𝐵) = 1))
76 gcdid 11746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 gcd 𝐵) = (abs‘𝐵))
7771, 76syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → (𝐵 gcd 𝐵) = (abs‘𝐵))
78 nnnn0 9037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℕ0)
79 nn0ge0 9055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐵 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐵)
801, 78, 793syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 0 ≤ 𝐵)
815, 80absidd 11000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → (abs‘𝐵) = 𝐵)
8277, 81eqtrd 2174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → (𝐵 gcd 𝐵) = 𝐵)
8382eqeq1d 2150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐵 gcd 𝐵) = 1 ↔ 𝐵 = 1))
8483ad2antlr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝐵 gcd 𝐵) = 1 ↔ 𝐵 = 1))
854, 6gtned 7929 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 𝐵 ≠ 1)
86 eqneqall 2320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐵 = 1 → (𝐵 ≠ 1 → ⊥))
8785, 86syl5com 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → (𝐵 = 1 → ⊥))
8887ad2antlr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝐵 = 1 → ⊥))
8984, 88sylbid 149 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝐵 gcd 𝐵) = 1 → ⊥))
9075, 89sylbid 149 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (((𝐵𝑚) gcd 𝐵) = 1 → ⊥))
9190adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ (𝐵𝑚) = (𝑋𝑛)) → (((𝐵𝑚) gcd 𝐵) = 1 → ⊥))
9270, 91sylbid 149 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ (𝐵𝑚) = (𝑋𝑛)) → (((𝑋𝑛) gcd 𝐵) = 1 → ⊥))
9392ex 114 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝐵𝑚) = (𝑋𝑛) → (((𝑋𝑛) gcd 𝐵) = 1 → ⊥)))
9493com23 78 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (((𝑋𝑛) gcd 𝐵) = 1 → ((𝐵𝑚) = (𝑋𝑛) → ⊥)))
9566, 94syld 45 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝑋 gcd 𝐵) = 1 → ((𝐵𝑚) = (𝑋𝑛) → ⊥)))
96 dfnot 1350 . . . . . . . . . . 11 (¬ (𝐵𝑚) = (𝑋𝑛) ↔ ((𝐵𝑚) = (𝑋𝑛) → ⊥))
9795, 96syl6ibr 161 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝑋 gcd 𝐵) = 1 → ¬ (𝐵𝑚) = (𝑋𝑛)))
9897con2d 614 . . . . . . . . 9 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝐵𝑚) = (𝑋𝑛) → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1))
9963, 98sylbid 149 . . . . . . . 8 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (((𝐵𝑐(𝑚 / 𝑛))↑𝑛) = (𝑋𝑛) → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1))
10036, 99syl5 32 . . . . . . 7 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝐵𝑐(𝑚 / 𝑛)) = 𝑋 → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1))
10135, 100syld 45 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝐵 logb 𝑋) = (𝑚 / 𝑛) → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1))
102101rexlimdvva 2562 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → (∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐵 logb 𝑋) = (𝑚 / 𝑛) → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1))
10327, 102syld 45 . . . 4 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝐵 logb 𝑋) ∈ ℚ → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1))
104103con2d 614 . . 3 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑋 gcd 𝐵) = 1 → ¬ (𝐵 logb 𝑋) ∈ ℚ))
1051043impia 1179 . 2 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑋 gcd 𝐵) = 1) → ¬ (𝐵 logb 𝑋) ∈ ℚ)
10613, 105eldifd 3088 1 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑋 gcd 𝐵) = 1) → (𝐵 logb 𝑋) ∈ (ℝ ∖ ℚ))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 963   = wceq 1332  ⊥wfal 1337   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2310  ∃wrex 2419   ∖ cdif 3075   class class class wbr 3939  ‘cfv 5135  (class class class)co 5786  ℂcc 7671  ℝcr 7672  0cc0 7673  1c1 7674   · cmul 7678   < clt 7853   ≤ cle 7854   # cap 8396   / cdiv 8485  ℕcn 8773  2c2 8824  ℕ0cn0 9030  ℤcz 9107  ℤ≥cuz 9379  ℚcq 9467  ℝ+crp 9499  ↑cexp 10352  abscabs 10830   gcd cgcd 11707  ↑𝑐ccxp 13022   logb clogb 13104 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2114  ax-14 2115  ax-ext 2123  ax-coll 4053  ax-sep 4056  ax-nul 4064  ax-pow 4108  ax-pr 4142  ax-un 4366  ax-setind 4463  ax-iinf 4513  ax-cnex 7764  ax-resscn 7765  ax-1cn 7766  ax-1re 7767  ax-icn 7768  ax-addcl 7769  ax-addrcl 7770  ax-mulcl 7771  ax-mulrcl 7772  ax-addcom 7773  ax-mulcom 7774  ax-addass 7775  ax-mulass 7776  ax-distr 7777  ax-i2m1 7778  ax-0lt1 7779  ax-1rid 7780  ax-0id 7781  ax-rnegex 7782  ax-precex 7783  ax-cnre 7784  ax-pre-ltirr 7785  ax-pre-ltwlin 7786  ax-pre-lttrn 7787  ax-pre-apti 7788  ax-pre-ltadd 7789  ax-pre-mulgt0 7790  ax-pre-mulext 7791  ax-arch 7792  ax-caucvg 7793  ax-pre-suploc 7794  ax-addf 7795  ax-mulf 7796 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1732  df-eu 1993  df-mo 1994  df-clab 2128  df-cleq 2134  df-clel 2137  df-nfc 2272  df-ne 2311  df-nel 2406  df-ral 2423  df-rex 2424  df-reu 2425  df-rmo 2426  df-rab 2427  df-v 2693  df-sbc 2916  df-csb 3010  df-dif 3080  df-un 3082  df-in 3084  df-ss 3091  df-nul 3371  df-if 3482  df-pw 3519  df-sn 3540  df-pr 3541  df-op 3543  df-uni 3747  df-int 3782  df-iun 3825  df-disj 3917  df-br 3940  df-opab 4000  df-mpt 4001  df-tr 4037  df-id 4226  df-po 4229  df-iso 4230  df-iord 4299  df-on 4301  df-ilim 4302  df-suc 4304  df-iom 4516  df-xp 4557  df-rel 4558  df-cnv 4559  df-co 4560  df-dm 4561  df-rn 4562  df-res 4563  df-ima 4564  df-iota 5100  df-fun 5137  df-fn 5138  df-f 5139  df-f1 5140  df-fo 5141  df-f1o 5142  df-fv 5143  df-isom 5144  df-riota 5742  df-ov 5789  df-oprab 5790  df-mpo 5791  df-of 5994  df-1st 6050  df-2nd 6051  df-recs 6214  df-irdg 6279  df-frec 6300  df-1o 6325  df-2o 6326  df-oadd 6329  df-er 6441  df-map 6556  df-pm 6557  df-en 6647  df-dom 6648  df-fin 6649  df-sup 6888  df-inf 6889  df-pnf 7855  df-mnf 7856  df-xr 7857  df-ltxr 7858  df-le 7859  df-sub 7988  df-neg 7989  df-reap 8390  df-ap 8397  df-div 8486  df-inn 8774  df-2 8832  df-3 8833  df-4 8834  df-n0 9031  df-z 9108  df-uz 9380  df-q 9468  df-rp 9500  df-xneg 9618  df-xadd 9619  df-ioo 9734  df-ico 9736  df-icc 9737  df-fz 9851  df-fzo 9980  df-fl 10103  df-mod 10156  df-seqfrec 10279  df-exp 10353  df-fac 10533  df-bc 10555  df-ihash 10583  df-shft 10648  df-cj 10675  df-re 10676  df-im 10677  df-rsqrt 10831  df-abs 10832  df-clim 11109  df-sumdc 11184  df-ef 11427  df-e 11428  df-dvds 11566  df-gcd 11708  df-prm 11861  df-rest 12197  df-topgen 12216  df-psmet 12231  df-xmet 12232  df-met 12233  df-bl 12234  df-mopn 12235  df-top 12240  df-topon 12253  df-bases 12285  df-ntr 12340  df-cn 12432  df-cnp 12433  df-tx 12497  df-cncf 12802  df-limced 12869  df-dvap 12870  df-relog 13023  df-rpcxp 13024  df-logb 13105 This theorem is referenced by:  2logb9irr  13132  logbprmirr  13133
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