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Theorem logbgcd1irr 14052
Description: The logarithm of an integer greater than 1 to an integer base greater than 1 is not rational if the argument and the base are relatively prime. For example, (2 logb 9) ∈ (ℝ ∖ ℚ). (Contributed by AV, 29-Dec-2022.)
Assertion
Ref Expression
logbgcd1irr ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑋 gcd 𝐵) = 1) → (𝐵 logb 𝑋) ∈ (ℝ ∖ ℚ))

Proof of Theorem logbgcd1irr
Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluz2nn 9555 . . . . 5 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 𝐵 ∈ ℕ)
21nnrpd 9681 . . . 4 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 𝐵 ∈ ℝ+)
323ad2ant2 1019 . . 3 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑋 gcd 𝐵) = 1) → 𝐵 ∈ ℝ+)
4 1red 7963 . . . . 5 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 1 ∈ ℝ)
5 eluzelre 9527 . . . . 5 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 𝐵 ∈ ℝ)
6 eluz2gt1 9591 . . . . 5 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 1 < 𝐵)
74, 5, 6gtapd 8584 . . . 4 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 𝐵 # 1)
873ad2ant2 1019 . . 3 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑋 gcd 𝐵) = 1) → 𝐵 # 1)
9 eluz2nn 9555 . . . . 5 (𝑋 ∈ (ℤ‘2) → 𝑋 ∈ ℕ)
109nnrpd 9681 . . . 4 (𝑋 ∈ (ℤ‘2) → 𝑋 ∈ ℝ+)
11103ad2ant1 1018 . . 3 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑋 gcd 𝐵) = 1) → 𝑋 ∈ ℝ+)
12 rplogbcl 14031 . . 3 ((𝐵 ∈ ℝ+𝐵 # 1 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → (𝐵 logb 𝑋) ∈ ℝ)
133, 8, 11, 12syl3anc 1238 . 2 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑋 gcd 𝐵) = 1) → (𝐵 logb 𝑋) ∈ ℝ)
14 eluz2gt1 9591 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ (ℤ‘2) → 1 < 𝑋)
1514adantr 276 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → 1 < 𝑋)
169adantr 276 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑋 ∈ ℕ)
1716nnrpd 9681 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑋 ∈ ℝ+)
181adantl 277 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → 𝐵 ∈ ℕ)
1918nnrpd 9681 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → 𝐵 ∈ ℝ+)
206adantl 277 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → 1 < 𝐵)
21 logbgt0b 14051 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ ℝ+ ∧ (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵)) → (0 < (𝐵 logb 𝑋) ↔ 1 < 𝑋))
2217, 19, 20, 21syl12anc 1236 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → (0 < (𝐵 logb 𝑋) ↔ 1 < 𝑋))
2315, 22mpbird 167 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → 0 < (𝐵 logb 𝑋))
2423anim1ci 341 . . . . . . 7 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐵 logb 𝑋) ∈ ℚ) → ((𝐵 logb 𝑋) ∈ ℚ ∧ 0 < (𝐵 logb 𝑋)))
25 elpq 9637 . . . . . . 7 (((𝐵 logb 𝑋) ∈ ℚ ∧ 0 < (𝐵 logb 𝑋)) → ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐵 logb 𝑋) = (𝑚 / 𝑛))
2624, 25syl 14 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐵 logb 𝑋) ∈ ℚ) → ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐵 logb 𝑋) = (𝑚 / 𝑛))
2726ex 115 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝐵 logb 𝑋) ∈ ℚ → ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐵 logb 𝑋) = (𝑚 / 𝑛)))
28 oveq2 5877 . . . . . . . . . 10 ((𝑚 / 𝑛) = (𝐵 logb 𝑋) → (𝐵𝑐(𝑚 / 𝑛)) = (𝐵𝑐(𝐵 logb 𝑋)))
2928eqcoms 2180 . . . . . . . . 9 ((𝐵 logb 𝑋) = (𝑚 / 𝑛) → (𝐵𝑐(𝑚 / 𝑛)) = (𝐵𝑐(𝐵 logb 𝑋)))
307adantl 277 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → 𝐵 # 1)
31 rpcxplogb 14049 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ ℝ+𝐵 # 1 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → (𝐵𝑐(𝐵 logb 𝑋)) = 𝑋)
3219, 30, 17, 31syl3anc 1238 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐵𝑐(𝐵 logb 𝑋)) = 𝑋)
3332adantr 276 . . . . . . . . 9 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝐵𝑐(𝐵 logb 𝑋)) = 𝑋)
3429, 33sylan9eqr 2232 . . . . . . . 8 ((((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ (𝐵 logb 𝑋) = (𝑚 / 𝑛)) → (𝐵𝑐(𝑚 / 𝑛)) = 𝑋)
3534ex 115 . . . . . . 7 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝐵 logb 𝑋) = (𝑚 / 𝑛) → (𝐵𝑐(𝑚 / 𝑛)) = 𝑋))
36 oveq1 5876 . . . . . . . 8 ((𝐵𝑐(𝑚 / 𝑛)) = 𝑋 → ((𝐵𝑐(𝑚 / 𝑛))↑𝑛) = (𝑋𝑛))
3719adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝐵 ∈ ℝ+)
38 nnrp 9650 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℝ+)
3938ad2antrl 490 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝑚 ∈ ℝ+)
40 nnrp 9650 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ+)
4140ad2antll 491 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝑛 ∈ ℝ+)
4239, 41rpdivcld 9701 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝑚 / 𝑛) ∈ ℝ+)
4342rpred 9683 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝑚 / 𝑛) ∈ ℝ)
44 nncn 8916 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
4544ad2antll 491 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝑛 ∈ ℂ)
4637, 43, 45cxpmuld 14023 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝐵𝑐((𝑚 / 𝑛) · 𝑛)) = ((𝐵𝑐(𝑚 / 𝑛))↑𝑐𝑛))
4739rpcnd 9685 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝑚 ∈ ℂ)
4841rpap0d 9689 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝑛 # 0)
4947, 45, 48divcanap1d 8737 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝑚 / 𝑛) · 𝑛) = 𝑚)
5049oveq2d 5885 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝐵𝑐((𝑚 / 𝑛) · 𝑛)) = (𝐵𝑐𝑚))
511ad2antlr 489 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝐵 ∈ ℕ)
52 nnz 9261 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℤ)
5352ad2antrl 490 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝑚 ∈ ℤ)
54 cxpexpnn 13984 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝐵𝑐𝑚) = (𝐵𝑚))
5551, 53, 54syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝐵𝑐𝑚) = (𝐵𝑚))
5650, 55eqtrd 2210 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝐵𝑐((𝑚 / 𝑛) · 𝑛)) = (𝐵𝑚))
5737, 43rpcxpcld 14019 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝐵𝑐(𝑚 / 𝑛)) ∈ ℝ+)
58 nnz 9261 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℤ)
5958ad2antll 491 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝑛 ∈ ℤ)
60 cxpexprp 13983 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵𝑐(𝑚 / 𝑛)) ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℤ) → ((𝐵𝑐(𝑚 / 𝑛))↑𝑐𝑛) = ((𝐵𝑐(𝑚 / 𝑛))↑𝑛))
6157, 59, 60syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝐵𝑐(𝑚 / 𝑛))↑𝑐𝑛) = ((𝐵𝑐(𝑚 / 𝑛))↑𝑛))
6246, 56, 613eqtr3rd 2219 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝐵𝑐(𝑚 / 𝑛))↑𝑛) = (𝐵𝑚))
6362eqeq1d 2186 . . . . . . . . 9 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (((𝐵𝑐(𝑚 / 𝑛))↑𝑛) = (𝑋𝑛) ↔ (𝐵𝑚) = (𝑋𝑛)))
64 simpr 110 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
65 rplpwr 12011 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑋 gcd 𝐵) = 1 → ((𝑋𝑛) gcd 𝐵) = 1))
6616, 18, 64, 65syl2an3an 1298 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝑋 gcd 𝐵) = 1 → ((𝑋𝑛) gcd 𝐵) = 1))
67 oveq1 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑋𝑛) = (𝐵𝑚) → ((𝑋𝑛) gcd 𝐵) = ((𝐵𝑚) gcd 𝐵))
6867eqeq1d 2186 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑋𝑛) = (𝐵𝑚) → (((𝑋𝑛) gcd 𝐵) = 1 ↔ ((𝐵𝑚) gcd 𝐵) = 1))
6968eqcoms 2180 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐵𝑚) = (𝑋𝑛) → (((𝑋𝑛) gcd 𝐵) = 1 ↔ ((𝐵𝑚) gcd 𝐵) = 1))
7069adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ (𝐵𝑚) = (𝑋𝑛)) → (((𝑋𝑛) gcd 𝐵) = 1 ↔ ((𝐵𝑚) gcd 𝐵) = 1))
71 eluzelz 9526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 𝐵 ∈ ℤ)
7271adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → 𝐵 ∈ ℤ)
73 simpl 109 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℕ)
74 rpexp 12136 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (((𝐵𝑚) gcd 𝐵) = 1 ↔ (𝐵 gcd 𝐵) = 1))
7572, 72, 73, 74syl2an3an 1298 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (((𝐵𝑚) gcd 𝐵) = 1 ↔ (𝐵 gcd 𝐵) = 1))
76 gcdid 11970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 gcd 𝐵) = (abs‘𝐵))
7771, 76syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → (𝐵 gcd 𝐵) = (abs‘𝐵))
78 nnnn0 9172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℕ0)
79 nn0ge0 9190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐵 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐵)
801, 78, 793syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 0 ≤ 𝐵)
815, 80absidd 11160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → (abs‘𝐵) = 𝐵)
8277, 81eqtrd 2210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → (𝐵 gcd 𝐵) = 𝐵)
8382eqeq1d 2186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐵 gcd 𝐵) = 1 ↔ 𝐵 = 1))
8483ad2antlr 489 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝐵 gcd 𝐵) = 1 ↔ 𝐵 = 1))
854, 6gtned 8060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 𝐵 ≠ 1)
86 eqneqall 2357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐵 = 1 → (𝐵 ≠ 1 → ⊥))
8785, 86syl5com 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → (𝐵 = 1 → ⊥))
8887ad2antlr 489 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝐵 = 1 → ⊥))
8984, 88sylbid 150 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝐵 gcd 𝐵) = 1 → ⊥))
9075, 89sylbid 150 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (((𝐵𝑚) gcd 𝐵) = 1 → ⊥))
9190adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ (𝐵𝑚) = (𝑋𝑛)) → (((𝐵𝑚) gcd 𝐵) = 1 → ⊥))
9270, 91sylbid 150 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ (𝐵𝑚) = (𝑋𝑛)) → (((𝑋𝑛) gcd 𝐵) = 1 → ⊥))
9392ex 115 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝐵𝑚) = (𝑋𝑛) → (((𝑋𝑛) gcd 𝐵) = 1 → ⊥)))
9493com23 78 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (((𝑋𝑛) gcd 𝐵) = 1 → ((𝐵𝑚) = (𝑋𝑛) → ⊥)))
9566, 94syld 45 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝑋 gcd 𝐵) = 1 → ((𝐵𝑚) = (𝑋𝑛) → ⊥)))
96 dfnot 1371 . . . . . . . . . . 11 (¬ (𝐵𝑚) = (𝑋𝑛) ↔ ((𝐵𝑚) = (𝑋𝑛) → ⊥))
9795, 96syl6ibr 162 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝑋 gcd 𝐵) = 1 → ¬ (𝐵𝑚) = (𝑋𝑛)))
9897con2d 624 . . . . . . . . 9 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝐵𝑚) = (𝑋𝑛) → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1))
9963, 98sylbid 150 . . . . . . . 8 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (((𝐵𝑐(𝑚 / 𝑛))↑𝑛) = (𝑋𝑛) → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1))
10036, 99syl5 32 . . . . . . 7 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝐵𝑐(𝑚 / 𝑛)) = 𝑋 → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1))
10135, 100syld 45 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝐵 logb 𝑋) = (𝑚 / 𝑛) → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1))
102101rexlimdvva 2602 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → (∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐵 logb 𝑋) = (𝑚 / 𝑛) → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1))
10327, 102syld 45 . . . 4 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝐵 logb 𝑋) ∈ ℚ → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1))
104103con2d 624 . . 3 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑋 gcd 𝐵) = 1 → ¬ (𝐵 logb 𝑋) ∈ ℚ))
1051043impia 1200 . 2 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑋 gcd 𝐵) = 1) → ¬ (𝐵 logb 𝑋) ∈ ℚ)
10613, 105eldifd 3139 1 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑋 gcd 𝐵) = 1) → (𝐵 logb 𝑋) ∈ (ℝ ∖ ℚ))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wb 105  w3a 978   = wceq 1353  wfal 1358  wcel 2148  wne 2347  wrex 2456  cdif 3126   class class class wbr 4000  cfv 5212  (class class class)co 5869  cc 7800  cr 7801  0cc0 7802  1c1 7803   · cmul 7807   < clt 7982  cle 7983   # cap 8528   / cdiv 8618  cn 8908  2c2 8959  0cn0 9165  cz 9242  cuz 9517  cq 9608  +crp 9640  cexp 10505  abscabs 10990   gcd cgcd 11926  𝑐ccxp 13945   logb clogb 14028
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921  ax-caucvg 7922  ax-pre-suploc 7923  ax-addf 7924  ax-mulf 7925
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-disj 3978  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-isom 5221  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-of 6077  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-irdg 6365  df-frec 6386  df-1o 6411  df-2o 6412  df-oadd 6415  df-er 6529  df-map 6644  df-pm 6645  df-en 6735  df-dom 6736  df-fin 6737  df-sup 6977  df-inf 6978  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-q 9609  df-rp 9641  df-xneg 9759  df-xadd 9760  df-ioo 9879  df-ico 9881  df-icc 9882  df-fz 9996  df-fzo 10129  df-fl 10256  df-mod 10309  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-fac 10690  df-bc 10712  df-ihash 10740  df-shft 10808  df-cj 10835  df-re 10836  df-im 10837  df-rsqrt 10991  df-abs 10992  df-clim 11271  df-sumdc 11346  df-ef 11640  df-e 11641  df-dvds 11779  df-gcd 11927  df-prm 12091  df-rest 12638  df-topgen 12657  df-psmet 13154  df-xmet 13155  df-met 13156  df-bl 13157  df-mopn 13158  df-top 13163  df-topon 13176  df-bases 13208  df-ntr 13263  df-cn 13355  df-cnp 13356  df-tx 13420  df-cncf 13725  df-limced 13792  df-dvap 13793  df-relog 13946  df-rpcxp 13947  df-logb 14029
This theorem is referenced by:  2logb9irr  14056  logbprmirr  14057
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