Theorem logbgcd1irr 16052

Description: The logarithm of an integer greater than 1 to an integer base greater than 1 is not rational if the argument and the base are relatively prime. For example, (2 log_b 9) ∈ (ℝ ∖ ℚ). (Contributed by AV, 29-Dec-2022.)

Assertion

Ref	Expression
logbgcd1irr	⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑋 gcd 𝐵) = 1) → (𝐵 logb 𝑋) ∈ (ℝ ∖ ℚ))

Proof of Theorem logbgcd1irr

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2nn 9949	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ∈ ℕ)
2	1	nnrpd 10078	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ∈ ℝ+)
3	2	3ad2ant2 1050	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑋 gcd 𝐵) = 1) → 𝐵 ∈ ℝ+)
4		1red 8335	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ∈ ℝ)
5		eluzelre 9915	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ∈ ℝ)
6		eluz2gt1 9985	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝐵)
7	4, 5, 6	gtapd 8959	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 # 1)
8	7	3ad2ant2 1050	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑋 gcd 𝐵) = 1) → 𝐵 # 1)
9		eluz2nn 9949	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑋 ∈ ℕ)
10	9	nnrpd 10078	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑋 ∈ ℝ+)
11	10	3ad2ant1 1049	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑋 gcd 𝐵) = 1) → 𝑋 ∈ ℝ+)
12		rplogbcl 16031	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 # 1 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → (𝐵 logb 𝑋) ∈ ℝ)
13	3, 8, 11, 12	syl3anc 1278	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑋 gcd 𝐵) = 1) → (𝐵 logb 𝑋) ∈ ℝ)
14		eluz2gt1 9985	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝑋)
15	14	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → 1 < 𝑋)
16	9	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑋 ∈ ℕ)
17	16	nnrpd 10078	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑋 ∈ ℝ+)
18	1	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐵 ∈ ℕ)
19	18	nnrpd 10078	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐵 ∈ ℝ+)
20	6	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → 1 < 𝐵)
21		logbgt0b 16051	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ+ ∧ (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵)) → (0 < (𝐵 logb 𝑋) ↔ 1 < 𝑋))
22	17, 19, 20, 21	syl12anc 1276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → (0 < (𝐵 logb 𝑋) ↔ 1 < 𝑋))
23	15, 22	mpbird 167	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → 0 < (𝐵 logb 𝑋))
24	23	anim1ci 341	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝐵 logb 𝑋) ∈ ℚ) → ((𝐵 logb 𝑋) ∈ ℚ ∧ 0 < (𝐵 logb 𝑋)))
25		elpq 10032	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 logb 𝑋) ∈ ℚ ∧ 0 < (𝐵 logb 𝑋)) → ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐵 logb 𝑋) = (𝑚 / 𝑛))
26	24, 25	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝐵 logb 𝑋) ∈ ℚ) → ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐵 logb 𝑋) = (𝑚 / 𝑛))
27	26	ex 115	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝐵 logb 𝑋) ∈ ℚ → ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐵 logb 𝑋) = (𝑚 / 𝑛)))
28		oveq2 6087	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 / 𝑛) = (𝐵 logb 𝑋) → (𝐵↑𝑐(𝑚 / 𝑛)) = (𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑋)))
29	28	eqcoms 2241	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 logb 𝑋) = (𝑚 / 𝑛) → (𝐵↑𝑐(𝑚 / 𝑛)) = (𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑋)))
30	7	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐵 # 1)
31		rpcxplogb 16049	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 # 1 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → (𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑋)) = 𝑋)
32	19, 30, 17, 31	syl3anc 1278	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑋)) = 𝑋)
33	32	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑋)) = 𝑋)
34	29, 33	sylan9eqr 2293	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ (𝐵 logb 𝑋) = (𝑚 / 𝑛)) → (𝐵↑𝑐(𝑚 / 𝑛)) = 𝑋)
35	34	ex 115	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝐵 logb 𝑋) = (𝑚 / 𝑛) → (𝐵↑𝑐(𝑚 / 𝑛)) = 𝑋))
36		oveq1 6086	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵↑𝑐(𝑚 / 𝑛)) = 𝑋 → ((𝐵↑𝑐(𝑚 / 𝑛))↑𝑛) = (𝑋↑𝑛))
37	19	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝐵 ∈ ℝ+)
38		nnrp 10047	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℝ+)
39	38	ad2antrl 494	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝑚 ∈ ℝ+)
40		nnrp 10047	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ+)
41	40	ad2antll 495	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝑛 ∈ ℝ+)
42	39, 41	rpdivcld 10098	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝑚 / 𝑛) ∈ ℝ+)
43	42	rpred 10080	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝑚 / 𝑛) ∈ ℝ)
44		nncn 9295	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
45	44	ad2antll 495	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝑛 ∈ ℂ)
46	37, 43, 45	cxpmuld 16022	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝐵↑𝑐((𝑚 / 𝑛) · 𝑛)) = ((𝐵↑𝑐(𝑚 / 𝑛))↑𝑐𝑛))
47	39	rpcnd 10082	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝑚 ∈ ℂ)
48	41	rpap0d 10086	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝑛 # 0)
49	47, 45, 48	divcanap1d 9115	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝑚 / 𝑛) · 𝑛) = 𝑚)
50	49	oveq2d 6095	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝐵↑𝑐((𝑚 / 𝑛) · 𝑛)) = (𝐵↑𝑐𝑚))
51	1	ad2antlr 493	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝐵 ∈ ℕ)
52		nnz 9646	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℤ)
53	52	ad2antrl 494	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝑚 ∈ ℤ)
54		cxpexpnn 15981	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝐵↑𝑐𝑚) = (𝐵↑𝑚))
55	51, 53, 54	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝐵↑𝑐𝑚) = (𝐵↑𝑚))
56	50, 55	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝐵↑𝑐((𝑚 / 𝑛) · 𝑛)) = (𝐵↑𝑚))
57	37, 43	rpcxpcld 16018	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝐵↑𝑐(𝑚 / 𝑛)) ∈ ℝ+)
58		nnz 9646	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℤ)
59	58	ad2antll 495	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝑛 ∈ ℤ)
60		cxpexprp 15980	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵↑𝑐(𝑚 / 𝑛)) ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝐵↑𝑐(𝑚 / 𝑛))↑𝑐𝑛) = ((𝐵↑𝑐(𝑚 / 𝑛))↑𝑛))
61	57, 59, 60	syl2anc 415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝐵↑𝑐(𝑚 / 𝑛))↑𝑐𝑛) = ((𝐵↑𝑐(𝑚 / 𝑛))↑𝑛))
62	46, 56, 61	3eqtr3rd 2280	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝐵↑𝑐(𝑚 / 𝑛))↑𝑛) = (𝐵↑𝑚))
63	62	eqeq1d 2247	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (((𝐵↑𝑐(𝑚 / 𝑛))↑𝑛) = (𝑋↑𝑛) ↔ (𝐵↑𝑚) = (𝑋↑𝑛)))
64		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
65		rplpwr 12787	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑋 gcd 𝐵) = 1 → ((𝑋↑𝑛) gcd 𝐵) = 1))
66	16, 18, 64, 65	syl2an3an 1339	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝑋 gcd 𝐵) = 1 → ((𝑋↑𝑛) gcd 𝐵) = 1))
67		oveq1 6086	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑋↑𝑛) = (𝐵↑𝑚) → ((𝑋↑𝑛) gcd 𝐵) = ((𝐵↑𝑚) gcd 𝐵))
68	67	eqeq1d 2247	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑋↑𝑛) = (𝐵↑𝑚) → (((𝑋↑𝑛) gcd 𝐵) = 1 ↔ ((𝐵↑𝑚) gcd 𝐵) = 1))
69	68	eqcoms 2241	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐵↑𝑚) = (𝑋↑𝑛) → (((𝑋↑𝑛) gcd 𝐵) = 1 ↔ ((𝐵↑𝑚) gcd 𝐵) = 1))
70	69	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ (𝐵↑𝑚) = (𝑋↑𝑛)) → (((𝑋↑𝑛) gcd 𝐵) = 1 ↔ ((𝐵↑𝑚) gcd 𝐵) = 1))
71		eluzelz 9914	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ∈ ℤ)
72	71	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐵 ∈ ℤ)
73		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℕ)
74		rpexp 12914	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (((𝐵↑𝑚) gcd 𝐵) = 1 ↔ (𝐵 gcd 𝐵) = 1))
75	72, 72, 73, 74	syl2an3an 1339	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (((𝐵↑𝑚) gcd 𝐵) = 1 ↔ (𝐵 gcd 𝐵) = 1))
76		gcdid 12746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 gcd 𝐵) = (abs‘𝐵))
77	71, 76	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐵 gcd 𝐵) = (abs‘𝐵))
78		nnnn0 9553	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℕ0)
79		nn0ge0 9571	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐵)
80	1, 78, 79	3syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 ≤ 𝐵)
81	5, 80	absidd 11916	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → (abs‘𝐵) = 𝐵)
82	77, 81	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐵 gcd 𝐵) = 𝐵)
83	82	eqeq1d 2247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐵 gcd 𝐵) = 1 ↔ 𝐵 = 1))
84	83	ad2antlr 493	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝐵 gcd 𝐵) = 1 ↔ 𝐵 = 1))
85	4, 6	gtned 8432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ≠ 1)
86		eqneqall 2430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐵 = 1 → (𝐵 ≠ 1 → ⊥))
87	85, 86	syl5com 29	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐵 = 1 → ⊥))
88	87	ad2antlr 493	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝐵 = 1 → ⊥))
89	84, 88	sylbid 150	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝐵 gcd 𝐵) = 1 → ⊥))
90	75, 89	sylbid 150	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (((𝐵↑𝑚) gcd 𝐵) = 1 → ⊥))
91	90	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ (𝐵↑𝑚) = (𝑋↑𝑛)) → (((𝐵↑𝑚) gcd 𝐵) = 1 → ⊥))
92	70, 91	sylbid 150	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ (𝐵↑𝑚) = (𝑋↑𝑛)) → (((𝑋↑𝑛) gcd 𝐵) = 1 → ⊥))
93	92	ex 115	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝐵↑𝑚) = (𝑋↑𝑛) → (((𝑋↑𝑛) gcd 𝐵) = 1 → ⊥)))
94	93	com23 78	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (((𝑋↑𝑛) gcd 𝐵) = 1 → ((𝐵↑𝑚) = (𝑋↑𝑛) → ⊥)))
95	66, 94	syld 45	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝑋 gcd 𝐵) = 1 → ((𝐵↑𝑚) = (𝑋↑𝑛) → ⊥)))
96		dfnot 1420	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ (𝐵↑𝑚) = (𝑋↑𝑛) ↔ ((𝐵↑𝑚) = (𝑋↑𝑛) → ⊥))
97	95, 96	imbitrrdi 162	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝑋 gcd 𝐵) = 1 → ¬ (𝐵↑𝑚) = (𝑋↑𝑛)))
98	97	con2d 633	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝐵↑𝑚) = (𝑋↑𝑛) → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1))
99	63, 98	sylbid 150	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (((𝐵↑𝑐(𝑚 / 𝑛))↑𝑛) = (𝑋↑𝑛) → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1))
100	36, 99	syl5 32	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝐵↑𝑐(𝑚 / 𝑛)) = 𝑋 → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1))
101	35, 100	syld 45	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝐵 logb 𝑋) = (𝑚 / 𝑛) → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1))
102	101	rexlimdvva 2676	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → (∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐵 logb 𝑋) = (𝑚 / 𝑛) → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1))
103	27, 102	syld 45	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝐵 logb 𝑋) ∈ ℚ → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1))
104	103	con2d 633	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑋 gcd 𝐵) = 1 → ¬ (𝐵 logb 𝑋) ∈ ℚ))
105	104	3impia 1231	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑋 gcd 𝐵) = 1) → ¬ (𝐵 logb 𝑋) ∈ ℚ)
106	13, 105	eldifd 3230	1 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑋 gcd 𝐵) = 1) → (𝐵 logb 𝑋) ∈ (ℝ ∖ ℚ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1009   = wceq 1402  ⊥wfal 1407   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420  ∃wrex 2529   ∖ cdif 3217   class class class wbr 4128  ‘cfv 5375  (class class class)co 6079  ℂcc 8171  ℝcr 8172  0cc0 8173  1c1 8174   · cmul 8178   < clt 8354   ≤ cle 8355   # cap 8903   / cdiv 8996  ℕcn 9287  2c2 9338  ℕ₀cn0 9546  ℤcz 9627  ℤ_≥cuz 9904  ℚcq 10002  ℝ⁺crp 10037  ↑cexp 10958  abscabs 11746   gcd cgcd 12713  ↑_𝑐ccxp 15941   log_b clogb 16028

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-mulrcl 8272  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-precex 8283  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289  ax-pre-mulgt0 8290  ax-pre-mulext 8291  ax-arch 8292  ax-caucvg 8293  ax-pre-suploc 8294  ax-addf 8295  ax-mulf 8296

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-disj 4105  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-po 4439  df-iso 4440  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-isom 5384  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-of 6296  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-recs 6570  df-irdg 6635  df-frec 6656  df-1o 6681  df-2o 6682  df-oadd 6685  df-er 6801  df-map 6918  df-pm 6919  df-en 7017  df-dom 7018  df-fin 7019  df-sup 7318  df-inf 7319  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-reap 8897  df-ap 8904  df-div 8997  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-4 9348  df-n0 9547  df-z 9628  df-uz 9905  df-q 10003  df-rp 10038  df-xneg 10157  df-xadd 10158  df-ioo 10277  df-ico 10279  df-icc 10280  df-fz 10395  df-fzo 10533  df-fl 10688  df-mod 10743  df-seqfrec 10868  df-exp 10959  df-fac 11147  df-bc 11169  df-ihash 11198  df-shft 11563  df-cj 11590  df-re 11591  df-im 11592  df-rsqrt 11747  df-abs 11748  df-clim 12028  df-sumdc 12103  df-ef 12398  df-e 12399  df-dvds 12538  df-gcd 12714  df-prm 12869  df-rest 13578  df-topgen 13597  df-psmet 14863  df-xmet 14864  df-met 14865  df-bl 14866  df-mopn 14867  df-top 15082  df-topon 15095  df-bases 15127  df-ntr 15180  df-cn 15272  df-cnp 15273  df-tx 15337  df-cncf 15655  df-limced 15740  df-dvap 15741  df-relog 15942  df-rpcxp 15943  df-logb 16029

This theorem is referenced by:  2logb9irr  16056  logbprmirr  16057