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Theorem seq3f1olemqsumkj 10379
 Description: Lemma for seq3f1o 10385. 𝑄 gives the same sum as 𝐽 in the range (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)). (Contributed by Jim Kingdon, 29-Aug-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
iseqf1o.1 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
iseqf1o.2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
iseqf1o.3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆𝑧𝑆)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
iseqf1o.4 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
iseqf1o.6 (𝜑𝐹:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
iseqf1o.7 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐺𝑥) ∈ 𝑆)
iseqf1olemstep.k (𝜑𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
iseqf1olemstep.j (𝜑𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
iseqf1olemstep.const (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)(𝐽𝑥) = 𝑥)
iseqf1olemnk (𝜑𝐾 ≠ (𝐽𝐾))
iseqf1olemqres.q 𝑄 = (𝑢 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ if(𝑢 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)), if(𝑢 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑢 − 1))), (𝐽𝑢)))
iseqf1olemqsumk.p 𝑃 = (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝑓𝑥)), (𝐺𝑀)))
Assertion
Ref Expression
seq3f1olemqsumkj (𝜑 → (seq𝐾( + , 𝐽 / 𝑓𝑃)‘(𝐽𝐾)) = (seq𝐾( + , 𝑄 / 𝑓𝑃)‘(𝐽𝐾)))
Distinct variable groups:   𝑢,𝐽   𝑢,𝐾,𝑥   𝑢,𝑀,𝑥   𝑢,𝑁   𝑥,𝐽   𝑥,𝑄   𝜑,𝑥   𝑥, + ,𝑦,𝑧   𝑓,𝐺,𝑥   𝑓,𝐽,𝑦,𝑧   𝑦,𝐾,𝑧   𝑓,𝑀   𝑓,𝑁,𝑥   𝑥,𝑃,𝑦,𝑧   𝑄,𝑓,𝑦,𝑧   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧   𝜑,𝑢   𝜑,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝑃(𝑢,𝑓)   + (𝑢,𝑓)   𝑄(𝑢)   𝑆(𝑢,𝑓)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑢,𝑓)   𝐺(𝑦,𝑧,𝑢)   𝐾(𝑓)   𝑀(𝑦,𝑧)   𝑁(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem seq3f1olemqsumkj
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iseqf1olemstep.k . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
2 elfzelz 9910 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
31, 2syl 14 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
4 iseqf1olemstep.j . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
5 f1ocnv 5424 . . . . . . . . . . 11 (𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
64, 5syl 14 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
7 f1of 5411 . . . . . . . . . 10 (𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) → 𝐽:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
86, 7syl 14 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐽:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
98, 1ffvelrnd 5600 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐽𝐾) ∈ (𝑀...𝑁))
10 elfzelz 9910 . . . . . . . 8 ((𝐽𝐾) ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐽𝐾) ∈ ℤ)
119, 10syl 14 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐽𝐾) ∈ ℤ)
12 peano2zm 9188 . . . . . . 7 ((𝐽𝐾) ∈ ℤ → ((𝐽𝐾) − 1) ∈ ℤ)
1311, 12syl 14 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐽𝐾) − 1) ∈ ℤ)
14 iseqf1o.4 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
15 iseqf1olemstep.const . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)(𝐽𝑥) = 𝑥)
16 iseqf1olemnk . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 ≠ (𝐽𝐾))
1714, 1, 4, 15, 16iseqf1olemklt 10366 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 < (𝐽𝐾))
18 zltlem1 9207 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐽𝐾) ∈ ℤ) → (𝐾 < (𝐽𝐾) ↔ 𝐾 ≤ ((𝐽𝐾) − 1)))
193, 11, 18syl2anc 409 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐾 < (𝐽𝐾) ↔ 𝐾 ≤ ((𝐽𝐾) − 1)))
2017, 19mpbid 146 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ≤ ((𝐽𝐾) − 1))
21 eluz2 9428 . . . . . 6 (((𝐽𝐾) − 1) ∈ (ℤ𝐾) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ ((𝐽𝐾) − 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ ((𝐽𝐾) − 1)))
223, 13, 20, 21syl3anbrc 1166 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐽𝐾) − 1) ∈ (ℤ𝐾))
23 1zzd 9177 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
241adantr 274 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑣 ∈ (𝐾...((𝐽𝐾) − 1))) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
254adantr 274 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑣 ∈ (𝐾...((𝐽𝐾) − 1))) → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
26 elfzel1 9909 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
271, 26syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
2827adantr 274 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑣 ∈ (𝐾...((𝐽𝐾) − 1))) → 𝑀 ∈ ℤ)
29 elfzel2 9908 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
301, 29syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
3130adantr 274 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑣 ∈ (𝐾...((𝐽𝐾) − 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
32 elfzelz 9910 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 ∈ (𝐾...((𝐽𝐾) − 1)) → 𝑣 ∈ ℤ)
3332adantl 275 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑣 ∈ (𝐾...((𝐽𝐾) − 1))) → 𝑣 ∈ ℤ)
3433peano2zd 9272 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑣 ∈ (𝐾...((𝐽𝐾) − 1))) → (𝑣 + 1) ∈ ℤ)
3528, 31, 343jca 1162 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑣 ∈ (𝐾...((𝐽𝐾) − 1))) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑣 + 1) ∈ ℤ))
3628zred 9269 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑣 ∈ (𝐾...((𝐽𝐾) − 1))) → 𝑀 ∈ ℝ)
3733zred 9269 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑣 ∈ (𝐾...((𝐽𝐾) − 1))) → 𝑣 ∈ ℝ)
3834zred 9269 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑣 ∈ (𝐾...((𝐽𝐾) − 1))) → (𝑣 + 1) ∈ ℝ)
393zred 9269 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
4039adantr 274 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑣 ∈ (𝐾...((𝐽𝐾) − 1))) → 𝐾 ∈ ℝ)
41 elfzle1 9911 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀𝐾)
421, 41syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑀𝐾)
4342adantr 274 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑣 ∈ (𝐾...((𝐽𝐾) − 1))) → 𝑀𝐾)
44 elfzle1 9911 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 ∈ (𝐾...((𝐽𝐾) − 1)) → 𝐾𝑣)
4544adantl 275 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑣 ∈ (𝐾...((𝐽𝐾) − 1))) → 𝐾𝑣)
4636, 40, 37, 43, 45letrd 7982 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑣 ∈ (𝐾...((𝐽𝐾) − 1))) → 𝑀𝑣)
4737lep1d 8785 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑣 ∈ (𝐾...((𝐽𝐾) − 1))) → 𝑣 ≤ (𝑣 + 1))
4836, 37, 38, 46, 47letrd 7982 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑣 ∈ (𝐾...((𝐽𝐾) − 1))) → 𝑀 ≤ (𝑣 + 1))
4911zred 9269 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐽𝐾) ∈ ℝ)
5049adantr 274 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑣 ∈ (𝐾...((𝐽𝐾) − 1))) → (𝐽𝐾) ∈ ℝ)
5131zred 9269 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑣 ∈ (𝐾...((𝐽𝐾) − 1))) → 𝑁 ∈ ℝ)
52 elfzle2 9912 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 ∈ (𝐾...((𝐽𝐾) − 1)) → 𝑣 ≤ ((𝐽𝐾) − 1))
5352adantl 275 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑣 ∈ (𝐾...((𝐽𝐾) − 1))) → 𝑣 ≤ ((𝐽𝐾) − 1))
54 1red 7876 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑣 ∈ (𝐾...((𝐽𝐾) − 1))) → 1 ∈ ℝ)
55 leaddsub 8296 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝐽𝐾) ∈ ℝ) → ((𝑣 + 1) ≤ (𝐽𝐾) ↔ 𝑣 ≤ ((𝐽𝐾) − 1)))
5637, 54, 50, 55syl3anc 1220 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑣 ∈ (𝐾...((𝐽𝐾) − 1))) → ((𝑣 + 1) ≤ (𝐽𝐾) ↔ 𝑣 ≤ ((𝐽𝐾) − 1)))
5753, 56mpbird 166 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑣 ∈ (𝐾...((𝐽𝐾) − 1))) → (𝑣 + 1) ≤ (𝐽𝐾))
58 elfzle2 9912 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐽𝐾) ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐽𝐾) ≤ 𝑁)
599, 58syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐽𝐾) ≤ 𝑁)
6059adantr 274 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑣 ∈ (𝐾...((𝐽𝐾) − 1))) → (𝐽𝐾) ≤ 𝑁)
6138, 50, 51, 57, 60letrd 7982 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑣 ∈ (𝐾...((𝐽𝐾) − 1))) → (𝑣 + 1) ≤ 𝑁)
6248, 61jca 304 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑣 ∈ (𝐾...((𝐽𝐾) − 1))) → (𝑀 ≤ (𝑣 + 1) ∧ (𝑣 + 1) ≤ 𝑁))
63 elfz2 9901 . . . . . . . . . . 11 ((𝑣 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑣 + 1) ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ (𝑣 + 1) ∧ (𝑣 + 1) ≤ 𝑁)))
6435, 62, 63sylanbrc 414 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑣 ∈ (𝐾...((𝐽𝐾) − 1))) → (𝑣 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
65 iseqf1olemqres.q . . . . . . . . . 10 𝑄 = (𝑢 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ if(𝑢 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)), if(𝑢 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑢 − 1))), (𝐽𝑢)))
6624, 25, 64, 65iseqf1olemqval 10368 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑣 ∈ (𝐾...((𝐽𝐾) − 1))) → (𝑄‘(𝑣 + 1)) = if((𝑣 + 1) ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)), if((𝑣 + 1) = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘((𝑣 + 1) − 1))), (𝐽‘(𝑣 + 1))))
6724, 2syl 14 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑣 ∈ (𝐾...((𝐽𝐾) − 1))) → 𝐾 ∈ ℤ)
6811adantr 274 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑣 ∈ (𝐾...((𝐽𝐾) − 1))) → (𝐽𝐾) ∈ ℤ)
6967, 68, 343jca 1162 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑣 ∈ (𝐾...((𝐽𝐾) − 1))) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐽𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝑣 + 1) ∈ ℤ))
7040, 37, 38, 45, 47letrd 7982 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑣 ∈ (𝐾...((𝐽𝐾) − 1))) → 𝐾 ≤ (𝑣 + 1))
7170, 57jca 304 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑣 ∈ (𝐾...((𝐽𝐾) − 1))) → (𝐾 ≤ (𝑣 + 1) ∧ (𝑣 + 1) ≤ (𝐽𝐾)))
72 elfz2 9901 . . . . . . . . . . 11 ((𝑣 + 1) ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)) ↔ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐽𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝑣 + 1) ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ≤ (𝑣 + 1) ∧ (𝑣 + 1) ≤ (𝐽𝐾))))
7369, 71, 72sylanbrc 414 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑣 ∈ (𝐾...((𝐽𝐾) − 1))) → (𝑣 + 1) ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)))
7473iftrued 3512 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑣 ∈ (𝐾...((𝐽𝐾) − 1))) → if((𝑣 + 1) ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)), if((𝑣 + 1) = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘((𝑣 + 1) − 1))), (𝐽‘(𝑣 + 1))) = if((𝑣 + 1) = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘((𝑣 + 1) − 1))))
7566, 74eqtrd 2190 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑣 ∈ (𝐾...((𝐽𝐾) − 1))) → (𝑄‘(𝑣 + 1)) = if((𝑣 + 1) = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘((𝑣 + 1) − 1))))
76 zleltp1 9205 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ) → (𝐾𝑣𝐾 < (𝑣 + 1)))
7767, 33, 76syl2anc 409 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑣 ∈ (𝐾...((𝐽𝐾) − 1))) → (𝐾𝑣𝐾 < (𝑣 + 1)))
7845, 77mpbid 146 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑣 ∈ (𝐾...((𝐽𝐾) − 1))) → 𝐾 < (𝑣 + 1))
7940, 78gtned 7972 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑣 ∈ (𝐾...((𝐽𝐾) − 1))) → (𝑣 + 1) ≠ 𝐾)
8079neneqd 2348 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑣 ∈ (𝐾...((𝐽𝐾) − 1))) → ¬ (𝑣 + 1) = 𝐾)
8180iffalsed 3515 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑣 ∈ (𝐾...((𝐽𝐾) − 1))) → if((𝑣 + 1) = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘((𝑣 + 1) − 1))) = (𝐽‘((𝑣 + 1) − 1)))
8233zcnd 9270 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑣 ∈ (𝐾...((𝐽𝐾) − 1))) → 𝑣 ∈ ℂ)
83 pncan1 8235 . . . . . . . . . 10 (𝑣 ∈ ℂ → ((𝑣 + 1) − 1) = 𝑣)
8482, 83syl 14 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑣 ∈ (𝐾...((𝐽𝐾) − 1))) → ((𝑣 + 1) − 1) = 𝑣)
8584fveq2d 5469 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑣 ∈ (𝐾...((𝐽𝐾) − 1))) → (𝐽‘((𝑣 + 1) − 1)) = (𝐽𝑣))
8675, 81, 853eqtrd 2194 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣 ∈ (𝐾...((𝐽𝐾) − 1))) → (𝑄‘(𝑣 + 1)) = (𝐽𝑣))
8786fveq2d 5469 . . . . . 6 ((𝜑𝑣 ∈ (𝐾...((𝐽𝐾) − 1))) → (𝐺‘(𝑄‘(𝑣 + 1))) = (𝐺‘(𝐽𝑣)))
881, 4, 65iseqf1olemqf1o 10374 . . . . . . . 8 (𝜑𝑄:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
8988adantr 274 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣 ∈ (𝐾...((𝐽𝐾) − 1))) → 𝑄:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
90 iseqf1o.7 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐺𝑥) ∈ 𝑆)
9190adantlr 469 . . . . . . 7 (((𝜑𝑣 ∈ (𝐾...((𝐽𝐾) − 1))) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐺𝑥) ∈ 𝑆)
92 iseqf1olemqsumk.p . . . . . . 7 𝑃 = (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝑓𝑥)), (𝐺𝑀)))
9324, 89, 64, 91, 92iseqf1olemfvp 10378 . . . . . 6 ((𝜑𝑣 ∈ (𝐾...((𝐽𝐾) − 1))) → (𝑄 / 𝑓𝑃‘(𝑣 + 1)) = (𝐺‘(𝑄‘(𝑣 + 1))))
9428, 31, 333jca 1162 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑣 ∈ (𝐾...((𝐽𝐾) − 1))) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ))
9511, 23zsubcld 9274 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐽𝐾) − 1) ∈ ℤ)
9695zred 9269 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐽𝐾) − 1) ∈ ℝ)
9796adantr 274 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑣 ∈ (𝐾...((𝐽𝐾) − 1))) → ((𝐽𝐾) − 1) ∈ ℝ)
9850lem1d 8787 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑣 ∈ (𝐾...((𝐽𝐾) − 1))) → ((𝐽𝐾) − 1) ≤ (𝐽𝐾))
9997, 50, 51, 98, 60letrd 7982 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑣 ∈ (𝐾...((𝐽𝐾) − 1))) → ((𝐽𝐾) − 1) ≤ 𝑁)
10037, 97, 51, 53, 99letrd 7982 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑣 ∈ (𝐾...((𝐽𝐾) − 1))) → 𝑣𝑁)
10146, 100jca 304 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑣 ∈ (𝐾...((𝐽𝐾) − 1))) → (𝑀𝑣𝑣𝑁))
102 elfz2 9901 . . . . . . . 8 (𝑣 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝑣𝑣𝑁)))
10394, 101, 102sylanbrc 414 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣 ∈ (𝐾...((𝐽𝐾) − 1))) → 𝑣 ∈ (𝑀...𝑁))
104103, 25, 103, 91, 92iseqf1olemfvp 10378 . . . . . 6 ((𝜑𝑣 ∈ (𝐾...((𝐽𝐾) − 1))) → (𝐽 / 𝑓𝑃𝑣) = (𝐺‘(𝐽𝑣)))
10587, 93, 1043eqtr4rd 2201 . . . . 5 ((𝜑𝑣 ∈ (𝐾...((𝐽𝐾) − 1))) → (𝐽 / 𝑓𝑃𝑣) = (𝑄 / 𝑓𝑃‘(𝑣 + 1)))
106 simpr 109 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑥 ∈ (ℤ𝐾))
107 elfzuz 9906 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ𝑀))
1081, 107syl 14 . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑀))
109108adantr 274 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝐾 ∈ (ℤ𝑀))
110 uztrn 9438 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑥 ∈ (ℤ𝑀))
111106, 109, 110syl2anc 409 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑥 ∈ (ℤ𝑀))
1121, 4, 65, 90, 92iseqf1olemjpcl 10376 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐽 / 𝑓𝑃𝑥) ∈ 𝑆)
113111, 112syldan 280 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝐽 / 𝑓𝑃𝑥) ∈ 𝑆)
114 simpr 109 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1))) → 𝑥 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1)))
1153adantr 274 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1))) → 𝐾 ∈ ℤ)
116115peano2zd 9272 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1))) → (𝐾 + 1) ∈ ℤ)
117115zred 9269 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1))) → 𝐾 ∈ ℝ)
118117lep1d 8785 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1))) → 𝐾 ≤ (𝐾 + 1))
119 eluz2 9428 . . . . . . . 8 ((𝐾 + 1) ∈ (ℤ𝐾) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ (𝐾 + 1)))
120115, 116, 118, 119syl3anbrc 1166 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1))) → (𝐾 + 1) ∈ (ℤ𝐾))
121 uztrn 9438 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1)) ∧ (𝐾 + 1) ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑥 ∈ (ℤ𝐾))
122114, 120, 121syl2anc 409 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1))) → 𝑥 ∈ (ℤ𝐾))
1231, 4, 65, 90, 92iseqf1olemqpcl 10377 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑄 / 𝑓𝑃𝑥) ∈ 𝑆)
124111, 123syldan 280 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑄 / 𝑓𝑃𝑥) ∈ 𝑆)
125122, 124syldan 280 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1))) → (𝑄 / 𝑓𝑃𝑥) ∈ 𝑆)
126 iseqf1o.1 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
12722, 23, 105, 113, 125, 126seq3shft2 10354 . . . 4 (𝜑 → (seq𝐾( + , 𝐽 / 𝑓𝑃)‘((𝐽𝐾) − 1)) = (seq(𝐾 + 1)( + , 𝑄 / 𝑓𝑃)‘(((𝐽𝐾) − 1) + 1)))
12811zcnd 9270 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐽𝐾) ∈ ℂ)
129 npcan1 8236 . . . . . 6 ((𝐽𝐾) ∈ ℂ → (((𝐽𝐾) − 1) + 1) = (𝐽𝐾))
130128, 129syl 14 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐽𝐾) − 1) + 1) = (𝐽𝐾))
131130fveq2d 5469 . . . 4 (𝜑 → (seq(𝐾 + 1)( + , 𝑄 / 𝑓𝑃)‘(((𝐽𝐾) − 1) + 1)) = (seq(𝐾 + 1)( + , 𝑄 / 𝑓𝑃)‘(𝐽𝐾)))
132127, 131eqtrd 2190 . . 3 (𝜑 → (seq𝐾( + , 𝐽 / 𝑓𝑃)‘((𝐽𝐾) − 1)) = (seq(𝐾 + 1)( + , 𝑄 / 𝑓𝑃)‘(𝐽𝐾)))
133 f1ocnvfv2 5723 . . . . . 6 ((𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐽‘(𝐽𝐾)) = 𝐾)
1344, 1, 133syl2anc 409 . . . . 5 (𝜑 → (𝐽‘(𝐽𝐾)) = 𝐾)
135134fveq2d 5469 . . . 4 (𝜑 → (𝐺‘(𝐽‘(𝐽𝐾))) = (𝐺𝐾))
1361, 4, 9, 90, 92iseqf1olemfvp 10378 . . . 4 (𝜑 → (𝐽 / 𝑓𝑃‘(𝐽𝐾)) = (𝐺‘(𝐽‘(𝐽𝐾))))
1371, 88, 1, 90, 92iseqf1olemfvp 10378 . . . . 5 (𝜑 → (𝑄 / 𝑓𝑃𝐾) = (𝐺‘(𝑄𝐾)))
1381, 4, 1, 65iseqf1olemqval 10368 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑄𝐾) = if(𝐾 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)), if(𝐾 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐾 − 1))), (𝐽𝐾)))
13914, 1, 4, 15iseqf1olemkle 10365 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐾 ≤ (𝐽𝐾))
140 eluz2 9428 . . . . . . . . . 10 ((𝐽𝐾) ∈ (ℤ𝐾) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐽𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ (𝐽𝐾)))
1413, 11, 139, 140syl3anbrc 1166 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐽𝐾) ∈ (ℤ𝐾))
142 eluzfz1 9915 . . . . . . . . 9 ((𝐽𝐾) ∈ (ℤ𝐾) → 𝐾 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)))
143141, 142syl 14 . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)))
144143iftrued 3512 . . . . . . 7 (𝜑 → if(𝐾 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)), if(𝐾 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐾 − 1))), (𝐽𝐾)) = if(𝐾 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐾 − 1))))
145 eqidd 2158 . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 = 𝐾)
146145iftrued 3512 . . . . . . 7 (𝜑 → if(𝐾 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐾 − 1))) = 𝐾)
147138, 144, 1463eqtrd 2194 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑄𝐾) = 𝐾)
148147fveq2d 5469 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺‘(𝑄𝐾)) = (𝐺𝐾))
149137, 148eqtrd 2190 . . . 4 (𝜑 → (𝑄 / 𝑓𝑃𝐾) = (𝐺𝐾))
150135, 136, 1493eqtr4d 2200 . . 3 (𝜑 → (𝐽 / 𝑓𝑃‘(𝐽𝐾)) = (𝑄 / 𝑓𝑃𝐾))
151132, 150oveq12d 5836 . 2 (𝜑 → ((seq𝐾( + , 𝐽 / 𝑓𝑃)‘((𝐽𝐾) − 1)) + (𝐽 / 𝑓𝑃‘(𝐽𝐾))) = ((seq(𝐾 + 1)( + , 𝑄 / 𝑓𝑃)‘(𝐽𝐾)) + (𝑄 / 𝑓𝑃𝐾)))
1523peano2zd 9272 . . . 4 (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ ℤ)
153 zltp1le 9204 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐽𝐾) ∈ ℤ) → (𝐾 < (𝐽𝐾) ↔ (𝐾 + 1) ≤ (𝐽𝐾)))
1543, 11, 153syl2anc 409 . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 < (𝐽𝐾) ↔ (𝐾 + 1) ≤ (𝐽𝐾)))
15517, 154mpbid 146 . . . 4 (𝜑 → (𝐾 + 1) ≤ (𝐽𝐾))
156 eluz2 9428 . . . 4 ((𝐽𝐾) ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1)) ↔ ((𝐾 + 1) ∈ ℤ ∧ (𝐽𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝐾 + 1) ≤ (𝐽𝐾)))
157152, 11, 155, 156syl3anbrc 1166 . . 3 (𝜑 → (𝐽𝐾) ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1)))
1583, 157, 113, 126seq3m1 10349 . 2 (𝜑 → (seq𝐾( + , 𝐽 / 𝑓𝑃)‘(𝐽𝐾)) = ((seq𝐾( + , 𝐽 / 𝑓𝑃)‘((𝐽𝐾) − 1)) + (𝐽 / 𝑓𝑃‘(𝐽𝐾))))
159 iseqf1o.3 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆𝑧𝑆)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
160126, 159, 157, 3, 124seq3-1p 10361 . . 3 (𝜑 → (seq𝐾( + , 𝑄 / 𝑓𝑃)‘(𝐽𝐾)) = ((𝑄 / 𝑓𝑃𝐾) + (seq(𝐾 + 1)( + , 𝑄 / 𝑓𝑃)‘(𝐽𝐾))))
161 iseqf1o.2 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
162 fveq2 5465 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑄𝐾) → (𝐺𝑥) = (𝐺‘(𝑄𝐾)))
163162eleq1d 2226 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑄𝐾) → ((𝐺𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (𝐺‘(𝑄𝐾)) ∈ 𝑆))
16490ralrimiva 2530 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑥) ∈ 𝑆)
165147, 108eqeltrd 2234 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑄𝐾) ∈ (ℤ𝑀))
166163, 164, 165rspcdva 2821 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺‘(𝑄𝐾)) ∈ 𝑆)
167137, 166eqeltrd 2234 . . . 4 (𝜑 → (𝑄 / 𝑓𝑃𝐾) ∈ 𝑆)
168 eqid 2157 . . . . . 6 (ℤ‘(𝐾 + 1)) = (ℤ‘(𝐾 + 1))
169168, 152, 125, 126seqf 10342 . . . . 5 (𝜑 → seq(𝐾 + 1)( + , 𝑄 / 𝑓𝑃):(ℤ‘(𝐾 + 1))⟶𝑆)
170169, 157ffvelrnd 5600 . . . 4 (𝜑 → (seq(𝐾 + 1)( + , 𝑄 / 𝑓𝑃)‘(𝐽𝐾)) ∈ 𝑆)
171161, 167, 170caovcomd 5971 . . 3 (𝜑 → ((𝑄 / 𝑓𝑃𝐾) + (seq(𝐾 + 1)( + , 𝑄 / 𝑓𝑃)‘(𝐽𝐾))) = ((seq(𝐾 + 1)( + , 𝑄 / 𝑓𝑃)‘(𝐽𝐾)) + (𝑄 / 𝑓𝑃𝐾)))
172160, 171eqtrd 2190 . 2 (𝜑 → (seq𝐾( + , 𝑄 / 𝑓𝑃)‘(𝐽𝐾)) = ((seq(𝐾 + 1)( + , 𝑄 / 𝑓𝑃)‘(𝐽𝐾)) + (𝑄 / 𝑓𝑃𝐾)))
173151, 158, 1723eqtr4d 2200 1 (𝜑 → (seq𝐾( + , 𝐽 / 𝑓𝑃)‘(𝐽𝐾)) = (seq𝐾( + , 𝑄 / 𝑓𝑃)‘(𝐽𝐾)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 963   = wceq 1335   ∈ wcel 2128   ≠ wne 2327  ∀wral 2435  ⦋csb 3031  ifcif 3505   class class class wbr 3965   ↦ cmpt 4025  ◡ccnv 4582  ⟶wf 5163  –1-1-onto→wf1o 5166  ‘cfv 5167  (class class class)co 5818  ℂcc 7713  ℝcr 7714  1c1 7716   + caddc 7718   < clt 7895   ≤ cle 7896   − cmin 8029  ℤcz 9150  ℤ≥cuz 9422  ...cfz 9894  ..^cfzo 10023  seqcseq 10326 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-un 4392  ax-setind 4494  ax-iinf 4545  ax-cnex 7806  ax-resscn 7807  ax-1cn 7808  ax-1re 7809  ax-icn 7810  ax-addcl 7811  ax-addrcl 7812  ax-mulcl 7813  ax-addcom 7815  ax-addass 7817  ax-distr 7819  ax-i2m1 7820  ax-0lt1 7821  ax-0id 7823  ax-rnegex 7824  ax-cnre 7826  ax-pre-ltirr 7827  ax-pre-ltwlin 7828  ax-pre-lttrn 7829  ax-pre-apti 7830  ax-pre-ltadd 7831 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4252  df-iord 4325  df-on 4327  df-ilim 4328  df-suc 4330  df-iom 4548  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-rn 4594  df-res 4595  df-ima 4596  df-iota 5132  df-fun 5169  df-fn 5170  df-f 5171  df-f1 5172  df-fo 5173  df-f1o 5174  df-fv 5175  df-riota 5774  df-ov 5821  df-oprab 5822  df-mpo 5823  df-1st 6082  df-2nd 6083  df-recs 6246  df-frec 6332  df-1o 6357  df-er 6473  df-en 6679  df-fin 6681  df-pnf 7897  df-mnf 7898  df-xr 7899  df-ltxr 7900  df-le 7901  df-sub 8031  df-neg 8032  df-inn 8817  df-n0 9074  df-z 9151  df-uz 9423  df-fz 9895  df-fzo 10024  df-seqfrec 10327 This theorem is referenced by:  seq3f1olemqsumk  10380
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