Theorem seq3f1olemqsumkj 10433

Description: Lemma for seq3f1o 10439. 𝑄 gives the same sum as 𝐽 in the range (𝐾...(^◡𝐽‘𝐾)). (Contributed by Jim Kingdon, 29-Aug-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseqf1o.1	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
iseqf1o.2	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
iseqf1o.3	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
iseqf1o.4	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
iseqf1o.6	⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
iseqf1o.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐺‘𝑥) ∈ 𝑆)
iseqf1olemstep.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
iseqf1olemstep.j	⊢ (𝜑 → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
iseqf1olemstep.const	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)(𝐽‘𝑥) = 𝑥)
iseqf1olemnk	⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ (◡𝐽‘𝐾))
iseqf1olemqres.q	⊢ 𝑄 = (𝑢 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ if(𝑢 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝑢 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑢 − 1))), (𝐽‘𝑢)))
iseqf1olemqsumk.p	⊢ 𝑃 = (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝑓‘𝑥)), (𝐺‘𝑀)))

Assertion

Ref	Expression
seq3f1olemqsumkj	⊢ (𝜑 → (seq𝐾( + , ⦋𝐽 / 𝑓⦌𝑃)‘(◡𝐽‘𝐾)) = (seq𝐾( + , ⦋𝑄 / 𝑓⦌𝑃)‘(◡𝐽‘𝐾)))

Distinct variable groups:   𝑢,𝐽   𝑢,𝐾,𝑥   𝑢,𝑀,𝑥   𝑢,𝑁   𝑥,𝐽   𝑥,𝑄   𝜑,𝑥   𝑥, + ,𝑦,𝑧   𝑓,𝐺,𝑥   𝑓,𝐽,𝑦,𝑧   𝑦,𝐾,𝑧   𝑓,𝑀   𝑓,𝑁,𝑥   𝑥,𝑃,𝑦,𝑧   𝑄,𝑓,𝑦,𝑧   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧   𝜑,𝑢   𝜑,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝑃(𝑢,𝑓)   + (𝑢,𝑓)   𝑄(𝑢)   𝑆(𝑢,𝑓)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑢,𝑓)   𝐺(𝑦,𝑧,𝑢)   𝐾(𝑓)   𝑀(𝑦,𝑧)   𝑁(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem seq3f1olemqsumkj

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iseqf1olemstep.k	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
2		elfzelz 9960	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
4		iseqf1olemstep.j	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
5		f1ocnv 5445	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) → ◡𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
6	4, 5	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ◡𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
7		f1of 5432	. . . . . . . . . 10 ⊢ (◡𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) → ◡𝐽:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
8	6, 7	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ◡𝐽:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
9	8, 1	ffvelrnd 5621	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (◡𝐽‘𝐾) ∈ (𝑀...𝑁))
10		elfzelz 9960	. . . . . . . 8 ⊢ ((◡𝐽‘𝐾) ∈ (𝑀...𝑁) → (◡𝐽‘𝐾) ∈ ℤ)
11	9, 10	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (◡𝐽‘𝐾) ∈ ℤ)
12		peano2zm 9229	. . . . . . 7 ⊢ ((◡𝐽‘𝐾) ∈ ℤ → ((◡𝐽‘𝐾) − 1) ∈ ℤ)
13	11, 12	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((◡𝐽‘𝐾) − 1) ∈ ℤ)
14		iseqf1o.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
15		iseqf1olemstep.const	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)(𝐽‘𝑥) = 𝑥)
16		iseqf1olemnk	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ (◡𝐽‘𝐾))
17	14, 1, 4, 15, 16	iseqf1olemklt 10420	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 < (◡𝐽‘𝐾))
18		zltlem1 9248	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (◡𝐽‘𝐾) ∈ ℤ) → (𝐾 < (◡𝐽‘𝐾) ↔ 𝐾 ≤ ((◡𝐽‘𝐾) − 1)))
19	3, 11, 18	syl2anc 409	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾 < (◡𝐽‘𝐾) ↔ 𝐾 ≤ ((◡𝐽‘𝐾) − 1)))
20	17, 19	mpbid 146	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ ((◡𝐽‘𝐾) − 1))
21		eluz2 9472	. . . . . 6 ⊢ (((◡𝐽‘𝐾) − 1) ∈ (ℤ≥‘𝐾) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ ((◡𝐽‘𝐾) − 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ ((◡𝐽‘𝐾) − 1)))
22	3, 13, 20, 21	syl3anbrc 1171	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((◡𝐽‘𝐾) − 1) ∈ (ℤ≥‘𝐾))
23		1zzd 9218	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
24	1	adantr 274	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...((◡𝐽‘𝐾) − 1))) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
25	4	adantr 274	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...((◡𝐽‘𝐾) − 1))) → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
26		elfzel1 9959	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
27	1, 26	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
28	27	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...((◡𝐽‘𝐾) − 1))) → 𝑀 ∈ ℤ)
29		elfzel2 9958	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
30	1, 29	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
31	30	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...((◡𝐽‘𝐾) − 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
32		elfzelz 9960	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑣 ∈ (𝐾...((◡𝐽‘𝐾) − 1)) → 𝑣 ∈ ℤ)
33	32	adantl 275	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...((◡𝐽‘𝐾) − 1))) → 𝑣 ∈ ℤ)
34	33	peano2zd 9316	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...((◡𝐽‘𝐾) − 1))) → (𝑣 + 1) ∈ ℤ)
35	28, 31, 34	3jca 1167	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...((◡𝐽‘𝐾) − 1))) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑣 + 1) ∈ ℤ))
36	28	zred 9313	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...((◡𝐽‘𝐾) − 1))) → 𝑀 ∈ ℝ)
37	33	zred 9313	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...((◡𝐽‘𝐾) − 1))) → 𝑣 ∈ ℝ)
38	34	zred 9313	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...((◡𝐽‘𝐾) − 1))) → (𝑣 + 1) ∈ ℝ)
39	3	zred 9313	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
40	39	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...((◡𝐽‘𝐾) − 1))) → 𝐾 ∈ ℝ)
41		elfzle1 9962	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ≤ 𝐾)
42	1, 41	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝐾)
43	42	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...((◡𝐽‘𝐾) − 1))) → 𝑀 ≤ 𝐾)
44		elfzle1 9962	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑣 ∈ (𝐾...((◡𝐽‘𝐾) − 1)) → 𝐾 ≤ 𝑣)
45	44	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...((◡𝐽‘𝐾) − 1))) → 𝐾 ≤ 𝑣)
46	36, 40, 37, 43, 45	letrd 8022	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...((◡𝐽‘𝐾) − 1))) → 𝑀 ≤ 𝑣)
47	37	lep1d 8826	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...((◡𝐽‘𝐾) − 1))) → 𝑣 ≤ (𝑣 + 1))
48	36, 37, 38, 46, 47	letrd 8022	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...((◡𝐽‘𝐾) − 1))) → 𝑀 ≤ (𝑣 + 1))
49	11	zred 9313	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (◡𝐽‘𝐾) ∈ ℝ)
50	49	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...((◡𝐽‘𝐾) − 1))) → (◡𝐽‘𝐾) ∈ ℝ)
51	31	zred 9313	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...((◡𝐽‘𝐾) − 1))) → 𝑁 ∈ ℝ)
52		elfzle2 9963	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑣 ∈ (𝐾...((◡𝐽‘𝐾) − 1)) → 𝑣 ≤ ((◡𝐽‘𝐾) − 1))
53	52	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...((◡𝐽‘𝐾) − 1))) → 𝑣 ≤ ((◡𝐽‘𝐾) − 1))
54		1red 7914	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...((◡𝐽‘𝐾) − 1))) → 1 ∈ ℝ)
55		leaddsub 8336	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (◡𝐽‘𝐾) ∈ ℝ) → ((𝑣 + 1) ≤ (◡𝐽‘𝐾) ↔ 𝑣 ≤ ((◡𝐽‘𝐾) − 1)))
56	37, 54, 50, 55	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...((◡𝐽‘𝐾) − 1))) → ((𝑣 + 1) ≤ (◡𝐽‘𝐾) ↔ 𝑣 ≤ ((◡𝐽‘𝐾) − 1)))
57	53, 56	mpbird 166	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...((◡𝐽‘𝐾) − 1))) → (𝑣 + 1) ≤ (◡𝐽‘𝐾))
58		elfzle2 9963	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((◡𝐽‘𝐾) ∈ (𝑀...𝑁) → (◡𝐽‘𝐾) ≤ 𝑁)
59	9, 58	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (◡𝐽‘𝐾) ≤ 𝑁)
60	59	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...((◡𝐽‘𝐾) − 1))) → (◡𝐽‘𝐾) ≤ 𝑁)
61	38, 50, 51, 57, 60	letrd 8022	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...((◡𝐽‘𝐾) − 1))) → (𝑣 + 1) ≤ 𝑁)
62	48, 61	jca 304	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...((◡𝐽‘𝐾) − 1))) → (𝑀 ≤ (𝑣 + 1) ∧ (𝑣 + 1) ≤ 𝑁))
63		elfz2 9951	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑣 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑣 + 1) ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ (𝑣 + 1) ∧ (𝑣 + 1) ≤ 𝑁)))
64	35, 62, 63	sylanbrc 414	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...((◡𝐽‘𝐾) − 1))) → (𝑣 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
65		iseqf1olemqres.q	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑄 = (𝑢 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ if(𝑢 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝑢 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑢 − 1))), (𝐽‘𝑢)))
66	24, 25, 64, 65	iseqf1olemqval 10422	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...((◡𝐽‘𝐾) − 1))) → (𝑄‘(𝑣 + 1)) = if((𝑣 + 1) ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if((𝑣 + 1) = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘((𝑣 + 1) − 1))), (𝐽‘(𝑣 + 1))))
67	24, 2	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...((◡𝐽‘𝐾) − 1))) → 𝐾 ∈ ℤ)
68	11	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...((◡𝐽‘𝐾) − 1))) → (◡𝐽‘𝐾) ∈ ℤ)
69	67, 68, 34	3jca 1167	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...((◡𝐽‘𝐾) − 1))) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ (◡𝐽‘𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝑣 + 1) ∈ ℤ))
70	40, 37, 38, 45, 47	letrd 8022	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...((◡𝐽‘𝐾) − 1))) → 𝐾 ≤ (𝑣 + 1))
71	70, 57	jca 304	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...((◡𝐽‘𝐾) − 1))) → (𝐾 ≤ (𝑣 + 1) ∧ (𝑣 + 1) ≤ (◡𝐽‘𝐾)))
72		elfz2 9951	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑣 + 1) ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ↔ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (◡𝐽‘𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝑣 + 1) ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ≤ (𝑣 + 1) ∧ (𝑣 + 1) ≤ (◡𝐽‘𝐾))))
73	69, 71, 72	sylanbrc 414	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...((◡𝐽‘𝐾) − 1))) → (𝑣 + 1) ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))
74	73	iftrued 3527	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...((◡𝐽‘𝐾) − 1))) → if((𝑣 + 1) ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if((𝑣 + 1) = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘((𝑣 + 1) − 1))), (𝐽‘(𝑣 + 1))) = if((𝑣 + 1) = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘((𝑣 + 1) − 1))))
75	66, 74	eqtrd 2198	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...((◡𝐽‘𝐾) − 1))) → (𝑄‘(𝑣 + 1)) = if((𝑣 + 1) = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘((𝑣 + 1) − 1))))
76		zleltp1 9246	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ) → (𝐾 ≤ 𝑣 ↔ 𝐾 < (𝑣 + 1)))
77	67, 33, 76	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...((◡𝐽‘𝐾) − 1))) → (𝐾 ≤ 𝑣 ↔ 𝐾 < (𝑣 + 1)))
78	45, 77	mpbid 146	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...((◡𝐽‘𝐾) − 1))) → 𝐾 < (𝑣 + 1))
79	40, 78	gtned 8011	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...((◡𝐽‘𝐾) − 1))) → (𝑣 + 1) ≠ 𝐾)
80	79	neneqd 2357	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...((◡𝐽‘𝐾) − 1))) → ¬ (𝑣 + 1) = 𝐾)
81	80	iffalsed 3530	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...((◡𝐽‘𝐾) − 1))) → if((𝑣 + 1) = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘((𝑣 + 1) − 1))) = (𝐽‘((𝑣 + 1) − 1)))
82	33	zcnd 9314	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...((◡𝐽‘𝐾) − 1))) → 𝑣 ∈ ℂ)
83		pncan1 8275	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 ∈ ℂ → ((𝑣 + 1) − 1) = 𝑣)
84	82, 83	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...((◡𝐽‘𝐾) − 1))) → ((𝑣 + 1) − 1) = 𝑣)
85	84	fveq2d 5490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...((◡𝐽‘𝐾) − 1))) → (𝐽‘((𝑣 + 1) − 1)) = (𝐽‘𝑣))
86	75, 81, 85	3eqtrd 2202	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...((◡𝐽‘𝐾) − 1))) → (𝑄‘(𝑣 + 1)) = (𝐽‘𝑣))
87	86	fveq2d 5490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...((◡𝐽‘𝐾) − 1))) → (𝐺‘(𝑄‘(𝑣 + 1))) = (𝐺‘(𝐽‘𝑣)))
88	1, 4, 65	iseqf1olemqf1o 10428	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑄:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
89	88	adantr 274	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...((◡𝐽‘𝐾) − 1))) → 𝑄:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
90		iseqf1o.7	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐺‘𝑥) ∈ 𝑆)
91	90	adantlr 469	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...((◡𝐽‘𝐾) − 1))) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐺‘𝑥) ∈ 𝑆)
92		iseqf1olemqsumk.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝑓‘𝑥)), (𝐺‘𝑀)))
93	24, 89, 64, 91, 92	iseqf1olemfvp 10432	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...((◡𝐽‘𝐾) − 1))) → (⦋𝑄 / 𝑓⦌𝑃‘(𝑣 + 1)) = (𝐺‘(𝑄‘(𝑣 + 1))))
94	28, 31, 33	3jca 1167	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...((◡𝐽‘𝐾) − 1))) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ))
95	11, 23	zsubcld 9318	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((◡𝐽‘𝐾) − 1) ∈ ℤ)
96	95	zred 9313	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((◡𝐽‘𝐾) − 1) ∈ ℝ)
97	96	adantr 274	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...((◡𝐽‘𝐾) − 1))) → ((◡𝐽‘𝐾) − 1) ∈ ℝ)
98	50	lem1d 8828	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...((◡𝐽‘𝐾) − 1))) → ((◡𝐽‘𝐾) − 1) ≤ (◡𝐽‘𝐾))
99	97, 50, 51, 98, 60	letrd 8022	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...((◡𝐽‘𝐾) − 1))) → ((◡𝐽‘𝐾) − 1) ≤ 𝑁)
100	37, 97, 51, 53, 99	letrd 8022	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...((◡𝐽‘𝐾) − 1))) → 𝑣 ≤ 𝑁)
101	46, 100	jca 304	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...((◡𝐽‘𝐾) − 1))) → (𝑀 ≤ 𝑣 ∧ 𝑣 ≤ 𝑁))
102		elfz2 9951	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝑣 ∧ 𝑣 ≤ 𝑁)))
103	94, 101, 102	sylanbrc 414	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...((◡𝐽‘𝐾) − 1))) → 𝑣 ∈ (𝑀...𝑁))
104	103, 25, 103, 91, 92	iseqf1olemfvp 10432	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...((◡𝐽‘𝐾) − 1))) → (⦋𝐽 / 𝑓⦌𝑃‘𝑣) = (𝐺‘(𝐽‘𝑣)))
105	87, 93, 104	3eqtr4rd 2209	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...((◡𝐽‘𝐾) − 1))) → (⦋𝐽 / 𝑓⦌𝑃‘𝑣) = (⦋𝑄 / 𝑓⦌𝑃‘(𝑣 + 1)))
106		simpr 109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
107		elfzuz 9956	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
108	1, 107	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
109	108	adantr 274	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
110		uztrn 9482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
111	106, 109, 110	syl2anc 409	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
112	1, 4, 65, 90, 92	iseqf1olemjpcl 10430	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (⦋𝐽 / 𝑓⦌𝑃‘𝑥) ∈ 𝑆)
113	111, 112	syldan 280	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (⦋𝐽 / 𝑓⦌𝑃‘𝑥) ∈ 𝑆)
114		simpr 109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝐾 + 1))) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝐾 + 1)))
115	3	adantr 274	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝐾 + 1))) → 𝐾 ∈ ℤ)
116	115	peano2zd 9316	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝐾 + 1))) → (𝐾 + 1) ∈ ℤ)
117	115	zred 9313	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝐾 + 1))) → 𝐾 ∈ ℝ)
118	117	lep1d 8826	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝐾 + 1))) → 𝐾 ≤ (𝐾 + 1))
119		eluz2 9472	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝐾) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ (𝐾 + 1)))
120	115, 116, 118, 119	syl3anbrc 1171	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝐾 + 1))) → (𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝐾))
121		uztrn 9482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝐾 + 1)) ∧ (𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
122	114, 120, 121	syl2anc 409	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝐾 + 1))) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
123	1, 4, 65, 90, 92	iseqf1olemqpcl 10431	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (⦋𝑄 / 𝑓⦌𝑃‘𝑥) ∈ 𝑆)
124	111, 123	syldan 280	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (⦋𝑄 / 𝑓⦌𝑃‘𝑥) ∈ 𝑆)
125	122, 124	syldan 280	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝐾 + 1))) → (⦋𝑄 / 𝑓⦌𝑃‘𝑥) ∈ 𝑆)
126		iseqf1o.1	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
127	22, 23, 105, 113, 125, 126	seq3shft2 10408	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (seq𝐾( + , ⦋𝐽 / 𝑓⦌𝑃)‘((◡𝐽‘𝐾) − 1)) = (seq(𝐾 + 1)( + , ⦋𝑄 / 𝑓⦌𝑃)‘(((◡𝐽‘𝐾) − 1) + 1)))
128	11	zcnd 9314	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (◡𝐽‘𝐾) ∈ ℂ)
129		npcan1 8276	. . . . . 6 ⊢ ((◡𝐽‘𝐾) ∈ ℂ → (((◡𝐽‘𝐾) − 1) + 1) = (◡𝐽‘𝐾))
130	128, 129	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((◡𝐽‘𝐾) − 1) + 1) = (◡𝐽‘𝐾))
131	130	fveq2d 5490	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (seq(𝐾 + 1)( + , ⦋𝑄 / 𝑓⦌𝑃)‘(((◡𝐽‘𝐾) − 1) + 1)) = (seq(𝐾 + 1)( + , ⦋𝑄 / 𝑓⦌𝑃)‘(◡𝐽‘𝐾)))
132	127, 131	eqtrd 2198	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq𝐾( + , ⦋𝐽 / 𝑓⦌𝑃)‘((◡𝐽‘𝐾) − 1)) = (seq(𝐾 + 1)( + , ⦋𝑄 / 𝑓⦌𝑃)‘(◡𝐽‘𝐾)))
133		f1ocnvfv2 5746	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐽‘(◡𝐽‘𝐾)) = 𝐾)
134	4, 1, 133	syl2anc 409	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘(◡𝐽‘𝐾)) = 𝐾)
135	134	fveq2d 5490	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(𝐽‘(◡𝐽‘𝐾))) = (𝐺‘𝐾))
136	1, 4, 9, 90, 92	iseqf1olemfvp 10432	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⦋𝐽 / 𝑓⦌𝑃‘(◡𝐽‘𝐾)) = (𝐺‘(𝐽‘(◡𝐽‘𝐾))))
137	1, 88, 1, 90, 92	iseqf1olemfvp 10432	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⦋𝑄 / 𝑓⦌𝑃‘𝐾) = (𝐺‘(𝑄‘𝐾)))
138	1, 4, 1, 65	iseqf1olemqval 10422	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐾) = if(𝐾 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝐾 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐾 − 1))), (𝐽‘𝐾)))
139	14, 1, 4, 15	iseqf1olemkle 10419	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ (◡𝐽‘𝐾))
140		eluz2 9472	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((◡𝐽‘𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝐾) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (◡𝐽‘𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ (◡𝐽‘𝐾)))
141	3, 11, 139, 140	syl3anbrc 1171	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (◡𝐽‘𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝐾))
142		eluzfz1 9966	. . . . . . . . 9 ⊢ ((◡𝐽‘𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝐾 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))
143	141, 142	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))
144	143	iftrued 3527	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → if(𝐾 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝐾 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐾 − 1))), (𝐽‘𝐾)) = if(𝐾 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐾 − 1))))
145		eqidd 2166	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = 𝐾)
146	145	iftrued 3527	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → if(𝐾 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐾 − 1))) = 𝐾)
147	138, 144, 146	3eqtrd 2202	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐾) = 𝐾)
148	147	fveq2d 5490	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(𝑄‘𝐾)) = (𝐺‘𝐾))
149	137, 148	eqtrd 2198	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⦋𝑄 / 𝑓⦌𝑃‘𝐾) = (𝐺‘𝐾))
150	135, 136, 149	3eqtr4d 2208	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⦋𝐽 / 𝑓⦌𝑃‘(◡𝐽‘𝐾)) = (⦋𝑄 / 𝑓⦌𝑃‘𝐾))
151	132, 150	oveq12d 5860	. 2 ⊢ (𝜑 → ((seq𝐾( + , ⦋𝐽 / 𝑓⦌𝑃)‘((◡𝐽‘𝐾) − 1)) + (⦋𝐽 / 𝑓⦌𝑃‘(◡𝐽‘𝐾))) = ((seq(𝐾 + 1)( + , ⦋𝑄 / 𝑓⦌𝑃)‘(◡𝐽‘𝐾)) + (⦋𝑄 / 𝑓⦌𝑃‘𝐾)))
152	3	peano2zd 9316	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ ℤ)
153		zltp1le 9245	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (◡𝐽‘𝐾) ∈ ℤ) → (𝐾 < (◡𝐽‘𝐾) ↔ (𝐾 + 1) ≤ (◡𝐽‘𝐾)))
154	3, 11, 153	syl2anc 409	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 < (◡𝐽‘𝐾) ↔ (𝐾 + 1) ≤ (◡𝐽‘𝐾)))
155	17, 154	mpbid 146	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + 1) ≤ (◡𝐽‘𝐾))
156		eluz2 9472	. . . 4 ⊢ ((◡𝐽‘𝐾) ∈ (ℤ≥‘(𝐾 + 1)) ↔ ((𝐾 + 1) ∈ ℤ ∧ (◡𝐽‘𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝐾 + 1) ≤ (◡𝐽‘𝐾)))
157	152, 11, 155, 156	syl3anbrc 1171	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐽‘𝐾) ∈ (ℤ≥‘(𝐾 + 1)))
158	3, 157, 113, 126	seq3m1 10403	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq𝐾( + , ⦋𝐽 / 𝑓⦌𝑃)‘(◡𝐽‘𝐾)) = ((seq𝐾( + , ⦋𝐽 / 𝑓⦌𝑃)‘((◡𝐽‘𝐾) − 1)) + (⦋𝐽 / 𝑓⦌𝑃‘(◡𝐽‘𝐾))))
159		iseqf1o.3	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
160	126, 159, 157, 3, 124	seq3-1p 10415	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq𝐾( + , ⦋𝑄 / 𝑓⦌𝑃)‘(◡𝐽‘𝐾)) = ((⦋𝑄 / 𝑓⦌𝑃‘𝐾) + (seq(𝐾 + 1)( + , ⦋𝑄 / 𝑓⦌𝑃)‘(◡𝐽‘𝐾))))
161		iseqf1o.2	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
162		fveq2 5486	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑄‘𝐾) → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘(𝑄‘𝐾)))
163	162	eleq1d 2235	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑄‘𝐾) → ((𝐺‘𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (𝐺‘(𝑄‘𝐾)) ∈ 𝑆))
164	90	ralrimiva 2539	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐺‘𝑥) ∈ 𝑆)
165	147, 108	eqeltrd 2243	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
166	163, 164, 165	rspcdva 2835	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(𝑄‘𝐾)) ∈ 𝑆)
167	137, 166	eqeltrd 2243	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⦋𝑄 / 𝑓⦌𝑃‘𝐾) ∈ 𝑆)
168		eqid 2165	. . . . . 6 ⊢ (ℤ≥‘(𝐾 + 1)) = (ℤ≥‘(𝐾 + 1))
169	168, 152, 125, 126	seqf 10396	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq(𝐾 + 1)( + , ⦋𝑄 / 𝑓⦌𝑃):(ℤ≥‘(𝐾 + 1))⟶𝑆)
170	169, 157	ffvelrnd 5621	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (seq(𝐾 + 1)( + , ⦋𝑄 / 𝑓⦌𝑃)‘(◡𝐽‘𝐾)) ∈ 𝑆)
171	161, 167, 170	caovcomd 5998	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((⦋𝑄 / 𝑓⦌𝑃‘𝐾) + (seq(𝐾 + 1)( + , ⦋𝑄 / 𝑓⦌𝑃)‘(◡𝐽‘𝐾))) = ((seq(𝐾 + 1)( + , ⦋𝑄 / 𝑓⦌𝑃)‘(◡𝐽‘𝐾)) + (⦋𝑄 / 𝑓⦌𝑃‘𝐾)))
172	160, 171	eqtrd 2198	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq𝐾( + , ⦋𝑄 / 𝑓⦌𝑃)‘(◡𝐽‘𝐾)) = ((seq(𝐾 + 1)( + , ⦋𝑄 / 𝑓⦌𝑃)‘(◡𝐽‘𝐾)) + (⦋𝑄 / 𝑓⦌𝑃‘𝐾)))
173	151, 158, 172	3eqtr4d 2208	1 ⊢ (𝜑 → (seq𝐾( + , ⦋𝐽 / 𝑓⦌𝑃)‘(◡𝐽‘𝐾)) = (seq𝐾( + , ⦋𝑄 / 𝑓⦌𝑃)‘(◡𝐽‘𝐾)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 968   = wceq 1343   ∈ wcel 2136   ≠ wne 2336  ∀wral 2444  ⦋csb 3045  ifcif 3520   class class class wbr 3982   ↦ cmpt 4043  ^◡ccnv 4603  ⟶wf 5184  –1-1-onto→wf1o 5187  ‘cfv 5188  (class class class)co 5842  ℂcc 7751  ℝcr 7752  1c1 7754   + caddc 7756   < clt 7933   ≤ cle 7934   − cmin 8069  ℤcz 9191  ℤ_≥cuz 9466  ...cfz 9944  ..^cfzo 10077  seqcseq 10380

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-addcom 7853  ax-addass 7855  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-frec 6359  df-1o 6384  df-er 6501  df-en 6707  df-fin 6709  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-inn 8858  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-fz 9945  df-fzo 10078  df-seqfrec 10381

This theorem is referenced by:  seq3f1olemqsumk  10434