Theorem logbgcd1irraplemexp 15288

Description: Lemma for logbgcd1irrap 15290. Apartness of 𝑋↑𝑁 and 𝐵↑𝑀. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
logbgcd1irraplem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (ℤ≥‘2))
logbgcd1irraplem.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2))
logbgcd1irraplem.rp	⊢ (𝜑 → (𝑋 gcd 𝐵) = 1)
logbgcd1irraplem.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
logbgcd1irraplem.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
logbgcd1irraplemexp	⊢ (𝜑 → (𝑋↑𝑁) # (𝐵↑𝑀))

Proof of Theorem logbgcd1irraplemexp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		logbgcd1irraplem.rp	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋 gcd 𝐵) = 1)
2		logbgcd1irraplem.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (ℤ≥‘2))
3		eluz2nn 9657	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑋 ∈ ℕ)
4	2, 3	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℕ)
5		logbgcd1irraplem.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2))
6		eluz2nn 9657	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ∈ ℕ)
7	5, 6	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
8		logbgcd1irraplem.n	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
9		rplpwr 12219	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑋 gcd 𝐵) = 1 → ((𝑋↑𝑁) gcd 𝐵) = 1))
10	4, 7, 8, 9	syl3anc 1249	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 gcd 𝐵) = 1 → ((𝑋↑𝑁) gcd 𝐵) = 1))
11	1, 10	mpd 13	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑋↑𝑁) gcd 𝐵) = 1)
12	11	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝐵↑𝑀) = (𝑋↑𝑁)) → ((𝑋↑𝑁) gcd 𝐵) = 1)
13		1red 8058	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
14		eluz2gt1 9693	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝐵)
15	5, 14	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝐵)
16	13, 15	gtned 8156	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 1)
17	16	neneqd 2388	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 = 1)
18	7	nnzd 9464	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
19		gcdid 12178	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 gcd 𝐵) = (abs‘𝐵))
20	18, 19	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐵 gcd 𝐵) = (abs‘𝐵))
21	7	nnred 9020	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
22	7	nnnn0d 9319	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)
23	22	nn0ge0d 9322	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
24	21, 23	absidd 11349	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐵) = 𝐵)
25	20, 24	eqtrd 2229	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐵 gcd 𝐵) = 𝐵)
26	25	eqeq1d 2205	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 gcd 𝐵) = 1 ↔ 𝐵 = 1))
27	17, 26	mtbird 674	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐵 gcd 𝐵) = 1)
28	27	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ¬ (𝐵 gcd 𝐵) = 1)
29	18	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℤ)
30		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ)
31		rpexp 12346	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (((𝐵↑𝑀) gcd 𝐵) = 1 ↔ (𝐵 gcd 𝐵) = 1))
32	29, 29, 30, 31	syl3anc 1249	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (((𝐵↑𝑀) gcd 𝐵) = 1 ↔ (𝐵 gcd 𝐵) = 1))
33	28, 32	mtbird 674	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ¬ ((𝐵↑𝑀) gcd 𝐵) = 1)
34	33	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝐵↑𝑀) = (𝑋↑𝑁)) → ¬ ((𝐵↑𝑀) gcd 𝐵) = 1)
35		oveq1 5932	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋↑𝑁) = (𝐵↑𝑀) → ((𝑋↑𝑁) gcd 𝐵) = ((𝐵↑𝑀) gcd 𝐵))
36	35	eqeq1d 2205	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋↑𝑁) = (𝐵↑𝑀) → (((𝑋↑𝑁) gcd 𝐵) = 1 ↔ ((𝐵↑𝑀) gcd 𝐵) = 1))
37	36	eqcoms 2199	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵↑𝑀) = (𝑋↑𝑁) → (((𝑋↑𝑁) gcd 𝐵) = 1 ↔ ((𝐵↑𝑀) gcd 𝐵) = 1))
38	37	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝐵↑𝑀) = (𝑋↑𝑁)) → (((𝑋↑𝑁) gcd 𝐵) = 1 ↔ ((𝐵↑𝑀) gcd 𝐵) = 1))
39	34, 38	mtbird 674	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝐵↑𝑀) = (𝑋↑𝑁)) → ¬ ((𝑋↑𝑁) gcd 𝐵) = 1)
40	12, 39	pm2.65da 662	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ¬ (𝐵↑𝑀) = (𝑋↑𝑁))
41	40	neqcomd 2201	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ¬ (𝑋↑𝑁) = (𝐵↑𝑀))
42	41	neqned 2374	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑋↑𝑁) ≠ (𝐵↑𝑀))
43	4	nnzd 9464	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℤ)
44	43	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ ℤ)
45	8	nnnn0d 9319	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
46	45	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
47		zexpcl 10663	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑋↑𝑁) ∈ ℤ)
48	44, 46, 47	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑋↑𝑁) ∈ ℤ)
49	30	nnnn0d 9319	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ0)
50		zexpcl 10663	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝑀) ∈ ℤ)
51	29, 49, 50	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝐵↑𝑀) ∈ ℤ)
52		zapne 9417	. . . 4 ⊢ (((𝑋↑𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐵↑𝑀) ∈ ℤ) → ((𝑋↑𝑁) # (𝐵↑𝑀) ↔ (𝑋↑𝑁) ≠ (𝐵↑𝑀)))
53	48, 51, 52	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑋↑𝑁) # (𝐵↑𝑀) ↔ (𝑋↑𝑁) ≠ (𝐵↑𝑀)))
54	42, 53	mpbird 167	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑋↑𝑁) # (𝐵↑𝑀))
55	7	nnrpd 9786	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
56	55	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℝ+)
57		logbgcd1irraplem.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
58	57	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℤ)
59	56, 58	rpexpcld 10806	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝑀) ∈ ℝ+)
60	59	rpred 9788	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝑀) ∈ ℝ)
61	4	nnred 9020	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
62	61, 45	reexpcld 10799	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋↑𝑁) ∈ ℝ)
63	62	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑋↑𝑁) ∈ ℝ)
64		1red 8058	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℝ)
65		1rp 9749	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ+
66	65	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℝ+)
67	21	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℝ)
68		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → -𝑀 ∈ ℕ0)
69	7	nnge1d 9050	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐵)
70	69	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → 1 ≤ 𝐵)
71	67, 68, 70	expge1d 10801	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → 1 ≤ (𝐵↑-𝑀))
72	67	recnd 8072	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
73	7	nnap0d 9053	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 # 0)
74	73	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → 𝐵 # 0)
75	72, 74, 58	expnegapd 10789	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐵↑-𝑀) = (1 / (𝐵↑𝑀)))
76	71, 75	breqtrd 4060	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → 1 ≤ (1 / (𝐵↑𝑀)))
77	66, 59, 76	lerec2d 9810	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝑀) ≤ (1 / 1))
78		1div1e1 8748	. . . . 5 ⊢ (1 / 1) = 1
79	77, 78	breqtrdi 4075	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝑀) ≤ 1)
80		eluz2gt1 9693	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝑋)
81	2, 80	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝑋)
82		expgt1 10686	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑋) → 1 < (𝑋↑𝑁))
83	61, 8, 81, 82	syl3anc 1249	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 < (𝑋↑𝑁))
84	83	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → 1 < (𝑋↑𝑁))
85	60, 64, 63, 79, 84	lelttrd 8168	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝑀) < (𝑋↑𝑁))
86	60, 63, 85	gtapd 8681	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑋↑𝑁) # (𝐵↑𝑀))
87		elznn 9359	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ ↔ (𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∨ -𝑀 ∈ ℕ0)))
88	57, 87	sylib 122	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∨ -𝑀 ∈ ℕ0)))
89	88	simprd 114	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ ℕ ∨ -𝑀 ∈ ℕ0))
90	54, 86, 89	mpjaodan 799	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋↑𝑁) # (𝐵↑𝑀))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   ≠ wne 2367   class class class wbr 4034  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925  ℝcr 7895  0cc0 7896  1c1 7897   < clt 8078   ≤ cle 8079  -cneg 8215   # cap 8625   / cdiv 8716  ℕcn 9007  2c2 9058  ℕ₀cn0 9266  ℤcz 9343  ℤ_≥cuz 9618  ℝ⁺crp 9745  ↑cexp 10647  abscabs 11179   gcd cgcd 12145

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014  ax-arch 8015  ax-caucvg 8016

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-frec 6458  df-1o 6483  df-2o 6484  df-er 6601  df-en 6809  df-sup 7059  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-4 9068  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-q 9711  df-rp 9746  df-fz 10101  df-fzo 10235  df-fl 10377  df-mod 10432  df-seqfrec 10557  df-exp 10648  df-cj 11024  df-re 11025  df-im 11026  df-rsqrt 11180  df-abs 11181  df-dvds 11970  df-gcd 12146  df-prm 12301

This theorem is referenced by:  logbgcd1irraplemap  15289