Theorem logbgcd1irraplemexp 13680

Description: Lemma for logbgcd1irrap 13682. Apartness of 𝑋↑𝑁 and 𝐵↑𝑀. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
logbgcd1irraplem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (ℤ≥‘2))
logbgcd1irraplem.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2))
logbgcd1irraplem.rp	⊢ (𝜑 → (𝑋 gcd 𝐵) = 1)
logbgcd1irraplem.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
logbgcd1irraplem.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
logbgcd1irraplemexp	⊢ (𝜑 → (𝑋↑𝑁) # (𝐵↑𝑀))

Proof of Theorem logbgcd1irraplemexp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		logbgcd1irraplem.rp	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋 gcd 𝐵) = 1)
2		logbgcd1irraplem.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (ℤ≥‘2))
3		eluz2nn 9525	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑋 ∈ ℕ)
4	2, 3	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℕ)
5		logbgcd1irraplem.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2))
6		eluz2nn 9525	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ∈ ℕ)
7	5, 6	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
8		logbgcd1irraplem.n	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
9		rplpwr 11982	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑋 gcd 𝐵) = 1 → ((𝑋↑𝑁) gcd 𝐵) = 1))
10	4, 7, 8, 9	syl3anc 1233	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 gcd 𝐵) = 1 → ((𝑋↑𝑁) gcd 𝐵) = 1))
11	1, 10	mpd 13	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑋↑𝑁) gcd 𝐵) = 1)
12	11	ad2antrr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝐵↑𝑀) = (𝑋↑𝑁)) → ((𝑋↑𝑁) gcd 𝐵) = 1)
13		1red 7935	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
14		eluz2gt1 9561	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝐵)
15	5, 14	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝐵)
16	13, 15	gtned 8032	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 1)
17	16	neneqd 2361	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 = 1)
18	7	nnzd 9333	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
19		gcdid 11941	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 gcd 𝐵) = (abs‘𝐵))
20	18, 19	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐵 gcd 𝐵) = (abs‘𝐵))
21	7	nnred 8891	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
22	7	nnnn0d 9188	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)
23	22	nn0ge0d 9191	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
24	21, 23	absidd 11131	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐵) = 𝐵)
25	20, 24	eqtrd 2203	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐵 gcd 𝐵) = 𝐵)
26	25	eqeq1d 2179	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 gcd 𝐵) = 1 ↔ 𝐵 = 1))
27	17, 26	mtbird 668	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐵 gcd 𝐵) = 1)
28	27	adantr 274	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ¬ (𝐵 gcd 𝐵) = 1)
29	18	adantr 274	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℤ)
30		simpr 109	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ)
31		rpexp 12107	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (((𝐵↑𝑀) gcd 𝐵) = 1 ↔ (𝐵 gcd 𝐵) = 1))
32	29, 29, 30, 31	syl3anc 1233	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (((𝐵↑𝑀) gcd 𝐵) = 1 ↔ (𝐵 gcd 𝐵) = 1))
33	28, 32	mtbird 668	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ¬ ((𝐵↑𝑀) gcd 𝐵) = 1)
34	33	adantr 274	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝐵↑𝑀) = (𝑋↑𝑁)) → ¬ ((𝐵↑𝑀) gcd 𝐵) = 1)
35		oveq1 5860	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋↑𝑁) = (𝐵↑𝑀) → ((𝑋↑𝑁) gcd 𝐵) = ((𝐵↑𝑀) gcd 𝐵))
36	35	eqeq1d 2179	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋↑𝑁) = (𝐵↑𝑀) → (((𝑋↑𝑁) gcd 𝐵) = 1 ↔ ((𝐵↑𝑀) gcd 𝐵) = 1))
37	36	eqcoms 2173	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵↑𝑀) = (𝑋↑𝑁) → (((𝑋↑𝑁) gcd 𝐵) = 1 ↔ ((𝐵↑𝑀) gcd 𝐵) = 1))
38	37	adantl 275	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝐵↑𝑀) = (𝑋↑𝑁)) → (((𝑋↑𝑁) gcd 𝐵) = 1 ↔ ((𝐵↑𝑀) gcd 𝐵) = 1))
39	34, 38	mtbird 668	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝐵↑𝑀) = (𝑋↑𝑁)) → ¬ ((𝑋↑𝑁) gcd 𝐵) = 1)
40	12, 39	pm2.65da 656	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ¬ (𝐵↑𝑀) = (𝑋↑𝑁))
41	40	neqcomd 2175	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ¬ (𝑋↑𝑁) = (𝐵↑𝑀))
42	41	neqned 2347	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑋↑𝑁) ≠ (𝐵↑𝑀))
43	4	nnzd 9333	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℤ)
44	43	adantr 274	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ ℤ)
45	8	nnnn0d 9188	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
46	45	adantr 274	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
47		zexpcl 10491	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑋↑𝑁) ∈ ℤ)
48	44, 46, 47	syl2anc 409	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑋↑𝑁) ∈ ℤ)
49	30	nnnn0d 9188	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ0)
50		zexpcl 10491	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝑀) ∈ ℤ)
51	29, 49, 50	syl2anc 409	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝐵↑𝑀) ∈ ℤ)
52		zapne 9286	. . . 4 ⊢ (((𝑋↑𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐵↑𝑀) ∈ ℤ) → ((𝑋↑𝑁) # (𝐵↑𝑀) ↔ (𝑋↑𝑁) ≠ (𝐵↑𝑀)))
53	48, 51, 52	syl2anc 409	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑋↑𝑁) # (𝐵↑𝑀) ↔ (𝑋↑𝑁) ≠ (𝐵↑𝑀)))
54	42, 53	mpbird 166	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑋↑𝑁) # (𝐵↑𝑀))
55	7	nnrpd 9651	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
56	55	adantr 274	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℝ+)
57		logbgcd1irraplem.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
58	57	adantr 274	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℤ)
59	56, 58	rpexpcld 10633	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝑀) ∈ ℝ+)
60	59	rpred 9653	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝑀) ∈ ℝ)
61	4	nnred 8891	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
62	61, 45	reexpcld 10626	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋↑𝑁) ∈ ℝ)
63	62	adantr 274	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑋↑𝑁) ∈ ℝ)
64		1red 7935	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℝ)
65		1rp 9614	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ+
66	65	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℝ+)
67	21	adantr 274	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℝ)
68		simpr 109	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → -𝑀 ∈ ℕ0)
69	7	nnge1d 8921	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐵)
70	69	adantr 274	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → 1 ≤ 𝐵)
71	67, 68, 70	expge1d 10628	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → 1 ≤ (𝐵↑-𝑀))
72	67	recnd 7948	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
73	7	nnap0d 8924	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 # 0)
74	73	adantr 274	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → 𝐵 # 0)
75	72, 74, 58	expnegapd 10616	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐵↑-𝑀) = (1 / (𝐵↑𝑀)))
76	71, 75	breqtrd 4015	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → 1 ≤ (1 / (𝐵↑𝑀)))
77	66, 59, 76	lerec2d 9675	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝑀) ≤ (1 / 1))
78		1div1e1 8621	. . . . 5 ⊢ (1 / 1) = 1
79	77, 78	breqtrdi 4030	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝑀) ≤ 1)
80		eluz2gt1 9561	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝑋)
81	2, 80	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝑋)
82		expgt1 10514	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑋) → 1 < (𝑋↑𝑁))
83	61, 8, 81, 82	syl3anc 1233	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 < (𝑋↑𝑁))
84	83	adantr 274	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → 1 < (𝑋↑𝑁))
85	60, 64, 63, 79, 84	lelttrd 8044	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝑀) < (𝑋↑𝑁))
86	60, 63, 85	gtapd 8556	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑋↑𝑁) # (𝐵↑𝑀))
87		elznn 9228	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ ↔ (𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∨ -𝑀 ∈ ℕ0)))
88	57, 87	sylib 121	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∨ -𝑀 ∈ ℕ0)))
89	88	simprd 113	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ ℕ ∨ -𝑀 ∈ ℕ0))
90	54, 86, 89	mpjaodan 793	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋↑𝑁) # (𝐵↑𝑀))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 703   = wceq 1348   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2340   class class class wbr 3989  ‘cfv 5198  (class class class)co 5853  ℝcr 7773  0cc0 7774  1c1 7775   < clt 7954   ≤ cle 7955  -cneg 8091   # cap 8500   / cdiv 8589  ℕcn 8878  2c2 8929  ℕ₀cn0 9135  ℤcz 9212  ℤ_≥cuz 9487  ℝ⁺crp 9610  ↑cexp 10475  abscabs 10961   gcd cgcd 11897

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 826  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-1o 6395  df-2o 6396  df-er 6513  df-en 6719  df-sup 6961  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-fz 9966  df-fzo 10099  df-fl 10226  df-mod 10279  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-dvds 11750  df-gcd 11898  df-prm 12062

This theorem is referenced by:  logbgcd1irraplemap  13681