ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  logbgcd1irraplemexp GIF version

Theorem logbgcd1irraplemexp 14053
Description: Lemma for logbgcd1irrap 14055. Apartness of 𝑋𝑁 and 𝐵𝑀. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Jul-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
logbgcd1irraplem.x (𝜑𝑋 ∈ (ℤ‘2))
logbgcd1irraplem.b (𝜑𝐵 ∈ (ℤ‘2))
logbgcd1irraplem.rp (𝜑 → (𝑋 gcd 𝐵) = 1)
logbgcd1irraplem.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
logbgcd1irraplem.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
logbgcd1irraplemexp (𝜑 → (𝑋𝑁) # (𝐵𝑀))

Proof of Theorem logbgcd1irraplemexp
StepHypRef Expression
1 logbgcd1irraplem.rp . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋 gcd 𝐵) = 1)
2 logbgcd1irraplem.x . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ (ℤ‘2))
3 eluz2nn 9555 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ (ℤ‘2) → 𝑋 ∈ ℕ)
42, 3syl 14 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ∈ ℕ)
5 logbgcd1irraplem.b . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ (ℤ‘2))
6 eluz2nn 9555 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 𝐵 ∈ ℕ)
75, 6syl 14 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
8 logbgcd1irraplem.n . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
9 rplpwr 12011 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑋 gcd 𝐵) = 1 → ((𝑋𝑁) gcd 𝐵) = 1))
104, 7, 8, 9syl3anc 1238 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑋 gcd 𝐵) = 1 → ((𝑋𝑁) gcd 𝐵) = 1))
111, 10mpd 13 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑋𝑁) gcd 𝐵) = 1)
1211ad2antrr 488 . . . . . 6 (((𝜑𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝐵𝑀) = (𝑋𝑁)) → ((𝑋𝑁) gcd 𝐵) = 1)
13 1red 7963 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
14 eluz2gt1 9591 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 1 < 𝐵)
155, 14syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 < 𝐵)
1613, 15gtned 8060 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ≠ 1)
1716neneqd 2368 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ¬ 𝐵 = 1)
187nnzd 9363 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
19 gcdid 11970 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 gcd 𝐵) = (abs‘𝐵))
2018, 19syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐵 gcd 𝐵) = (abs‘𝐵))
217nnred 8921 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
227nnnn0d 9218 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐵 ∈ ℕ0)
2322nn0ge0d 9221 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
2421, 23absidd 11160 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (abs‘𝐵) = 𝐵)
2520, 24eqtrd 2210 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐵 gcd 𝐵) = 𝐵)
2625eqeq1d 2186 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐵 gcd 𝐵) = 1 ↔ 𝐵 = 1))
2717, 26mtbird 673 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ¬ (𝐵 gcd 𝐵) = 1)
2827adantr 276 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑀 ∈ ℕ) → ¬ (𝐵 gcd 𝐵) = 1)
2918adantr 276 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑀 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℤ)
30 simpr 110 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ)
31 rpexp 12136 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (((𝐵𝑀) gcd 𝐵) = 1 ↔ (𝐵 gcd 𝐵) = 1))
3229, 29, 30, 31syl3anc 1238 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑀 ∈ ℕ) → (((𝐵𝑀) gcd 𝐵) = 1 ↔ (𝐵 gcd 𝐵) = 1))
3328, 32mtbird 673 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑀 ∈ ℕ) → ¬ ((𝐵𝑀) gcd 𝐵) = 1)
3433adantr 276 . . . . . . 7 (((𝜑𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝐵𝑀) = (𝑋𝑁)) → ¬ ((𝐵𝑀) gcd 𝐵) = 1)
35 oveq1 5876 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑁) = (𝐵𝑀) → ((𝑋𝑁) gcd 𝐵) = ((𝐵𝑀) gcd 𝐵))
3635eqeq1d 2186 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑁) = (𝐵𝑀) → (((𝑋𝑁) gcd 𝐵) = 1 ↔ ((𝐵𝑀) gcd 𝐵) = 1))
3736eqcoms 2180 . . . . . . . 8 ((𝐵𝑀) = (𝑋𝑁) → (((𝑋𝑁) gcd 𝐵) = 1 ↔ ((𝐵𝑀) gcd 𝐵) = 1))
3837adantl 277 . . . . . . 7 (((𝜑𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝐵𝑀) = (𝑋𝑁)) → (((𝑋𝑁) gcd 𝐵) = 1 ↔ ((𝐵𝑀) gcd 𝐵) = 1))
3934, 38mtbird 673 . . . . . 6 (((𝜑𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝐵𝑀) = (𝑋𝑁)) → ¬ ((𝑋𝑁) gcd 𝐵) = 1)
4012, 39pm2.65da 661 . . . . 5 ((𝜑𝑀 ∈ ℕ) → ¬ (𝐵𝑀) = (𝑋𝑁))
4140neqcomd 2182 . . . 4 ((𝜑𝑀 ∈ ℕ) → ¬ (𝑋𝑁) = (𝐵𝑀))
4241neqned 2354 . . 3 ((𝜑𝑀 ∈ ℕ) → (𝑋𝑁) ≠ (𝐵𝑀))
434nnzd 9363 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ ℤ)
4443adantr 276 . . . . 5 ((𝜑𝑀 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ ℤ)
458nnnn0d 9218 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
4645adantr 276 . . . . 5 ((𝜑𝑀 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
47 zexpcl 10521 . . . . 5 ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑋𝑁) ∈ ℤ)
4844, 46, 47syl2anc 411 . . . 4 ((𝜑𝑀 ∈ ℕ) → (𝑋𝑁) ∈ ℤ)
4930nnnn0d 9218 . . . . 5 ((𝜑𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ0)
50 zexpcl 10521 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐵𝑀) ∈ ℤ)
5129, 49, 50syl2anc 411 . . . 4 ((𝜑𝑀 ∈ ℕ) → (𝐵𝑀) ∈ ℤ)
52 zapne 9316 . . . 4 (((𝑋𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐵𝑀) ∈ ℤ) → ((𝑋𝑁) # (𝐵𝑀) ↔ (𝑋𝑁) ≠ (𝐵𝑀)))
5348, 51, 52syl2anc 411 . . 3 ((𝜑𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑋𝑁) # (𝐵𝑀) ↔ (𝑋𝑁) ≠ (𝐵𝑀)))
5442, 53mpbird 167 . 2 ((𝜑𝑀 ∈ ℕ) → (𝑋𝑁) # (𝐵𝑀))
557nnrpd 9681 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
5655adantr 276 . . . . 5 ((𝜑 ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℝ+)
57 logbgcd1irraplem.m . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
5857adantr 276 . . . . 5 ((𝜑 ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℤ)
5956, 58rpexpcld 10663 . . . 4 ((𝜑 ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐵𝑀) ∈ ℝ+)
6059rpred 9683 . . 3 ((𝜑 ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐵𝑀) ∈ ℝ)
614nnred 8921 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
6261, 45reexpcld 10656 . . . 4 (𝜑 → (𝑋𝑁) ∈ ℝ)
6362adantr 276 . . 3 ((𝜑 ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑋𝑁) ∈ ℝ)
64 1red 7963 . . . 4 ((𝜑 ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℝ)
65 1rp 9644 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ+
6665a1i 9 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℝ+)
6721adantr 276 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℝ)
68 simpr 110 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → -𝑀 ∈ ℕ0)
697nnge1d 8951 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ≤ 𝐵)
7069adantr 276 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → 1 ≤ 𝐵)
7167, 68, 70expge1d 10658 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → 1 ≤ (𝐵↑-𝑀))
7267recnd 7976 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
737nnap0d 8954 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 # 0)
7473adantr 276 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → 𝐵 # 0)
7572, 74, 58expnegapd 10646 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐵↑-𝑀) = (1 / (𝐵𝑀)))
7671, 75breqtrd 4026 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → 1 ≤ (1 / (𝐵𝑀)))
7766, 59, 76lerec2d 9705 . . . . 5 ((𝜑 ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐵𝑀) ≤ (1 / 1))
78 1div1e1 8650 . . . . 5 (1 / 1) = 1
7977, 78breqtrdi 4041 . . . 4 ((𝜑 ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐵𝑀) ≤ 1)
80 eluz2gt1 9591 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ (ℤ‘2) → 1 < 𝑋)
812, 80syl 14 . . . . . 6 (𝜑 → 1 < 𝑋)
82 expgt1 10544 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑋) → 1 < (𝑋𝑁))
8361, 8, 81, 82syl3anc 1238 . . . . 5 (𝜑 → 1 < (𝑋𝑁))
8483adantr 276 . . . 4 ((𝜑 ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → 1 < (𝑋𝑁))
8560, 64, 63, 79, 84lelttrd 8072 . . 3 ((𝜑 ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐵𝑀) < (𝑋𝑁))
8660, 63, 85gtapd 8584 . 2 ((𝜑 ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑋𝑁) # (𝐵𝑀))
87 elznn 9258 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ ↔ (𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∨ -𝑀 ∈ ℕ0)))
8857, 87sylib 122 . . 3 (𝜑 → (𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∨ -𝑀 ∈ ℕ0)))
8988simprd 114 . 2 (𝜑 → (𝑀 ∈ ℕ ∨ -𝑀 ∈ ℕ0))
9054, 86, 89mpjaodan 798 1 (𝜑 → (𝑋𝑁) # (𝐵𝑀))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wb 105  wo 708   = wceq 1353  wcel 2148  wne 2347   class class class wbr 4000  cfv 5212  (class class class)co 5869  cr 7801  0cc0 7802  1c1 7803   < clt 7982  cle 7983  -cneg 8119   # cap 8528   / cdiv 8618  cn 8908  2c2 8959  0cn0 9165  cz 9242  cuz 9517  +crp 9640  cexp 10505  abscabs 10990   gcd cgcd 11926
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921  ax-caucvg 7922
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-1o 6411  df-2o 6412  df-er 6529  df-en 6735  df-sup 6977  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-q 9609  df-rp 9641  df-fz 9996  df-fzo 10129  df-fl 10256  df-mod 10309  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-cj 10835  df-re 10836  df-im 10837  df-rsqrt 10991  df-abs 10992  df-dvds 11779  df-gcd 11927  df-prm 12091
This theorem is referenced by:  logbgcd1irraplemap  14054
  Copyright terms: Public domain W3C validator