Theorem logbgcd1irraplemexp 14389

Description: Lemma for logbgcd1irrap 14391. Apartness of 𝑋↑𝑁 and 𝐵↑𝑀. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
logbgcd1irraplem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (ℤ≥‘2))
logbgcd1irraplem.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2))
logbgcd1irraplem.rp	⊢ (𝜑 → (𝑋 gcd 𝐵) = 1)
logbgcd1irraplem.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
logbgcd1irraplem.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
logbgcd1irraplemexp	⊢ (𝜑 → (𝑋↑𝑁) # (𝐵↑𝑀))

Proof of Theorem logbgcd1irraplemexp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		logbgcd1irraplem.rp	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋 gcd 𝐵) = 1)
2		logbgcd1irraplem.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (ℤ≥‘2))
3		eluz2nn 9566	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑋 ∈ ℕ)
4	2, 3	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℕ)
5		logbgcd1irraplem.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2))
6		eluz2nn 9566	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ∈ ℕ)
7	5, 6	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
8		logbgcd1irraplem.n	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
9		rplpwr 12028	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑋 gcd 𝐵) = 1 → ((𝑋↑𝑁) gcd 𝐵) = 1))
10	4, 7, 8, 9	syl3anc 1238	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 gcd 𝐵) = 1 → ((𝑋↑𝑁) gcd 𝐵) = 1))
11	1, 10	mpd 13	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑋↑𝑁) gcd 𝐵) = 1)
12	11	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝐵↑𝑀) = (𝑋↑𝑁)) → ((𝑋↑𝑁) gcd 𝐵) = 1)
13		1red 7972	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
14		eluz2gt1 9602	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝐵)
15	5, 14	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝐵)
16	13, 15	gtned 8070	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 1)
17	16	neneqd 2368	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 = 1)
18	7	nnzd 9374	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
19		gcdid 11987	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 gcd 𝐵) = (abs‘𝐵))
20	18, 19	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐵 gcd 𝐵) = (abs‘𝐵))
21	7	nnred 8932	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
22	7	nnnn0d 9229	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)
23	22	nn0ge0d 9232	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
24	21, 23	absidd 11176	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐵) = 𝐵)
25	20, 24	eqtrd 2210	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐵 gcd 𝐵) = 𝐵)
26	25	eqeq1d 2186	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 gcd 𝐵) = 1 ↔ 𝐵 = 1))
27	17, 26	mtbird 673	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐵 gcd 𝐵) = 1)
28	27	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ¬ (𝐵 gcd 𝐵) = 1)
29	18	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℤ)
30		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ)
31		rpexp 12153	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (((𝐵↑𝑀) gcd 𝐵) = 1 ↔ (𝐵 gcd 𝐵) = 1))
32	29, 29, 30, 31	syl3anc 1238	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (((𝐵↑𝑀) gcd 𝐵) = 1 ↔ (𝐵 gcd 𝐵) = 1))
33	28, 32	mtbird 673	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ¬ ((𝐵↑𝑀) gcd 𝐵) = 1)
34	33	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝐵↑𝑀) = (𝑋↑𝑁)) → ¬ ((𝐵↑𝑀) gcd 𝐵) = 1)
35		oveq1 5882	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋↑𝑁) = (𝐵↑𝑀) → ((𝑋↑𝑁) gcd 𝐵) = ((𝐵↑𝑀) gcd 𝐵))
36	35	eqeq1d 2186	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋↑𝑁) = (𝐵↑𝑀) → (((𝑋↑𝑁) gcd 𝐵) = 1 ↔ ((𝐵↑𝑀) gcd 𝐵) = 1))
37	36	eqcoms 2180	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵↑𝑀) = (𝑋↑𝑁) → (((𝑋↑𝑁) gcd 𝐵) = 1 ↔ ((𝐵↑𝑀) gcd 𝐵) = 1))
38	37	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝐵↑𝑀) = (𝑋↑𝑁)) → (((𝑋↑𝑁) gcd 𝐵) = 1 ↔ ((𝐵↑𝑀) gcd 𝐵) = 1))
39	34, 38	mtbird 673	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝐵↑𝑀) = (𝑋↑𝑁)) → ¬ ((𝑋↑𝑁) gcd 𝐵) = 1)
40	12, 39	pm2.65da 661	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ¬ (𝐵↑𝑀) = (𝑋↑𝑁))
41	40	neqcomd 2182	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ¬ (𝑋↑𝑁) = (𝐵↑𝑀))
42	41	neqned 2354	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑋↑𝑁) ≠ (𝐵↑𝑀))
43	4	nnzd 9374	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℤ)
44	43	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ ℤ)
45	8	nnnn0d 9229	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
46	45	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
47		zexpcl 10535	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑋↑𝑁) ∈ ℤ)
48	44, 46, 47	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑋↑𝑁) ∈ ℤ)
49	30	nnnn0d 9229	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ0)
50		zexpcl 10535	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝑀) ∈ ℤ)
51	29, 49, 50	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝐵↑𝑀) ∈ ℤ)
52		zapne 9327	. . . 4 ⊢ (((𝑋↑𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐵↑𝑀) ∈ ℤ) → ((𝑋↑𝑁) # (𝐵↑𝑀) ↔ (𝑋↑𝑁) ≠ (𝐵↑𝑀)))
53	48, 51, 52	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑋↑𝑁) # (𝐵↑𝑀) ↔ (𝑋↑𝑁) ≠ (𝐵↑𝑀)))
54	42, 53	mpbird 167	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑋↑𝑁) # (𝐵↑𝑀))
55	7	nnrpd 9694	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
56	55	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℝ+)
57		logbgcd1irraplem.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
58	57	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℤ)
59	56, 58	rpexpcld 10678	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝑀) ∈ ℝ+)
60	59	rpred 9696	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝑀) ∈ ℝ)
61	4	nnred 8932	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
62	61, 45	reexpcld 10671	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋↑𝑁) ∈ ℝ)
63	62	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑋↑𝑁) ∈ ℝ)
64		1red 7972	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℝ)
65		1rp 9657	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ+
66	65	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℝ+)
67	21	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℝ)
68		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → -𝑀 ∈ ℕ0)
69	7	nnge1d 8962	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐵)
70	69	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → 1 ≤ 𝐵)
71	67, 68, 70	expge1d 10673	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → 1 ≤ (𝐵↑-𝑀))
72	67	recnd 7986	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
73	7	nnap0d 8965	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 # 0)
74	73	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → 𝐵 # 0)
75	72, 74, 58	expnegapd 10661	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐵↑-𝑀) = (1 / (𝐵↑𝑀)))
76	71, 75	breqtrd 4030	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → 1 ≤ (1 / (𝐵↑𝑀)))
77	66, 59, 76	lerec2d 9718	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝑀) ≤ (1 / 1))
78		1div1e1 8661	. . . . 5 ⊢ (1 / 1) = 1
79	77, 78	breqtrdi 4045	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝑀) ≤ 1)
80		eluz2gt1 9602	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝑋)
81	2, 80	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝑋)
82		expgt1 10558	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑋) → 1 < (𝑋↑𝑁))
83	61, 8, 81, 82	syl3anc 1238	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 < (𝑋↑𝑁))
84	83	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → 1 < (𝑋↑𝑁))
85	60, 64, 63, 79, 84	lelttrd 8082	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝑀) < (𝑋↑𝑁))
86	60, 63, 85	gtapd 8594	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑋↑𝑁) # (𝐵↑𝑀))
87		elznn 9269	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ ↔ (𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∨ -𝑀 ∈ ℕ0)))
88	57, 87	sylib 122	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∨ -𝑀 ∈ ℕ0)))
89	88	simprd 114	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ ℕ ∨ -𝑀 ∈ ℕ0))
90	54, 86, 89	mpjaodan 798	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋↑𝑁) # (𝐵↑𝑀))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 708   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   ≠ wne 2347   class class class wbr 4004  ‘cfv 5217  (class class class)co 5875  ℝcr 7810  0cc0 7811  1c1 7812   < clt 7992   ≤ cle 7993  -cneg 8129   # cap 8538   / cdiv 8629  ℕcn 8919  2c2 8970  ℕ₀cn0 9176  ℤcz 9253  ℤ_≥cuz 9528  ℝ⁺crp 9653  ↑cexp 10519  abscabs 11006   gcd cgcd 11943

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930  ax-caucvg 7931

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-frec 6392  df-1o 6417  df-2o 6418  df-er 6535  df-en 6741  df-sup 6983  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-4 8980  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-q 9620  df-rp 9654  df-fz 10009  df-fzo 10143  df-fl 10270  df-mod 10323  df-seqfrec 10446  df-exp 10520  df-cj 10851  df-re 10852  df-im 10853  df-rsqrt 11007  df-abs 11008  df-dvds 11795  df-gcd 11944  df-prm 12108

This theorem is referenced by:  logbgcd1irraplemap  14390