Theorem logbgcd1irraplemexp 15642

Description: Lemma for logbgcd1irrap 15644. Apartness of 𝑋↑𝑁 and 𝐵↑𝑀. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
logbgcd1irraplem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (ℤ≥‘2))
logbgcd1irraplem.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2))
logbgcd1irraplem.rp	⊢ (𝜑 → (𝑋 gcd 𝐵) = 1)
logbgcd1irraplem.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
logbgcd1irraplem.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
logbgcd1irraplemexp	⊢ (𝜑 → (𝑋↑𝑁) # (𝐵↑𝑀))

Proof of Theorem logbgcd1irraplemexp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		logbgcd1irraplem.rp	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋 gcd 𝐵) = 1)
2		logbgcd1irraplem.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (ℤ≥‘2))
3		eluz2nn 9761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑋 ∈ ℕ)
4	2, 3	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℕ)
5		logbgcd1irraplem.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2))
6		eluz2nn 9761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ∈ ℕ)
7	5, 6	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
8		logbgcd1irraplem.n	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
9		rplpwr 12548	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑋 gcd 𝐵) = 1 → ((𝑋↑𝑁) gcd 𝐵) = 1))
10	4, 7, 8, 9	syl3anc 1271	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 gcd 𝐵) = 1 → ((𝑋↑𝑁) gcd 𝐵) = 1))
11	1, 10	mpd 13	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑋↑𝑁) gcd 𝐵) = 1)
12	11	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝐵↑𝑀) = (𝑋↑𝑁)) → ((𝑋↑𝑁) gcd 𝐵) = 1)
13		1red 8161	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
14		eluz2gt1 9797	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝐵)
15	5, 14	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝐵)
16	13, 15	gtned 8259	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 1)
17	16	neneqd 2421	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 = 1)
18	7	nnzd 9568	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
19		gcdid 12507	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 gcd 𝐵) = (abs‘𝐵))
20	18, 19	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐵 gcd 𝐵) = (abs‘𝐵))
21	7	nnred 9123	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
22	7	nnnn0d 9422	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)
23	22	nn0ge0d 9425	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
24	21, 23	absidd 11678	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐵) = 𝐵)
25	20, 24	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐵 gcd 𝐵) = 𝐵)
26	25	eqeq1d 2238	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 gcd 𝐵) = 1 ↔ 𝐵 = 1))
27	17, 26	mtbird 677	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐵 gcd 𝐵) = 1)
28	27	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ¬ (𝐵 gcd 𝐵) = 1)
29	18	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℤ)
30		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ)
31		rpexp 12675	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (((𝐵↑𝑀) gcd 𝐵) = 1 ↔ (𝐵 gcd 𝐵) = 1))
32	29, 29, 30, 31	syl3anc 1271	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (((𝐵↑𝑀) gcd 𝐵) = 1 ↔ (𝐵 gcd 𝐵) = 1))
33	28, 32	mtbird 677	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ¬ ((𝐵↑𝑀) gcd 𝐵) = 1)
34	33	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝐵↑𝑀) = (𝑋↑𝑁)) → ¬ ((𝐵↑𝑀) gcd 𝐵) = 1)
35		oveq1 6008	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋↑𝑁) = (𝐵↑𝑀) → ((𝑋↑𝑁) gcd 𝐵) = ((𝐵↑𝑀) gcd 𝐵))
36	35	eqeq1d 2238	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋↑𝑁) = (𝐵↑𝑀) → (((𝑋↑𝑁) gcd 𝐵) = 1 ↔ ((𝐵↑𝑀) gcd 𝐵) = 1))
37	36	eqcoms 2232	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵↑𝑀) = (𝑋↑𝑁) → (((𝑋↑𝑁) gcd 𝐵) = 1 ↔ ((𝐵↑𝑀) gcd 𝐵) = 1))
38	37	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝐵↑𝑀) = (𝑋↑𝑁)) → (((𝑋↑𝑁) gcd 𝐵) = 1 ↔ ((𝐵↑𝑀) gcd 𝐵) = 1))
39	34, 38	mtbird 677	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝐵↑𝑀) = (𝑋↑𝑁)) → ¬ ((𝑋↑𝑁) gcd 𝐵) = 1)
40	12, 39	pm2.65da 665	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ¬ (𝐵↑𝑀) = (𝑋↑𝑁))
41	40	neqcomd 2234	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ¬ (𝑋↑𝑁) = (𝐵↑𝑀))
42	41	neqned 2407	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑋↑𝑁) ≠ (𝐵↑𝑀))
43	4	nnzd 9568	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℤ)
44	43	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ ℤ)
45	8	nnnn0d 9422	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
46	45	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
47		zexpcl 10776	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑋↑𝑁) ∈ ℤ)
48	44, 46, 47	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑋↑𝑁) ∈ ℤ)
49	30	nnnn0d 9422	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ0)
50		zexpcl 10776	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝑀) ∈ ℤ)
51	29, 49, 50	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝐵↑𝑀) ∈ ℤ)
52		zapne 9521	. . . 4 ⊢ (((𝑋↑𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐵↑𝑀) ∈ ℤ) → ((𝑋↑𝑁) # (𝐵↑𝑀) ↔ (𝑋↑𝑁) ≠ (𝐵↑𝑀)))
53	48, 51, 52	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑋↑𝑁) # (𝐵↑𝑀) ↔ (𝑋↑𝑁) ≠ (𝐵↑𝑀)))
54	42, 53	mpbird 167	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑋↑𝑁) # (𝐵↑𝑀))
55	7	nnrpd 9890	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
56	55	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℝ+)
57		logbgcd1irraplem.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
58	57	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℤ)
59	56, 58	rpexpcld 10919	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝑀) ∈ ℝ+)
60	59	rpred 9892	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝑀) ∈ ℝ)
61	4	nnred 9123	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
62	61, 45	reexpcld 10912	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋↑𝑁) ∈ ℝ)
63	62	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑋↑𝑁) ∈ ℝ)
64		1red 8161	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℝ)
65		1rp 9853	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ+
66	65	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℝ+)
67	21	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℝ)
68		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → -𝑀 ∈ ℕ0)
69	7	nnge1d 9153	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐵)
70	69	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → 1 ≤ 𝐵)
71	67, 68, 70	expge1d 10914	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → 1 ≤ (𝐵↑-𝑀))
72	67	recnd 8175	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
73	7	nnap0d 9156	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 # 0)
74	73	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → 𝐵 # 0)
75	72, 74, 58	expnegapd 10902	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐵↑-𝑀) = (1 / (𝐵↑𝑀)))
76	71, 75	breqtrd 4109	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → 1 ≤ (1 / (𝐵↑𝑀)))
77	66, 59, 76	lerec2d 9914	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝑀) ≤ (1 / 1))
78		1div1e1 8851	. . . . 5 ⊢ (1 / 1) = 1
79	77, 78	breqtrdi 4124	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝑀) ≤ 1)
80		eluz2gt1 9797	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝑋)
81	2, 80	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝑋)
82		expgt1 10799	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑋) → 1 < (𝑋↑𝑁))
83	61, 8, 81, 82	syl3anc 1271	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 < (𝑋↑𝑁))
84	83	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → 1 < (𝑋↑𝑁))
85	60, 64, 63, 79, 84	lelttrd 8271	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝑀) < (𝑋↑𝑁))
86	60, 63, 85	gtapd 8784	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑋↑𝑁) # (𝐵↑𝑀))
87		elznn 9462	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ ↔ (𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∨ -𝑀 ∈ ℕ0)))
88	57, 87	sylib 122	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∨ -𝑀 ∈ ℕ0)))
89	88	simprd 114	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ ℕ ∨ -𝑀 ∈ ℕ0))
90	54, 86, 89	mpjaodan 803	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋↑𝑁) # (𝐵↑𝑀))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 713   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ≠ wne 2400   class class class wbr 4083  ‘cfv 5318  (class class class)co 6001  ℝcr 7998  0cc0 7999  1c1 8000   < clt 8181   ≤ cle 8182  -cneg 8318   # cap 8728   / cdiv 8819  ℕcn 9110  2c2 9161  ℕ₀cn0 9369  ℤcz 9446  ℤ_≥cuz 9722  ℝ⁺crp 9849  ↑cexp 10760  abscabs 11508   gcd cgcd 12474

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-mulrcl 8098  ax-addcom 8099  ax-mulcom 8100  ax-addass 8101  ax-mulass 8102  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-1rid 8106  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-precex 8109  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-apti 8114  ax-pre-ltadd 8115  ax-pre-mulgt0 8116  ax-pre-mulext 8117  ax-arch 8118  ax-caucvg 8119

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-recs 6451  df-frec 6537  df-1o 6562  df-2o 6563  df-er 6680  df-en 6888  df-sup 7151  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-reap 8722  df-ap 8729  df-div 8820  df-inn 9111  df-2 9169  df-3 9170  df-4 9171  df-n0 9370  df-z 9447  df-uz 9723  df-q 9815  df-rp 9850  df-fz 10205  df-fzo 10339  df-fl 10490  df-mod 10545  df-seqfrec 10670  df-exp 10761  df-cj 11353  df-re 11354  df-im 11355  df-rsqrt 11509  df-abs 11510  df-dvds 12299  df-gcd 12475  df-prm 12630

This theorem is referenced by:  logbgcd1irraplemap  15643