ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulge0 GIF version

Theorem mulge0 7996
Description: The product of two nonnegative numbers is nonnegative. (Contributed by NM, 8-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
mulge0 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem mulge0
StepHypRef Expression
1 remulcl 7373 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
21ad2ant2r 493 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
3 0re 7391 . . . 4 0 ∈ ℝ
4 ltnsym2 7478 . . . 4 (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ¬ ((𝐴 · 𝐵) < 0 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)))
52, 3, 4sylancl 404 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ¬ ((𝐴 · 𝐵) < 0 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)))
6 orc 666 . . . . . 6 ((𝐴 · 𝐵) < 0 → ((𝐴 · 𝐵) < 0 ∨ 0 < (𝐴 · 𝐵)))
7 reaplt 7965 . . . . . . 7 (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝐵) # 0 ↔ ((𝐴 · 𝐵) < 0 ∨ 0 < (𝐴 · 𝐵))))
82, 3, 7sylancl 404 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴 · 𝐵) # 0 ↔ ((𝐴 · 𝐵) < 0 ∨ 0 < (𝐴 · 𝐵))))
96, 8syl5ibr 154 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴 · 𝐵) < 0 → (𝐴 · 𝐵) # 0))
10 simplll 500 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
11 simplrl 502 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
12 recn 7378 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
13 recn 7378 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
14 mulap0r 7992 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → (𝐴 # 0 ∧ 𝐵 # 0))
1513, 14syl3an1 1203 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → (𝐴 # 0 ∧ 𝐵 # 0))
1612, 15syl3an2 1204 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → (𝐴 # 0 ∧ 𝐵 # 0))
17163expia 1141 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝐵) # 0 → (𝐴 # 0 ∧ 𝐵 # 0)))
1817ad2ant2r 493 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴 · 𝐵) # 0 → (𝐴 # 0 ∧ 𝐵 # 0)))
1918imp 122 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → (𝐴 # 0 ∧ 𝐵 # 0))
2019simpld 110 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → 𝐴 # 0)
21 reaplt 7965 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐴 # 0 ↔ (𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴)))
223, 21mpan2 416 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 # 0 ↔ (𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴)))
2322ad3antrrr 476 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → (𝐴 # 0 ↔ (𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴)))
2420, 23mpbid 145 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → (𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴))
25 lenlt 7464 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 0))
263, 25mpan 415 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 0))
2726biimpa 290 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ¬ 𝐴 < 0)
2827ad2antrr 472 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → ¬ 𝐴 < 0)
29 biorf 696 . . . . . . . . 9 𝐴 < 0 → (0 < 𝐴 ↔ (𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴)))
3028, 29syl 14 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → (0 < 𝐴 ↔ (𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴)))
3124, 30mpbird 165 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → 0 < 𝐴)
3219simprd 112 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → 𝐵 # 0)
33 reaplt 7965 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐵 # 0 ↔ (𝐵 < 0 ∨ 0 < 𝐵)))
343, 33mpan2 416 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 # 0 ↔ (𝐵 < 0 ∨ 0 < 𝐵)))
3534ad2antrl 474 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (𝐵 # 0 ↔ (𝐵 < 0 ∨ 0 < 𝐵)))
3635adantr 270 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → (𝐵 # 0 ↔ (𝐵 < 0 ∨ 0 < 𝐵)))
3732, 36mpbid 145 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → (𝐵 < 0 ∨ 0 < 𝐵))
38 lenlt 7464 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 0))
393, 38mpan 415 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 0))
4039biimpa 290 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) → ¬ 𝐵 < 0)
4140ad2antlr 473 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → ¬ 𝐵 < 0)
42 biorf 696 . . . . . . . . 9 𝐵 < 0 → (0 < 𝐵 ↔ (𝐵 < 0 ∨ 0 < 𝐵)))
4341, 42syl 14 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → (0 < 𝐵 ↔ (𝐵 < 0 ∨ 0 < 𝐵)))
4437, 43mpbird 165 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → 0 < 𝐵)
4510, 11, 31, 44mulgt0d 7509 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → 0 < (𝐴 · 𝐵))
4645ex 113 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴 · 𝐵) # 0 → 0 < (𝐴 · 𝐵)))
479, 46syld 44 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴 · 𝐵) < 0 → 0 < (𝐴 · 𝐵)))
4847ancld 318 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴 · 𝐵) < 0 → ((𝐴 · 𝐵) < 0 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))))
495, 48mtod 622 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ¬ (𝐴 · 𝐵) < 0)
50 lenlt 7464 . . 3 ((0 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ↔ ¬ (𝐴 · 𝐵) < 0))
513, 2, 50sylancr 405 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ↔ ¬ (𝐴 · 𝐵) < 0))
5249, 51mpbird 165 1 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102  wb 103  wo 662  wcel 1434   class class class wbr 3811  (class class class)co 5591  cc 7251  cr 7252  0cc0 7253   · cmul 7258   < clt 7425  cle 7426   # cap 7958
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-un 4224  ax-setind 4316  ax-cnex 7339  ax-resscn 7340  ax-1cn 7341  ax-1re 7342  ax-icn 7343  ax-addcl 7344  ax-addrcl 7345  ax-mulcl 7346  ax-mulrcl 7347  ax-addcom 7348  ax-mulcom 7349  ax-addass 7350  ax-mulass 7351  ax-distr 7352  ax-i2m1 7353  ax-0lt1 7354  ax-1rid 7355  ax-0id 7356  ax-rnegex 7357  ax-precex 7358  ax-cnre 7359  ax-pre-ltirr 7360  ax-pre-ltwlin 7361  ax-pre-lttrn 7362  ax-pre-apti 7363  ax-pre-ltadd 7364  ax-pre-mulgt0 7365  ax-pre-mulext 7366
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-br 3812  df-opab 3866  df-id 4084  df-po 4087  df-iso 4088  df-xp 4407  df-rel 4408  df-cnv 4409  df-co 4410  df-dm 4411  df-iota 4934  df-fun 4971  df-fv 4977  df-riota 5547  df-ov 5594  df-oprab 5595  df-mpt2 5596  df-pnf 7427  df-mnf 7428  df-xr 7429  df-ltxr 7430  df-le 7431  df-sub 7558  df-neg 7559  df-reap 7952  df-ap 7959
This theorem is referenced by:  mulge0i  7997  mulge0d  7998  ge0mulcl  9295  expge0  9828  bernneq  9909  sqrtmul  10295  amgm2  10378
  Copyright terms: Public domain W3C validator