ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulge0 GIF version

Theorem mulge0 8575
Description: The product of two nonnegative numbers is nonnegative. (Contributed by NM, 8-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
mulge0 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต))

Proof of Theorem mulge0
StepHypRef Expression
1 remulcl 7938 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„)
21ad2ant2r 509 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„)
3 0re 7956 . . . 4 0 โˆˆ โ„
4 ltnsym2 8047 . . . 4 (((๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„) โ†’ ยฌ ((๐ด ยท ๐ต) < 0 โˆง 0 < (๐ด ยท ๐ต)))
52, 3, 4sylancl 413 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ยฌ ((๐ด ยท ๐ต) < 0 โˆง 0 < (๐ด ยท ๐ต)))
6 orc 712 . . . . . 6 ((๐ด ยท ๐ต) < 0 โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) < 0 โˆจ 0 < (๐ด ยท ๐ต)))
7 reaplt 8544 . . . . . . 7 (((๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) # 0 โ†” ((๐ด ยท ๐ต) < 0 โˆจ 0 < (๐ด ยท ๐ต))))
82, 3, 7sylancl 413 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) # 0 โ†” ((๐ด ยท ๐ต) < 0 โˆจ 0 < (๐ด ยท ๐ต))))
96, 8imbitrrid 156 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) < 0 โ†’ (๐ด ยท ๐ต) # 0))
10 simplll 533 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โˆง (๐ด ยท ๐ต) # 0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
11 simplrl 535 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โˆง (๐ด ยท ๐ต) # 0) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
12 recn 7943 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
13 recn 7943 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
14 mulap0r 8571 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ด ยท ๐ต) # 0) โ†’ (๐ด # 0 โˆง ๐ต # 0))
1513, 14syl3an1 1271 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ด ยท ๐ต) # 0) โ†’ (๐ด # 0 โˆง ๐ต # 0))
1612, 15syl3an2 1272 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ด ยท ๐ต) # 0) โ†’ (๐ด # 0 โˆง ๐ต # 0))
17163expia 1205 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) # 0 โ†’ (๐ด # 0 โˆง ๐ต # 0)))
1817ad2ant2r 509 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) # 0 โ†’ (๐ด # 0 โˆง ๐ต # 0)))
1918imp 124 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โˆง (๐ด ยท ๐ต) # 0) โ†’ (๐ด # 0 โˆง ๐ต # 0))
2019simpld 112 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โˆง (๐ด ยท ๐ต) # 0) โ†’ ๐ด # 0)
21 reaplt 8544 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด # 0 โ†” (๐ด < 0 โˆจ 0 < ๐ด)))
223, 21mpan2 425 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ด # 0 โ†” (๐ด < 0 โˆจ 0 < ๐ด)))
2322ad3antrrr 492 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โˆง (๐ด ยท ๐ต) # 0) โ†’ (๐ด # 0 โ†” (๐ด < 0 โˆจ 0 < ๐ด)))
2420, 23mpbid 147 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โˆง (๐ด ยท ๐ต) # 0) โ†’ (๐ด < 0 โˆจ 0 < ๐ด))
25 lenlt 8032 . . . . . . . . . . . 12 ((0 โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ (0 โ‰ค ๐ด โ†” ยฌ ๐ด < 0))
263, 25mpan 424 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (0 โ‰ค ๐ด โ†” ยฌ ๐ด < 0))
2726biimpa 296 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ ยฌ ๐ด < 0)
2827ad2antrr 488 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โˆง (๐ด ยท ๐ต) # 0) โ†’ ยฌ ๐ด < 0)
29 biorf 744 . . . . . . . . 9 (ยฌ ๐ด < 0 โ†’ (0 < ๐ด โ†” (๐ด < 0 โˆจ 0 < ๐ด)))
3028, 29syl 14 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โˆง (๐ด ยท ๐ต) # 0) โ†’ (0 < ๐ด โ†” (๐ด < 0 โˆจ 0 < ๐ด)))
3124, 30mpbird 167 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โˆง (๐ด ยท ๐ต) # 0) โ†’ 0 < ๐ด)
3219simprd 114 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โˆง (๐ด ยท ๐ต) # 0) โ†’ ๐ต # 0)
33 reaplt 8544 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„) โ†’ (๐ต # 0 โ†” (๐ต < 0 โˆจ 0 < ๐ต)))
343, 33mpan2 425 . . . . . . . . . . 11 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (๐ต # 0 โ†” (๐ต < 0 โˆจ 0 < ๐ต)))
3534ad2antrl 490 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (๐ต # 0 โ†” (๐ต < 0 โˆจ 0 < ๐ต)))
3635adantr 276 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โˆง (๐ด ยท ๐ต) # 0) โ†’ (๐ต # 0 โ†” (๐ต < 0 โˆจ 0 < ๐ต)))
3732, 36mpbid 147 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โˆง (๐ด ยท ๐ต) # 0) โ†’ (๐ต < 0 โˆจ 0 < ๐ต))
38 lenlt 8032 . . . . . . . . . . . 12 ((0 โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (0 โ‰ค ๐ต โ†” ยฌ ๐ต < 0))
393, 38mpan 424 . . . . . . . . . . 11 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (0 โ‰ค ๐ต โ†” ยฌ ๐ต < 0))
4039biimpa 296 . . . . . . . . . 10 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โ†’ ยฌ ๐ต < 0)
4140ad2antlr 489 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โˆง (๐ด ยท ๐ต) # 0) โ†’ ยฌ ๐ต < 0)
42 biorf 744 . . . . . . . . 9 (ยฌ ๐ต < 0 โ†’ (0 < ๐ต โ†” (๐ต < 0 โˆจ 0 < ๐ต)))
4341, 42syl 14 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โˆง (๐ด ยท ๐ต) # 0) โ†’ (0 < ๐ต โ†” (๐ต < 0 โˆจ 0 < ๐ต)))
4437, 43mpbird 167 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โˆง (๐ด ยท ๐ต) # 0) โ†’ 0 < ๐ต)
4510, 11, 31, 44mulgt0d 8079 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โˆง (๐ด ยท ๐ต) # 0) โ†’ 0 < (๐ด ยท ๐ต))
4645ex 115 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) # 0 โ†’ 0 < (๐ด ยท ๐ต)))
479, 46syld 45 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) < 0 โ†’ 0 < (๐ด ยท ๐ต)))
4847ancld 325 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) < 0 โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) < 0 โˆง 0 < (๐ด ยท ๐ต))))
495, 48mtod 663 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ยฌ (๐ด ยท ๐ต) < 0)
50 lenlt 8032 . . 3 ((0 โˆˆ โ„ โˆง (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„) โ†’ (0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต) โ†” ยฌ (๐ด ยท ๐ต) < 0))
513, 2, 50sylancr 414 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต) โ†” ยฌ (๐ด ยท ๐ต) < 0))
5249, 51mpbird 167 1 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   โˆจ wo 708   โˆˆ wcel 2148   class class class wbr 4003  (class class class)co 5874  โ„‚cc 7808  โ„cr 7809  0cc0 7810   ยท cmul 7815   < clt 7991   โ‰ค cle 7992   # cap 8537
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4004  df-opab 4065  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538
This theorem is referenced by:  mulge0i  8576  mulge0d  8577  ge0mulcl  9981  expge0  10555  bernneq  10640  sqrtmul  11043  amgm2  11126
  Copyright terms: Public domain W3C validator