Theorem mulge0 8538

Description: The product of two nonnegative numbers is nonnegative. (Contributed by NM, 8-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
mulge0	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem mulge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		remulcl 7902	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
2	1	ad2ant2r 506	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
3		0re 7920	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		ltnsym2 8010	. . . 4 ⊢ (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ¬ ((𝐴 · 𝐵) < 0 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)))
5	2, 3, 4	sylancl 411	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ¬ ((𝐴 · 𝐵) < 0 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)))
6		orc 707	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) < 0 → ((𝐴 · 𝐵) < 0 ∨ 0 < (𝐴 · 𝐵)))
7		reaplt 8507	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝐵) # 0 ↔ ((𝐴 · 𝐵) < 0 ∨ 0 < (𝐴 · 𝐵))))
8	2, 3, 7	sylancl 411	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴 · 𝐵) # 0 ↔ ((𝐴 · 𝐵) < 0 ∨ 0 < (𝐴 · 𝐵))))
9	6, 8	syl5ibr 155	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴 · 𝐵) < 0 → (𝐴 · 𝐵) # 0))
10		simplll 528	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
11		simplrl 530	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
12		recn 7907	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
13		recn 7907	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
14		mulap0r 8534	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → (𝐴 # 0 ∧ 𝐵 # 0))
15	13, 14	syl3an1 1266	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → (𝐴 # 0 ∧ 𝐵 # 0))
16	12, 15	syl3an2 1267	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → (𝐴 # 0 ∧ 𝐵 # 0))
17	16	3expia 1200	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝐵) # 0 → (𝐴 # 0 ∧ 𝐵 # 0)))
18	17	ad2ant2r 506	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴 · 𝐵) # 0 → (𝐴 # 0 ∧ 𝐵 # 0)))
19	18	imp 123	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → (𝐴 # 0 ∧ 𝐵 # 0))
20	19	simpld 111	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → 𝐴 # 0)
21		reaplt 8507	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐴 # 0 ↔ (𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴)))
22	3, 21	mpan2 423	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 # 0 ↔ (𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴)))
23	22	ad3antrrr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → (𝐴 # 0 ↔ (𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴)))
24	20, 23	mpbid 146	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → (𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴))
25		lenlt 7995	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 0))
26	3, 25	mpan 422	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 0))
27	26	biimpa 294	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ¬ 𝐴 < 0)
28	27	ad2antrr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → ¬ 𝐴 < 0)
29		biorf 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝐴 < 0 → (0 < 𝐴 ↔ (𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴)))
30	28, 29	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → (0 < 𝐴 ↔ (𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴)))
31	24, 30	mpbird 166	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → 0 < 𝐴)
32	19	simprd 113	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → 𝐵 # 0)
33		reaplt 8507	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐵 # 0 ↔ (𝐵 < 0 ∨ 0 < 𝐵)))
34	3, 33	mpan2 423	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 # 0 ↔ (𝐵 < 0 ∨ 0 < 𝐵)))
35	34	ad2antrl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (𝐵 # 0 ↔ (𝐵 < 0 ∨ 0 < 𝐵)))
36	35	adantr 274	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → (𝐵 # 0 ↔ (𝐵 < 0 ∨ 0 < 𝐵)))
37	32, 36	mpbid 146	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → (𝐵 < 0 ∨ 0 < 𝐵))
38		lenlt 7995	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 0))
39	3, 38	mpan 422	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 0))
40	39	biimpa 294	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) → ¬ 𝐵 < 0)
41	40	ad2antlr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → ¬ 𝐵 < 0)
42		biorf 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝐵 < 0 → (0 < 𝐵 ↔ (𝐵 < 0 ∨ 0 < 𝐵)))
43	41, 42	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → (0 < 𝐵 ↔ (𝐵 < 0 ∨ 0 < 𝐵)))
44	37, 43	mpbird 166	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → 0 < 𝐵)
45	10, 11, 31, 44	mulgt0d 8042	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → 0 < (𝐴 · 𝐵))
46	45	ex 114	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴 · 𝐵) # 0 → 0 < (𝐴 · 𝐵)))
47	9, 46	syld 45	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴 · 𝐵) < 0 → 0 < (𝐴 · 𝐵)))
48	47	ancld 323	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴 · 𝐵) < 0 → ((𝐴 · 𝐵) < 0 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))))
49	5, 48	mtod 658	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ¬ (𝐴 · 𝐵) < 0)
50		lenlt 7995	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ↔ ¬ (𝐴 · 𝐵) < 0))
51	3, 2, 50	sylancr 412	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ↔ ¬ (𝐴 · 𝐵) < 0))
52	49, 51	mpbird 166	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 703   ∈ wcel 2141   class class class wbr 3989  (class class class)co 5853  ℂcc 7772  ℝcr 7773  0cc0 7774   · cmul 7779   < clt 7954   ≤ cle 7955   # cap 8500

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501

This theorem is referenced by:  mulge0i  8539  mulge0d  8540  ge0mulcl  9939  expge0  10512  bernneq  10596  sqrtmul  10999  amgm2  11082