Theorem mulge0 8293

Description: The product of two nonnegative numbers is nonnegative. (Contributed by NM, 8-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
mulge0	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem mulge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		remulcl 7666	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
2	1	ad2ant2r 498	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
3		0re 7684	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		ltnsym2 7771	. . . 4 ⊢ (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ¬ ((𝐴 · 𝐵) < 0 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)))
5	2, 3, 4	sylancl 407	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ¬ ((𝐴 · 𝐵) < 0 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)))
6		orc 684	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) < 0 → ((𝐴 · 𝐵) < 0 ∨ 0 < (𝐴 · 𝐵)))
7		reaplt 8262	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝐵) # 0 ↔ ((𝐴 · 𝐵) < 0 ∨ 0 < (𝐴 · 𝐵))))
8	2, 3, 7	sylancl 407	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴 · 𝐵) # 0 ↔ ((𝐴 · 𝐵) < 0 ∨ 0 < (𝐴 · 𝐵))))
9	6, 8	syl5ibr 155	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴 · 𝐵) < 0 → (𝐴 · 𝐵) # 0))
10		simplll 505	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
11		simplrl 507	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
12		recn 7671	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
13		recn 7671	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
14		mulap0r 8289	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → (𝐴 # 0 ∧ 𝐵 # 0))
15	13, 14	syl3an1 1230	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → (𝐴 # 0 ∧ 𝐵 # 0))
16	12, 15	syl3an2 1231	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → (𝐴 # 0 ∧ 𝐵 # 0))
17	16	3expia 1164	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝐵) # 0 → (𝐴 # 0 ∧ 𝐵 # 0)))
18	17	ad2ant2r 498	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴 · 𝐵) # 0 → (𝐴 # 0 ∧ 𝐵 # 0)))
19	18	imp 123	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → (𝐴 # 0 ∧ 𝐵 # 0))
20	19	simpld 111	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → 𝐴 # 0)
21		reaplt 8262	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐴 # 0 ↔ (𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴)))
22	3, 21	mpan2 419	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 # 0 ↔ (𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴)))
23	22	ad3antrrr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → (𝐴 # 0 ↔ (𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴)))
24	20, 23	mpbid 146	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → (𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴))
25		lenlt 7757	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 0))
26	3, 25	mpan 418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 0))
27	26	biimpa 292	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ¬ 𝐴 < 0)
28	27	ad2antrr 477	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → ¬ 𝐴 < 0)
29		biorf 716	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝐴 < 0 → (0 < 𝐴 ↔ (𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴)))
30	28, 29	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → (0 < 𝐴 ↔ (𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴)))
31	24, 30	mpbird 166	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → 0 < 𝐴)
32	19	simprd 113	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → 𝐵 # 0)
33		reaplt 8262	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐵 # 0 ↔ (𝐵 < 0 ∨ 0 < 𝐵)))
34	3, 33	mpan2 419	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 # 0 ↔ (𝐵 < 0 ∨ 0 < 𝐵)))
35	34	ad2antrl 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (𝐵 # 0 ↔ (𝐵 < 0 ∨ 0 < 𝐵)))
36	35	adantr 272	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → (𝐵 # 0 ↔ (𝐵 < 0 ∨ 0 < 𝐵)))
37	32, 36	mpbid 146	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → (𝐵 < 0 ∨ 0 < 𝐵))
38		lenlt 7757	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 0))
39	3, 38	mpan 418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 0))
40	39	biimpa 292	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) → ¬ 𝐵 < 0)
41	40	ad2antlr 478	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → ¬ 𝐵 < 0)
42		biorf 716	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝐵 < 0 → (0 < 𝐵 ↔ (𝐵 < 0 ∨ 0 < 𝐵)))
43	41, 42	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → (0 < 𝐵 ↔ (𝐵 < 0 ∨ 0 < 𝐵)))
44	37, 43	mpbird 166	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → 0 < 𝐵)
45	10, 11, 31, 44	mulgt0d 7802	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → 0 < (𝐴 · 𝐵))
46	45	ex 114	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴 · 𝐵) # 0 → 0 < (𝐴 · 𝐵)))
47	9, 46	syld 45	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴 · 𝐵) < 0 → 0 < (𝐴 · 𝐵)))
48	47	ancld 321	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴 · 𝐵) < 0 → ((𝐴 · 𝐵) < 0 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))))
49	5, 48	mtod 635	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ¬ (𝐴 · 𝐵) < 0)
50		lenlt 7757	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ↔ ¬ (𝐴 · 𝐵) < 0))
51	3, 2, 50	sylancr 408	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ↔ ¬ (𝐴 · 𝐵) < 0))
52	49, 51	mpbird 166	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 680   ∈ wcel 1461   class class class wbr 3893  (class class class)co 5726  ℂcc 7539  ℝcr 7540  0cc0 7541   · cmul 7546   < clt 7718   ≤ cle 7719   # cap 8255

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-sep 4004  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313  ax-setind 4410  ax-cnex 7630  ax-resscn 7631  ax-1cn 7632  ax-1re 7633  ax-icn 7634  ax-addcl 7635  ax-addrcl 7636  ax-mulcl 7637  ax-mulrcl 7638  ax-addcom 7639  ax-mulcom 7640  ax-addass 7641  ax-mulass 7642  ax-distr 7643  ax-i2m1 7644  ax-0lt1 7645  ax-1rid 7646  ax-0id 7647  ax-rnegex 7648  ax-precex 7649  ax-cnre 7650  ax-pre-ltirr 7651  ax-pre-ltwlin 7652  ax-pre-lttrn 7653  ax-pre-apti 7654  ax-pre-ltadd 7655  ax-pre-mulgt0 7656  ax-pre-mulext 7657

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 945  df-tru 1315  df-fal 1318  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ne 2281  df-nel 2376  df-ral 2393  df-rex 2394  df-reu 2395  df-rab 2397  df-v 2657  df-sbc 2877  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-br 3894  df-opab 3948  df-id 4173  df-po 4176  df-iso 4177  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-iota 5044  df-fun 5081  df-fv 5087  df-riota 5682  df-ov 5729  df-oprab 5730  df-mpo 5731  df-pnf 7720  df-mnf 7721  df-xr 7722  df-ltxr 7723  df-le 7724  df-sub 7852  df-neg 7853  df-reap 8249  df-ap 8256

This theorem is referenced by:  mulge0i  8294  mulge0d  8295  ge0mulcl  9652  expge0  10216  bernneq  10299  sqrtmul  10693  amgm2  10776