Theorem mulge0 8576

Description: The product of two nonnegative numbers is nonnegative. (Contributed by NM, 8-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
mulge0	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem mulge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		remulcl 7939	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
2	1	ad2ant2r 509	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
3		0re 7957	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		ltnsym2 8048	. . . 4 ⊢ (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ¬ ((𝐴 · 𝐵) < 0 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)))
5	2, 3, 4	sylancl 413	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ¬ ((𝐴 · 𝐵) < 0 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)))
6		orc 712	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) < 0 → ((𝐴 · 𝐵) < 0 ∨ 0 < (𝐴 · 𝐵)))
7		reaplt 8545	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝐵) # 0 ↔ ((𝐴 · 𝐵) < 0 ∨ 0 < (𝐴 · 𝐵))))
8	2, 3, 7	sylancl 413	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴 · 𝐵) # 0 ↔ ((𝐴 · 𝐵) < 0 ∨ 0 < (𝐴 · 𝐵))))
9	6, 8	imbitrrid 156	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴 · 𝐵) < 0 → (𝐴 · 𝐵) # 0))
10		simplll 533	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
11		simplrl 535	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
12		recn 7944	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
13		recn 7944	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
14		mulap0r 8572	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → (𝐴 # 0 ∧ 𝐵 # 0))
15	13, 14	syl3an1 1271	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → (𝐴 # 0 ∧ 𝐵 # 0))
16	12, 15	syl3an2 1272	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → (𝐴 # 0 ∧ 𝐵 # 0))
17	16	3expia 1205	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝐵) # 0 → (𝐴 # 0 ∧ 𝐵 # 0)))
18	17	ad2ant2r 509	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴 · 𝐵) # 0 → (𝐴 # 0 ∧ 𝐵 # 0)))
19	18	imp 124	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → (𝐴 # 0 ∧ 𝐵 # 0))
20	19	simpld 112	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → 𝐴 # 0)
21		reaplt 8545	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐴 # 0 ↔ (𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴)))
22	3, 21	mpan2 425	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 # 0 ↔ (𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴)))
23	22	ad3antrrr 492	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → (𝐴 # 0 ↔ (𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴)))
24	20, 23	mpbid 147	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → (𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴))
25		lenlt 8033	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 0))
26	3, 25	mpan 424	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 0))
27	26	biimpa 296	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ¬ 𝐴 < 0)
28	27	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → ¬ 𝐴 < 0)
29		biorf 744	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝐴 < 0 → (0 < 𝐴 ↔ (𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴)))
30	28, 29	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → (0 < 𝐴 ↔ (𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴)))
31	24, 30	mpbird 167	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → 0 < 𝐴)
32	19	simprd 114	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → 𝐵 # 0)
33		reaplt 8545	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐵 # 0 ↔ (𝐵 < 0 ∨ 0 < 𝐵)))
34	3, 33	mpan2 425	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 # 0 ↔ (𝐵 < 0 ∨ 0 < 𝐵)))
35	34	ad2antrl 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (𝐵 # 0 ↔ (𝐵 < 0 ∨ 0 < 𝐵)))
36	35	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → (𝐵 # 0 ↔ (𝐵 < 0 ∨ 0 < 𝐵)))
37	32, 36	mpbid 147	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → (𝐵 < 0 ∨ 0 < 𝐵))
38		lenlt 8033	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 0))
39	3, 38	mpan 424	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 0))
40	39	biimpa 296	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) → ¬ 𝐵 < 0)
41	40	ad2antlr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → ¬ 𝐵 < 0)
42		biorf 744	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝐵 < 0 → (0 < 𝐵 ↔ (𝐵 < 0 ∨ 0 < 𝐵)))
43	41, 42	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → (0 < 𝐵 ↔ (𝐵 < 0 ∨ 0 < 𝐵)))
44	37, 43	mpbird 167	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → 0 < 𝐵)
45	10, 11, 31, 44	mulgt0d 8080	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ (𝐴 · 𝐵) # 0) → 0 < (𝐴 · 𝐵))
46	45	ex 115	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴 · 𝐵) # 0 → 0 < (𝐴 · 𝐵)))
47	9, 46	syld 45	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴 · 𝐵) < 0 → 0 < (𝐴 · 𝐵)))
48	47	ancld 325	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴 · 𝐵) < 0 → ((𝐴 · 𝐵) < 0 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))))
49	5, 48	mtod 663	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ¬ (𝐴 · 𝐵) < 0)
50		lenlt 8033	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ↔ ¬ (𝐴 · 𝐵) < 0))
51	3, 2, 50	sylancr 414	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ↔ ¬ (𝐴 · 𝐵) < 0))
52	49, 51	mpbird 167	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 708   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4004  (class class class)co 5875  ℂcc 7809  ℝcr 7810  0cc0 7811   · cmul 7816   < clt 7992   ≤ cle 7993   # cap 8538

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-br 4005  df-opab 4066  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539

This theorem is referenced by:  mulge0i  8577  mulge0d  8578  ge0mulcl  9982  expge0  10556  bernneq  10641  sqrtmul  11044  amgm2  11127