Theorem msqge0 8774

Description: A square is nonnegative. Lemma 2.35 of [Geuvers], p. 9. (Contributed by NM, 23-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
msqge0	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ (𝐴 · 𝐴))

Proof of Theorem msqge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		remulcl 8138	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐴) ∈ ℝ)
2	1	anidms 397	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 𝐴) ∈ ℝ)
3		0re 8157	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		ltnsym2 8248	. . . 4 ⊢ (((𝐴 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ¬ ((𝐴 · 𝐴) < 0 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐴)))
5	2, 3, 4	sylancl 413	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ¬ ((𝐴 · 𝐴) < 0 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐴)))
6		orc 717	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 · 𝐴) < 0 → ((𝐴 · 𝐴) < 0 ∨ 0 < (𝐴 · 𝐴)))
7		reaplt 8746	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝐴) # 0 ↔ ((𝐴 · 𝐴) < 0 ∨ 0 < (𝐴 · 𝐴))))
8	2, 3, 7	sylancl 413	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 · 𝐴) # 0 ↔ ((𝐴 · 𝐴) < 0 ∨ 0 < (𝐴 · 𝐴))))
9	6, 8	imbitrrid 156	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 · 𝐴) < 0 → (𝐴 · 𝐴) # 0))
10		recn 8143	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
11		mulap0r 8773	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐴) # 0) → (𝐴 # 0 ∧ 𝐴 # 0))
12	10, 11	syl3an1 1304	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐴) # 0) → (𝐴 # 0 ∧ 𝐴 # 0))
13	10, 12	syl3an2 1305	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝐴) # 0) → (𝐴 # 0 ∧ 𝐴 # 0))
14	13	simpld 112	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝐴) # 0) → 𝐴 # 0)
15	14	3expia 1229	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝐴) # 0 → 𝐴 # 0))
16	15	anidms 397	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 · 𝐴) # 0 → 𝐴 # 0))
17		apsqgt0 8759	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) → 0 < (𝐴 · 𝐴))
18	17	ex 115	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 # 0 → 0 < (𝐴 · 𝐴)))
19	9, 16, 18	3syld 57	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 · 𝐴) < 0 → 0 < (𝐴 · 𝐴)))
20	19	ancld 325	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 · 𝐴) < 0 → ((𝐴 · 𝐴) < 0 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐴))))
21	5, 20	mtod 667	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ¬ (𝐴 · 𝐴) < 0)
22		lenlt 8233	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝐴) ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 · 𝐴) ↔ ¬ (𝐴 · 𝐴) < 0))
23	3, 2, 22	sylancr 414	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ (𝐴 · 𝐴) ↔ ¬ (𝐴 · 𝐴) < 0))
24	21, 23	mpbird 167	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ (𝐴 · 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 713   ∧ w3a 1002   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4083  (class class class)co 6007  ℂcc 8008  ℝcr 8009  0cc0 8010   · cmul 8015   < clt 8192   ≤ cle 8193   # cap 8739

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-mulrcl 8109  ax-addcom 8110  ax-mulcom 8111  ax-addass 8112  ax-mulass 8113  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-1rid 8117  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-precex 8120  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-apti 8125  ax-pre-ltadd 8126  ax-pre-mulgt0 8127  ax-pre-mulext 8128

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-reap 8733  df-ap 8740

This theorem is referenced by:  msqge0i  8775  msqge0d  8776  recexaplem2  8810  sqge0  10850  bernneq  10894