ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  msqge0 GIF version

Theorem msqge0 8575
Description: A square is nonnegative. Lemma 2.35 of [Geuvers], p. 9. (Contributed by NM, 23-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
msqge0 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ 0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ด))

Proof of Theorem msqge0
StepHypRef Expression
1 remulcl 7941 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด ยท ๐ด) โˆˆ โ„)
21anidms 397 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ด ยท ๐ด) โˆˆ โ„)
3 0re 7959 . . . 4 0 โˆˆ โ„
4 ltnsym2 8050 . . . 4 (((๐ด ยท ๐ด) โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„) โ†’ ยฌ ((๐ด ยท ๐ด) < 0 โˆง 0 < (๐ด ยท ๐ด)))
52, 3, 4sylancl 413 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ยฌ ((๐ด ยท ๐ด) < 0 โˆง 0 < (๐ด ยท ๐ด)))
6 orc 712 . . . . . 6 ((๐ด ยท ๐ด) < 0 โ†’ ((๐ด ยท ๐ด) < 0 โˆจ 0 < (๐ด ยท ๐ด)))
7 reaplt 8547 . . . . . . 7 (((๐ด ยท ๐ด) โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด ยท ๐ด) # 0 โ†” ((๐ด ยท ๐ด) < 0 โˆจ 0 < (๐ด ยท ๐ด))))
82, 3, 7sylancl 413 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ((๐ด ยท ๐ด) # 0 โ†” ((๐ด ยท ๐ด) < 0 โˆจ 0 < (๐ด ยท ๐ด))))
96, 8imbitrrid 156 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ((๐ด ยท ๐ด) < 0 โ†’ (๐ด ยท ๐ด) # 0))
10 recn 7946 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
11 mulap0r 8574 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ด ยท ๐ด) # 0) โ†’ (๐ด # 0 โˆง ๐ด # 0))
1210, 11syl3an1 1271 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ด ยท ๐ด) # 0) โ†’ (๐ด # 0 โˆง ๐ด # 0))
1310, 12syl3an2 1272 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ด ยท ๐ด) # 0) โ†’ (๐ด # 0 โˆง ๐ด # 0))
1413simpld 112 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ด ยท ๐ด) # 0) โ†’ ๐ด # 0)
15143expia 1205 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด ยท ๐ด) # 0 โ†’ ๐ด # 0))
1615anidms 397 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ((๐ด ยท ๐ด) # 0 โ†’ ๐ด # 0))
17 apsqgt0 8560 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด # 0) โ†’ 0 < (๐ด ยท ๐ด))
1817ex 115 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ด # 0 โ†’ 0 < (๐ด ยท ๐ด)))
199, 16, 183syld 57 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ((๐ด ยท ๐ด) < 0 โ†’ 0 < (๐ด ยท ๐ด)))
2019ancld 325 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ((๐ด ยท ๐ด) < 0 โ†’ ((๐ด ยท ๐ด) < 0 โˆง 0 < (๐ด ยท ๐ด))))
215, 20mtod 663 . 2 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ยฌ (๐ด ยท ๐ด) < 0)
22 lenlt 8035 . . 3 ((0 โˆˆ โ„ โˆง (๐ด ยท ๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ (0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ด) โ†” ยฌ (๐ด ยท ๐ด) < 0))
233, 2, 22sylancr 414 . 2 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ด) โ†” ยฌ (๐ด ยท ๐ด) < 0))
2421, 23mpbird 167 1 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ 0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ด))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   โˆจ wo 708   โˆง w3a 978   โˆˆ wcel 2148   class class class wbr 4005  (class class class)co 5877  โ„‚cc 7811  โ„cr 7812  0cc0 7813   ยท cmul 7818   < clt 7994   โ‰ค cle 7995   # cap 8540
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541
This theorem is referenced by:  msqge0i  8576  msqge0d  8577  recexaplem2  8611  sqge0  10599  bernneq  10643
  Copyright terms: Public domain W3C validator