Theorem msqge0 8907

Description: A square is nonnegative. Lemma 2.35 of [Geuvers], p. 9. (Contributed by NM, 23-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
msqge0	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ (𝐴 · 𝐴))

Proof of Theorem msqge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		remulcl 8271	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐴) ∈ ℝ)
2	1	anidms 397	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 𝐴) ∈ ℝ)
3		0re 8290	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		ltnsym2 8380	. . . 4 ⊢ (((𝐴 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ¬ ((𝐴 · 𝐴) < 0 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐴)))
5	2, 3, 4	sylancl 413	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ¬ ((𝐴 · 𝐴) < 0 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐴)))
6		orc 720	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 · 𝐴) < 0 → ((𝐴 · 𝐴) < 0 ∨ 0 < (𝐴 · 𝐴)))
7		reaplt 8879	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝐴) # 0 ↔ ((𝐴 · 𝐴) < 0 ∨ 0 < (𝐴 · 𝐴))))
8	2, 3, 7	sylancl 413	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 · 𝐴) # 0 ↔ ((𝐴 · 𝐴) < 0 ∨ 0 < (𝐴 · 𝐴))))
9	6, 8	imbitrrid 156	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 · 𝐴) < 0 → (𝐴 · 𝐴) # 0))
10		recn 8276	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
11		mulap0r 8906	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐴) # 0) → (𝐴 # 0 ∧ 𝐴 # 0))
12	10, 11	syl3an1 1307	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐴) # 0) → (𝐴 # 0 ∧ 𝐴 # 0))
13	10, 12	syl3an2 1308	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝐴) # 0) → (𝐴 # 0 ∧ 𝐴 # 0))
14	13	simpld 112	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝐴) # 0) → 𝐴 # 0)
15	14	3expia 1232	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝐴) # 0 → 𝐴 # 0))
16	15	anidms 397	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 · 𝐴) # 0 → 𝐴 # 0))
17		apsqgt0 8892	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) → 0 < (𝐴 · 𝐴))
18	17	ex 115	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 # 0 → 0 < (𝐴 · 𝐴)))
19	9, 16, 18	3syld 57	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 · 𝐴) < 0 → 0 < (𝐴 · 𝐴)))
20	19	ancld 325	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 · 𝐴) < 0 → ((𝐴 · 𝐴) < 0 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐴))))
21	5, 20	mtod 669	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ¬ (𝐴 · 𝐴) < 0)
22		lenlt 8365	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝐴) ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 · 𝐴) ↔ ¬ (𝐴 · 𝐴) < 0))
23	3, 2, 22	sylancr 414	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ (𝐴 · 𝐴) ↔ ¬ (𝐴 · 𝐴) < 0))
24	21, 23	mpbird 167	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ (𝐴 · 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 716   ∧ w3a 1005   ∈ wcel 2205   class class class wbr 4114  (class class class)co 6058  ℂcc 8141  ℝcr 8142  0cc0 8143   · cmul 8148   < clt 8324   ≤ cle 8325   # cap 8872

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-opab 4177  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873

This theorem is referenced by:  msqge0i  8908  msqge0d  8909  recexaplem2  8943  sqge0  11002  bernneq  11047