Theorem msqge0 8514

Description: A square is nonnegative. Lemma 2.35 of [Geuvers], p. 9. (Contributed by NM, 23-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
msqge0	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ (𝐴 · 𝐴))

Proof of Theorem msqge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		remulcl 7881	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐴) ∈ ℝ)
2	1	anidms 395	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 𝐴) ∈ ℝ)
3		0re 7899	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		ltnsym2 7989	. . . 4 ⊢ (((𝐴 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ¬ ((𝐴 · 𝐴) < 0 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐴)))
5	2, 3, 4	sylancl 410	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ¬ ((𝐴 · 𝐴) < 0 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐴)))
6		orc 702	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 · 𝐴) < 0 → ((𝐴 · 𝐴) < 0 ∨ 0 < (𝐴 · 𝐴)))
7		reaplt 8486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝐴) # 0 ↔ ((𝐴 · 𝐴) < 0 ∨ 0 < (𝐴 · 𝐴))))
8	2, 3, 7	sylancl 410	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 · 𝐴) # 0 ↔ ((𝐴 · 𝐴) < 0 ∨ 0 < (𝐴 · 𝐴))))
9	6, 8	syl5ibr 155	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 · 𝐴) < 0 → (𝐴 · 𝐴) # 0))
10		recn 7886	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
11		mulap0r 8513	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐴) # 0) → (𝐴 # 0 ∧ 𝐴 # 0))
12	10, 11	syl3an1 1261	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐴) # 0) → (𝐴 # 0 ∧ 𝐴 # 0))
13	10, 12	syl3an2 1262	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝐴) # 0) → (𝐴 # 0 ∧ 𝐴 # 0))
14	13	simpld 111	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝐴) # 0) → 𝐴 # 0)
15	14	3expia 1195	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝐴) # 0 → 𝐴 # 0))
16	15	anidms 395	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 · 𝐴) # 0 → 𝐴 # 0))
17		apsqgt0 8499	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) → 0 < (𝐴 · 𝐴))
18	17	ex 114	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 # 0 → 0 < (𝐴 · 𝐴)))
19	9, 16, 18	3syld 57	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 · 𝐴) < 0 → 0 < (𝐴 · 𝐴)))
20	19	ancld 323	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 · 𝐴) < 0 → ((𝐴 · 𝐴) < 0 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐴))))
21	5, 20	mtod 653	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ¬ (𝐴 · 𝐴) < 0)
22		lenlt 7974	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝐴) ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 · 𝐴) ↔ ¬ (𝐴 · 𝐴) < 0))
23	3, 2, 22	sylancr 411	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ (𝐴 · 𝐴) ↔ ¬ (𝐴 · 𝐴) < 0))
24	21, 23	mpbird 166	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ (𝐴 · 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 698   ∧ w3a 968   ∈ wcel 2136   class class class wbr 3982  (class class class)co 5842  ℂcc 7751  ℝcr 7752  0cc0 7753   · cmul 7758   < clt 7933   ≤ cle 7934   # cap 8479

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480

This theorem is referenced by:  msqge0i  8515  msqge0d  8516  recexaplem2  8549  sqge0  10531  bernneq  10575