Theorem msqge0 8635

Description: A square is nonnegative. Lemma 2.35 of [Geuvers], p. 9. (Contributed by NM, 23-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
msqge0	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ (𝐴 · 𝐴))

Proof of Theorem msqge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		remulcl 8000	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐴) ∈ ℝ)
2	1	anidms 397	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 𝐴) ∈ ℝ)
3		0re 8019	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		ltnsym2 8110	. . . 4 ⊢ (((𝐴 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ¬ ((𝐴 · 𝐴) < 0 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐴)))
5	2, 3, 4	sylancl 413	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ¬ ((𝐴 · 𝐴) < 0 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐴)))
6		orc 713	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 · 𝐴) < 0 → ((𝐴 · 𝐴) < 0 ∨ 0 < (𝐴 · 𝐴)))
7		reaplt 8607	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝐴) # 0 ↔ ((𝐴 · 𝐴) < 0 ∨ 0 < (𝐴 · 𝐴))))
8	2, 3, 7	sylancl 413	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 · 𝐴) # 0 ↔ ((𝐴 · 𝐴) < 0 ∨ 0 < (𝐴 · 𝐴))))
9	6, 8	imbitrrid 156	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 · 𝐴) < 0 → (𝐴 · 𝐴) # 0))
10		recn 8005	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
11		mulap0r 8634	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐴) # 0) → (𝐴 # 0 ∧ 𝐴 # 0))
12	10, 11	syl3an1 1282	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐴) # 0) → (𝐴 # 0 ∧ 𝐴 # 0))
13	10, 12	syl3an2 1283	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝐴) # 0) → (𝐴 # 0 ∧ 𝐴 # 0))
14	13	simpld 112	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝐴) # 0) → 𝐴 # 0)
15	14	3expia 1207	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝐴) # 0 → 𝐴 # 0))
16	15	anidms 397	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 · 𝐴) # 0 → 𝐴 # 0))
17		apsqgt0 8620	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) → 0 < (𝐴 · 𝐴))
18	17	ex 115	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 # 0 → 0 < (𝐴 · 𝐴)))
19	9, 16, 18	3syld 57	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 · 𝐴) < 0 → 0 < (𝐴 · 𝐴)))
20	19	ancld 325	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 · 𝐴) < 0 → ((𝐴 · 𝐴) < 0 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐴))))
21	5, 20	mtod 664	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ¬ (𝐴 · 𝐴) < 0)
22		lenlt 8095	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝐴) ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 · 𝐴) ↔ ¬ (𝐴 · 𝐴) < 0))
23	3, 2, 22	sylancr 414	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ (𝐴 · 𝐴) ↔ ¬ (𝐴 · 𝐴) < 0))
24	21, 23	mpbird 167	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ (𝐴 · 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709   ∧ w3a 980   ∈ wcel 2164   class class class wbr 4029  (class class class)co 5918  ℂcc 7870  ℝcr 7871  0cc0 7872   · cmul 7877   < clt 8054   ≤ cle 8055   # cap 8600

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601

This theorem is referenced by:  msqge0i  8636  msqge0d  8637  recexaplem2  8671  sqge0  10687  bernneq  10731