Theorem msqge0 8838

Description: A square is nonnegative. Lemma 2.35 of [Geuvers], p. 9. (Contributed by NM, 23-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
msqge0	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ (𝐴 · 𝐴))

Proof of Theorem msqge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		remulcl 8203	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐴) ∈ ℝ)
2	1	anidms 397	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 𝐴) ∈ ℝ)
3		0re 8222	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		ltnsym2 8312	. . . 4 ⊢ (((𝐴 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ¬ ((𝐴 · 𝐴) < 0 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐴)))
5	2, 3, 4	sylancl 413	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ¬ ((𝐴 · 𝐴) < 0 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐴)))
6		orc 720	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 · 𝐴) < 0 → ((𝐴 · 𝐴) < 0 ∨ 0 < (𝐴 · 𝐴)))
7		reaplt 8810	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝐴) # 0 ↔ ((𝐴 · 𝐴) < 0 ∨ 0 < (𝐴 · 𝐴))))
8	2, 3, 7	sylancl 413	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 · 𝐴) # 0 ↔ ((𝐴 · 𝐴) < 0 ∨ 0 < (𝐴 · 𝐴))))
9	6, 8	imbitrrid 156	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 · 𝐴) < 0 → (𝐴 · 𝐴) # 0))
10		recn 8208	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
11		mulap0r 8837	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐴) # 0) → (𝐴 # 0 ∧ 𝐴 # 0))
12	10, 11	syl3an1 1307	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐴) # 0) → (𝐴 # 0 ∧ 𝐴 # 0))
13	10, 12	syl3an2 1308	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝐴) # 0) → (𝐴 # 0 ∧ 𝐴 # 0))
14	13	simpld 112	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝐴) # 0) → 𝐴 # 0)
15	14	3expia 1232	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝐴) # 0 → 𝐴 # 0))
16	15	anidms 397	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 · 𝐴) # 0 → 𝐴 # 0))
17		apsqgt0 8823	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) → 0 < (𝐴 · 𝐴))
18	17	ex 115	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 # 0 → 0 < (𝐴 · 𝐴)))
19	9, 16, 18	3syld 57	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 · 𝐴) < 0 → 0 < (𝐴 · 𝐴)))
20	19	ancld 325	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 · 𝐴) < 0 → ((𝐴 · 𝐴) < 0 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐴))))
21	5, 20	mtod 669	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ¬ (𝐴 · 𝐴) < 0)
22		lenlt 8297	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝐴) ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 · 𝐴) ↔ ¬ (𝐴 · 𝐴) < 0))
23	3, 2, 22	sylancr 414	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ (𝐴 · 𝐴) ↔ ¬ (𝐴 · 𝐴) < 0))
24	21, 23	mpbird 167	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ (𝐴 · 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 716   ∧ w3a 1005   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4093  (class class class)co 6028  ℂcc 8073  ℝcr 8074  0cc0 8075   · cmul 8080   < clt 8256   ≤ cle 8257   # cap 8803

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192  ax-pre-mulext 8193

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-reap 8797  df-ap 8804

This theorem is referenced by:  msqge0i  8839  msqge0d  8840  recexaplem2  8874  sqge0  10924  bernneq  10968