ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ivthinclemlopn GIF version

Theorem ivthinclemlopn 13408
Description: Lemma for ivthinc 13415. The lower cut is open. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
ivth.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ivth.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ivth.3 (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
ivth.4 (𝜑𝐴 < 𝐵)
ivth.5 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
ivth.7 (𝜑𝐹 ∈ (𝐷cn→ℂ))
ivth.8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
ivth.9 (𝜑 → ((𝐹𝐴) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐵)))
ivthinc.i (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (𝐹𝑥) < (𝐹𝑦))
ivthinclem.l 𝐿 = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹𝑤) < 𝑈}
ivthinclem.r 𝑅 = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹𝑤)}
ivthinclemlopn.q (𝜑𝑄𝐿)
Assertion
Ref Expression
ivthinclemlopn (𝜑 → ∃𝑟𝐿 𝑄 < 𝑟)
Distinct variable groups:   𝑤,𝐴   𝑥,𝐴,𝑦   𝑤,𝐵   𝑥,𝐵,𝑦   𝑤,𝐹   𝑥,𝐹,𝑦   𝐿,𝑟   𝑄,𝑟   𝑤,𝑄   𝑥,𝑄,𝑦   𝑤,𝑈   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤,𝑟)   𝐴(𝑟)   𝐵(𝑟)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑤,𝑟)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑤,𝑟)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑟)   𝐹(𝑟)   𝐿(𝑥,𝑦,𝑤)

Proof of Theorem ivthinclemlopn
Dummy variables 𝑧 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ivth.7 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (𝐷cn→ℂ))
2 ivth.5 . . . 4 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
3 ivthinclemlopn.q . . . . . 6 (𝜑𝑄𝐿)
4 fveq2 5496 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑄 → (𝐹𝑤) = (𝐹𝑄))
54breq1d 3999 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑄 → ((𝐹𝑤) < 𝑈 ↔ (𝐹𝑄) < 𝑈))
6 ivthinclem.l . . . . . . 7 𝐿 = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹𝑤) < 𝑈}
75, 6elrab2 2889 . . . . . 6 (𝑄𝐿 ↔ (𝑄 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹𝑄) < 𝑈))
83, 7sylib 121 . . . . 5 (𝜑 → (𝑄 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹𝑄) < 𝑈))
98simpld 111 . . . 4 (𝜑𝑄 ∈ (𝐴[,]𝐵))
102, 9sseldd 3148 . . 3 (𝜑𝑄𝐷)
11 ivth.3 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
12 fveq2 5496 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑄 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑄))
1312eleq1d 2239 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑄 → ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹𝑄) ∈ ℝ))
14 ivth.8 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
1514ralrimiva 2543 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) ∈ ℝ)
1613, 15, 9rspcdva 2839 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝑄) ∈ ℝ)
1711, 16resubcld 8300 . . . 4 (𝜑 → (𝑈 − (𝐹𝑄)) ∈ ℝ)
188simprd 113 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝑄) < 𝑈)
1916, 11posdifd 8451 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹𝑄) < 𝑈 ↔ 0 < (𝑈 − (𝐹𝑄))))
2018, 19mpbid 146 . . . 4 (𝜑 → 0 < (𝑈 − (𝐹𝑄)))
2117, 20elrpd 9650 . . 3 (𝜑 → (𝑈 − (𝐹𝑄)) ∈ ℝ+)
22 cncfi 13359 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐷cn→ℂ) ∧ 𝑄𝐷 ∧ (𝑈 − (𝐹𝑄)) ∈ ℝ+) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑄)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑄))) < (𝑈 − (𝐹𝑄))))
231, 10, 21, 22syl3anc 1233 . 2 (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑄)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑄))) < (𝑈 − (𝐹𝑄))))
24 ivth.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
25 ivth.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
26 elicc2 9895 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑄 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑄 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑄𝑄𝐵)))
2724, 25, 26syl2anc 409 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑄 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑄 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑄𝑄𝐵)))
289, 27mpbid 146 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑄 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑄𝑄𝐵))
2928simp1d 1004 . . . . . . 7 (𝜑𝑄 ∈ ℝ)
3029adantr 274 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑄)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑄))) < (𝑈 − (𝐹𝑄))))) → 𝑄 ∈ ℝ)
31 simprl 526 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑄)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑄))) < (𝑈 − (𝐹𝑄))))) → 𝑑 ∈ ℝ+)
3231rphalfcld 9666 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑄)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑄))) < (𝑈 − (𝐹𝑄))))) → (𝑑 / 2) ∈ ℝ+)
3332rpred 9653 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑄)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑄))) < (𝑈 − (𝐹𝑄))))) → (𝑑 / 2) ∈ ℝ)
3430, 33readdcld 7949 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑄)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑄))) < (𝑈 − (𝐹𝑄))))) → (𝑄 + (𝑑 / 2)) ∈ ℝ)
3524adantr 274 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑄)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑄))) < (𝑈 − (𝐹𝑄))))) → 𝐴 ∈ ℝ)
3628simp2d 1005 . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝑄)
3736adantr 274 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑄)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑄))) < (𝑈 − (𝐹𝑄))))) → 𝐴𝑄)
3830, 32ltaddrpd 9687 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑄)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑄))) < (𝑈 − (𝐹𝑄))))) → 𝑄 < (𝑄 + (𝑑 / 2)))
3930, 34, 38ltled 8038 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑄)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑄))) < (𝑈 − (𝐹𝑄))))) → 𝑄 ≤ (𝑄 + (𝑑 / 2)))
4035, 30, 34, 37, 39letrd 8043 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑄)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑄))) < (𝑈 − (𝐹𝑄))))) → 𝐴 ≤ (𝑄 + (𝑑 / 2)))
4125adantr 274 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑄)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑄))) < (𝑈 − (𝐹𝑄))))) → 𝐵 ∈ ℝ)
4231rpred 9653 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑄)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑄))) < (𝑈 − (𝐹𝑄))))) → 𝑑 ∈ ℝ)
4330, 42readdcld 7949 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑄)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑄))) < (𝑈 − (𝐹𝑄))))) → (𝑄 + 𝑑) ∈ ℝ)
44 rphalflt 9640 . . . . . . . . 9 (𝑑 ∈ ℝ+ → (𝑑 / 2) < 𝑑)
4531, 44syl 14 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑄)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑄))) < (𝑈 − (𝐹𝑄))))) → (𝑑 / 2) < 𝑑)
4633, 42, 30, 45ltadd2dd 8341 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑄)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑄))) < (𝑈 − (𝐹𝑄))))) → (𝑄 + (𝑑 / 2)) < (𝑄 + 𝑑))
4729ad2antrr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑄)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑄))) < (𝑈 − (𝐹𝑄))))) ∧ 𝐵 < (𝑄 + 𝑑)) → 𝑄 ∈ ℝ)
4831adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑄)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑄))) < (𝑈 − (𝐹𝑄))))) ∧ 𝐵 < (𝑄 + 𝑑)) → 𝑑 ∈ ℝ+)
4948rpred 9653 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑄)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑄))) < (𝑈 − (𝐹𝑄))))) ∧ 𝐵 < (𝑄 + 𝑑)) → 𝑑 ∈ ℝ)
5047, 49resubcld 8300 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑄)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑄))) < (𝑈 − (𝐹𝑄))))) ∧ 𝐵 < (𝑄 + 𝑑)) → (𝑄𝑑) ∈ ℝ)
5125ad2antrr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑄)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑄))) < (𝑈 − (𝐹𝑄))))) ∧ 𝐵 < (𝑄 + 𝑑)) → 𝐵 ∈ ℝ)
5247, 48ltsubrpd 9686 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑄)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑄))) < (𝑈 − (𝐹𝑄))))) ∧ 𝐵 < (𝑄 + 𝑑)) → (𝑄𝑑) < 𝑄)
5328simp3d 1006 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑄𝐵)
5453ad2antrr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑄)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑄))) < (𝑈 − (𝐹𝑄))))) ∧ 𝐵 < (𝑄 + 𝑑)) → 𝑄𝐵)
5550, 47, 51, 52, 54ltletrd 8342 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑄)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑄))) < (𝑈 − (𝐹𝑄))))) ∧ 𝐵 < (𝑄 + 𝑑)) → (𝑄𝑑) < 𝐵)
56 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑄)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑄))) < (𝑈 − (𝐹𝑄))))) ∧ 𝐵 < (𝑄 + 𝑑)) → 𝐵 < (𝑄 + 𝑑))
5751, 47, 49absdifltd 11142 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑄)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑄))) < (𝑈 − (𝐹𝑄))))) ∧ 𝐵 < (𝑄 + 𝑑)) → ((abs‘(𝐵𝑄)) < 𝑑 ↔ ((𝑄𝑑) < 𝐵𝐵 < (𝑄 + 𝑑))))
5855, 56, 57mpbir2and 939 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑄)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑄))) < (𝑈 − (𝐹𝑄))))) ∧ 𝐵 < (𝑄 + 𝑑)) → (abs‘(𝐵𝑄)) < 𝑑)
59 fvoveq1 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = 𝐵 → (abs‘(𝑧𝑄)) = (abs‘(𝐵𝑄)))
6059breq1d 3999 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = 𝐵 → ((abs‘(𝑧𝑄)) < 𝑑 ↔ (abs‘(𝐵𝑄)) < 𝑑))
6160imbrov2fvoveq 5878 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = 𝐵 → (((abs‘(𝑧𝑄)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑄))) < (𝑈 − (𝐹𝑄))) ↔ ((abs‘(𝐵𝑄)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝐵) − (𝐹𝑄))) < (𝑈 − (𝐹𝑄)))))
62 simplrr 531 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑄)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑄))) < (𝑈 − (𝐹𝑄))))) ∧ 𝐵 < (𝑄 + 𝑑)) → ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑄)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑄))) < (𝑈 − (𝐹𝑄))))
6324rexrd 7969 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
6425rexrd 7969 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
65 ivth.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐴 < 𝐵)
6624, 25, 65ltled 8038 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐴𝐵)
67 ubicc2 9942 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
6863, 64, 66, 67syl3anc 1233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
692, 68sseldd 3148 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐵𝐷)
7069ad2antrr 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑄)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑄))) < (𝑈 − (𝐹𝑄))))) ∧ 𝐵 < (𝑄 + 𝑑)) → 𝐵𝐷)
7161, 62, 70rspcdva 2839 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑄)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑄))) < (𝑈 − (𝐹𝑄))))) ∧ 𝐵 < (𝑄 + 𝑑)) → ((abs‘(𝐵𝑄)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝐵) − (𝐹𝑄))) < (𝑈 − (𝐹𝑄))))
7258, 71mpd 13 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑄)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑄))) < (𝑈 − (𝐹𝑄))))) ∧ 𝐵 < (𝑄 + 𝑑)) → (abs‘((𝐹𝐵) − (𝐹𝑄))) < (𝑈 − (𝐹𝑄)))
73 fveq2 5496 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝐵 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝐵))
7473eleq1d 2239 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝐵 → ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹𝐵) ∈ ℝ))
7515adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑄)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑄))) < (𝑈 − (𝐹𝑄))))) → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) ∈ ℝ)
7668adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑄)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑄))) < (𝑈 − (𝐹𝑄))))) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
7774, 75, 76rspcdva 2839 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑄)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑄))) < (𝑈 − (𝐹𝑄))))) → (𝐹𝐵) ∈ ℝ)
7877adantr 274 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑄)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑄))) < (𝑈 − (𝐹𝑄))))) ∧ 𝐵 < (𝑄 + 𝑑)) → (𝐹𝐵) ∈ ℝ)
7916ad2antrr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑄)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑄))) < (𝑈 − (𝐹𝑄))))) ∧ 𝐵 < (𝑄 + 𝑑)) → (𝐹𝑄) ∈ ℝ)
8017ad2antrr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑄)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑄))) < (𝑈 − (𝐹𝑄))))) ∧ 𝐵 < (𝑄 + 𝑑)) → (𝑈 − (𝐹𝑄)) ∈ ℝ)
8178, 79, 80absdifltd 11142 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑄)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑄))) < (𝑈 − (𝐹𝑄))))) ∧ 𝐵 < (𝑄 + 𝑑)) → ((abs‘((𝐹𝐵) − (𝐹𝑄))) < (𝑈 − (𝐹𝑄)) ↔ (((𝐹𝑄) − (𝑈 − (𝐹𝑄))) < (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝐵) < ((𝐹𝑄) + (𝑈 − (𝐹𝑄))))))
8272, 81mpbid 146 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑄)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑄))) < (𝑈 − (𝐹𝑄))))) ∧ 𝐵 < (𝑄 + 𝑑)) → (((𝐹𝑄) − (𝑈 − (𝐹𝑄))) < (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝐵) < ((𝐹𝑄) + (𝑈 − (𝐹𝑄)))))
8382simprd 113 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑄)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑄))) < (𝑈 − (𝐹𝑄))))) ∧ 𝐵 < (𝑄 + 𝑑)) → (𝐹𝐵) < ((𝐹𝑄) + (𝑈 − (𝐹𝑄))))
8479recnd 7948 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑄)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑄))) < (𝑈 − (𝐹𝑄))))) ∧ 𝐵 < (𝑄 + 𝑑)) → (𝐹𝑄) ∈ ℂ)
8511recnd 7948 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑈 ∈ ℂ)
8685ad2antrr 485 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑄)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑄))) < (𝑈 − (𝐹𝑄))))) ∧ 𝐵 < (𝑄 + 𝑑)) → 𝑈 ∈ ℂ)
8784, 86pncan3d 8233 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑄)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑄))) < (𝑈 − (𝐹𝑄))))) ∧ 𝐵 < (𝑄 + 𝑑)) → ((𝐹𝑄) + (𝑈 − (𝐹𝑄))) = 𝑈)
8883, 87breqtrd 4015 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑄)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑄))) < (𝑈 − (𝐹𝑄))))) ∧ 𝐵 < (𝑄 + 𝑑)) → (𝐹𝐵) < 𝑈)
89 ivth.9 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐹𝐴) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐵)))
9089simprd 113 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈 < (𝐹𝐵))
9190ad2antrr 485 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑄)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑄))) < (𝑈 − (𝐹𝑄))))) ∧ 𝐵 < (𝑄 + 𝑑)) → 𝑈 < (𝐹𝐵))
9288, 91jca 304 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑄)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑄))) < (𝑈 − (𝐹𝑄))))) ∧ 𝐵 < (𝑄 + 𝑑)) → ((𝐹𝐵) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐵)))
9311ad2antrr 485 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑄)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑄))) < (𝑈 − (𝐹𝑄))))) ∧ 𝐵 < (𝑄 + 𝑑)) → 𝑈 ∈ ℝ)
94 ltnsym2 8010 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ) → ¬ ((𝐹𝐵) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐵)))
9578, 93, 94syl2anc 409 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑄)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑄))) < (𝑈 − (𝐹𝑄))))) ∧ 𝐵 < (𝑄 + 𝑑)) → ¬ ((𝐹𝐵) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐵)))
9692, 95pm2.65da 656 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑄)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑄))) < (𝑈 − (𝐹𝑄))))) → ¬ 𝐵 < (𝑄 + 𝑑))
9743, 41, 96nltled 8040 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑄)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑄))) < (𝑈 − (𝐹𝑄))))) → (𝑄 + 𝑑) ≤ 𝐵)
9834, 43, 41, 46, 97ltletrd 8342 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑄)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑄))) < (𝑈 − (𝐹𝑄))))) → (𝑄 + (𝑑 / 2)) < 𝐵)
9934, 41, 98ltled 8038 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑄)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑄))) < (𝑈 − (𝐹𝑄))))) → (𝑄 + (𝑑 / 2)) ≤ 𝐵)
100 elicc2 9895 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑄 + (𝑑 / 2)) ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ ((𝑄 + (𝑑 / 2)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ (𝑄 + (𝑑 / 2)) ∧ (𝑄 + (𝑑 / 2)) ≤ 𝐵)))
10135, 41, 100syl2anc 409 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑄)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑄))) < (𝑈 − (𝐹𝑄))))) → ((𝑄 + (𝑑 / 2)) ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ ((𝑄 + (𝑑 / 2)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ (𝑄 + (𝑑 / 2)) ∧ (𝑄 + (𝑑 / 2)) ≤ 𝐵)))
10234, 40, 99, 101mpbir3and 1175 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑄)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑄))) < (𝑈 − (𝐹𝑄))))) → (𝑄 + (𝑑 / 2)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
10316adantr 274 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑄)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑄))) < (𝑈 − (𝐹𝑄))))) → (𝐹𝑄) ∈ ℝ)
104 fveq2 5496 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑄 + (𝑑 / 2)) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘(𝑄 + (𝑑 / 2))))
105104eleq1d 2239 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑄 + (𝑑 / 2)) → ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘(𝑄 + (𝑑 / 2))) ∈ ℝ))
106105, 75, 102rspcdva 2839 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑄)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑄))) < (𝑈 − (𝐹𝑄))))) → (𝐹‘(𝑄 + (𝑑 / 2))) ∈ ℝ)
107 breq2 3993 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝑄 + (𝑑 / 2)) → (𝑄 < 𝑦𝑄 < (𝑄 + (𝑑 / 2))))
108 fveq2 5496 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (𝑄 + (𝑑 / 2)) → (𝐹𝑦) = (𝐹‘(𝑄 + (𝑑 / 2))))
109108breq2d 4001 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝑄 + (𝑑 / 2)) → ((𝐹𝑄) < (𝐹𝑦) ↔ (𝐹𝑄) < (𝐹‘(𝑄 + (𝑑 / 2)))))
110107, 109imbi12d 233 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝑄 + (𝑑 / 2)) → ((𝑄 < 𝑦 → (𝐹𝑄) < (𝐹𝑦)) ↔ (𝑄 < (𝑄 + (𝑑 / 2)) → (𝐹𝑄) < (𝐹‘(𝑄 + (𝑑 / 2))))))
111 breq1 3992 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑄 → (𝑥 < 𝑦𝑄 < 𝑦))
11212breq1d 3999 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑄 → ((𝐹𝑥) < (𝐹𝑦) ↔ (𝐹𝑄) < (𝐹𝑦)))
113111, 112imbi12d 233 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑄 → ((𝑥 < 𝑦 → (𝐹𝑥) < (𝐹𝑦)) ↔ (𝑄 < 𝑦 → (𝐹𝑄) < (𝐹𝑦))))
114113ralbidv 2470 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑄 → (∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑥 < 𝑦 → (𝐹𝑥) < (𝐹𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑄 < 𝑦 → (𝐹𝑄) < (𝐹𝑦))))
115 ivthinc.i . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (𝐹𝑥) < (𝐹𝑦))
116115expr 373 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑥 < 𝑦 → (𝐹𝑥) < (𝐹𝑦)))
117116ralrimiva 2543 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑥 < 𝑦 → (𝐹𝑥) < (𝐹𝑦)))
118117ralrimiva 2543 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑥 < 𝑦 → (𝐹𝑥) < (𝐹𝑦)))
119114, 118, 9rspcdva 2839 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑄 < 𝑦 → (𝐹𝑄) < (𝐹𝑦)))
120119adantr 274 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑄)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑄))) < (𝑈 − (𝐹𝑄))))) → ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑄 < 𝑦 → (𝐹𝑄) < (𝐹𝑦)))
121110, 120, 102rspcdva 2839 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑄)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑄))) < (𝑈 − (𝐹𝑄))))) → (𝑄 < (𝑄 + (𝑑 / 2)) → (𝐹𝑄) < (𝐹‘(𝑄 + (𝑑 / 2)))))
12238, 121mpd 13 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑄)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑄))) < (𝑈 − (𝐹𝑄))))) → (𝐹𝑄) < (𝐹‘(𝑄 + (𝑑 / 2))))
123103, 106, 122ltled 8038 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑄)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑄))) < (𝑈 − (𝐹𝑄))))) → (𝐹𝑄) ≤ (𝐹‘(𝑄 + (𝑑 / 2))))
124103, 106, 123abssubge0d 11140 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑄)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑄))) < (𝑈 − (𝐹𝑄))))) → (abs‘((𝐹‘(𝑄 + (𝑑 / 2))) − (𝐹𝑄))) = ((𝐹‘(𝑄 + (𝑑 / 2))) − (𝐹𝑄)))
12530recnd 7948 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑄)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑄))) < (𝑈 − (𝐹𝑄))))) → 𝑄 ∈ ℂ)
12633recnd 7948 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑄)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑄))) < (𝑈 − (𝐹𝑄))))) → (𝑑 / 2) ∈ ℂ)
127125, 126pncan2d 8232 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑄)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑄))) < (𝑈 − (𝐹𝑄))))) → ((𝑄 + (𝑑 / 2)) − 𝑄) = (𝑑 / 2))
128127fveq2d 5500 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑄)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑄))) < (𝑈 − (𝐹𝑄))))) → (abs‘((𝑄 + (𝑑 / 2)) − 𝑄)) = (abs‘(𝑑 / 2)))
12932rpge0d 9657 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑄)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑄))) < (𝑈 − (𝐹𝑄))))) → 0 ≤ (𝑑 / 2))
13033, 129absidd 11131 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑄)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑄))) < (𝑈 − (𝐹𝑄))))) → (abs‘(𝑑 / 2)) = (𝑑 / 2))
131128, 130eqtrd 2203 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑄)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑄))) < (𝑈 − (𝐹𝑄))))) → (abs‘((𝑄 + (𝑑 / 2)) − 𝑄)) = (𝑑 / 2))
132131, 45eqbrtrd 4011 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑄)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑄))) < (𝑈 − (𝐹𝑄))))) → (abs‘((𝑄 + (𝑑 / 2)) − 𝑄)) < 𝑑)
133 fvoveq1 5876 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = (𝑄 + (𝑑 / 2)) → (abs‘(𝑧𝑄)) = (abs‘((𝑄 + (𝑑 / 2)) − 𝑄)))
134133breq1d 3999 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (𝑄 + (𝑑 / 2)) → ((abs‘(𝑧𝑄)) < 𝑑 ↔ (abs‘((𝑄 + (𝑑 / 2)) − 𝑄)) < 𝑑))
135134imbrov2fvoveq 5878 . . . . . . . 8 (𝑧 = (𝑄 + (𝑑 / 2)) → (((abs‘(𝑧𝑄)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑄))) < (𝑈 − (𝐹𝑄))) ↔ ((abs‘((𝑄 + (𝑑 / 2)) − 𝑄)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘(𝑄 + (𝑑 / 2))) − (𝐹𝑄))) < (𝑈 − (𝐹𝑄)))))
136 simprr 527 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑄)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑄))) < (𝑈 − (𝐹𝑄))))) → ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑄)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑄))) < (𝑈 − (𝐹𝑄))))
1372adantr 274 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑄)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑄))) < (𝑈 − (𝐹𝑄))))) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
138137, 102sseldd 3148 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑄)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑄))) < (𝑈 − (𝐹𝑄))))) → (𝑄 + (𝑑 / 2)) ∈ 𝐷)
139135, 136, 138rspcdva 2839 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑄)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑄))) < (𝑈 − (𝐹𝑄))))) → ((abs‘((𝑄 + (𝑑 / 2)) − 𝑄)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘(𝑄 + (𝑑 / 2))) − (𝐹𝑄))) < (𝑈 − (𝐹𝑄))))
140132, 139mpd 13 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑄)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑄))) < (𝑈 − (𝐹𝑄))))) → (abs‘((𝐹‘(𝑄 + (𝑑 / 2))) − (𝐹𝑄))) < (𝑈 − (𝐹𝑄)))
141124, 140eqbrtrrd 4013 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑄)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑄))) < (𝑈 − (𝐹𝑄))))) → ((𝐹‘(𝑄 + (𝑑 / 2))) − (𝐹𝑄)) < (𝑈 − (𝐹𝑄)))
14211adantr 274 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑄)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑄))) < (𝑈 − (𝐹𝑄))))) → 𝑈 ∈ ℝ)
143106, 142, 103ltsub1d 8473 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑄)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑄))) < (𝑈 − (𝐹𝑄))))) → ((𝐹‘(𝑄 + (𝑑 / 2))) < 𝑈 ↔ ((𝐹‘(𝑄 + (𝑑 / 2))) − (𝐹𝑄)) < (𝑈 − (𝐹𝑄))))
144141, 143mpbird 166 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑄)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑄))) < (𝑈 − (𝐹𝑄))))) → (𝐹‘(𝑄 + (𝑑 / 2))) < 𝑈)
145 fveq2 5496 . . . . . 6 (𝑤 = (𝑄 + (𝑑 / 2)) → (𝐹𝑤) = (𝐹‘(𝑄 + (𝑑 / 2))))
146145breq1d 3999 . . . . 5 (𝑤 = (𝑄 + (𝑑 / 2)) → ((𝐹𝑤) < 𝑈 ↔ (𝐹‘(𝑄 + (𝑑 / 2))) < 𝑈))
147146, 6elrab2 2889 . . . 4 ((𝑄 + (𝑑 / 2)) ∈ 𝐿 ↔ ((𝑄 + (𝑑 / 2)) ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹‘(𝑄 + (𝑑 / 2))) < 𝑈))
148102, 144, 147sylanbrc 415 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑄)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑄))) < (𝑈 − (𝐹𝑄))))) → (𝑄 + (𝑑 / 2)) ∈ 𝐿)
149 breq2 3993 . . . 4 (𝑟 = (𝑄 + (𝑑 / 2)) → (𝑄 < 𝑟𝑄 < (𝑄 + (𝑑 / 2))))
150149rspcev 2834 . . 3 (((𝑄 + (𝑑 / 2)) ∈ 𝐿𝑄 < (𝑄 + (𝑑 / 2))) → ∃𝑟𝐿 𝑄 < 𝑟)
151148, 38, 150syl2anc 409 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑄)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑄))) < (𝑈 − (𝐹𝑄))))) → ∃𝑟𝐿 𝑄 < 𝑟)
15223, 151rexlimddv 2592 1 (𝜑 → ∃𝑟𝐿 𝑄 < 𝑟)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104  w3a 973   = wceq 1348  wcel 2141  wral 2448  wrex 2449  {crab 2452  wss 3121   class class class wbr 3989  cfv 5198  (class class class)co 5853  cc 7772  cr 7773  0cc0 7774   + caddc 7777  *cxr 7953   < clt 7954  cle 7955  cmin 8090   / cdiv 8589  2c2 8929  +crp 9610  [,]cicc 9848  abscabs 10961  cnccncf 13351
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-map 6628  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-rp 9611  df-icc 9852  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-cncf 13352
This theorem is referenced by:  ivthinclemlr  13409
  Copyright terms: Public domain W3C validator