Theorem ltletr 8182

Description: Transitive law. Part of Definition 11.2.7(vi) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by NM, 25-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ltletr	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))

Proof of Theorem ltletr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprr 531	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)) → 𝐵 ≤ 𝐶)
2		simpl2 1004	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ)
3		simpl3 1005	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)) → 𝐶 ∈ ℝ)
4		lenlt 8168	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ 𝐶 ↔ ¬ 𝐶 < 𝐵))
5	2, 3, 4	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)) → (𝐵 ≤ 𝐶 ↔ ¬ 𝐶 < 𝐵))
6	1, 5	mpbid 147	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)) → ¬ 𝐶 < 𝐵)
7		simprl 529	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)) → 𝐴 < 𝐵)
8		axltwlin 8160	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → (𝐴 < 𝐶 ∨ 𝐶 < 𝐵)))
9	8	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)) → (𝐴 < 𝐵 → (𝐴 < 𝐶 ∨ 𝐶 < 𝐵)))
10	7, 9	mpd 13	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)) → (𝐴 < 𝐶 ∨ 𝐶 < 𝐵))
11	6, 10	ecased 1362	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)) → 𝐴 < 𝐶)
12	11	ex 115	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 710   ∧ w3a 981   ∈ wcel 2177   class class class wbr 4051  ℝcr 7944   < clt 8127   ≤ cle 8128

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-pre-ltwlin 8058

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-rab 2494  df-v 2775  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-br 4052  df-opab 4114  df-xp 4689  df-cnv 4691  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-xr 8131  df-ltxr 8132  df-le 8133

This theorem is referenced by:  ltletri  8199  ltletrd  8516  ltleadd  8539  nngt0  9081  nnrecgt0  9094  elnnnn0c  9360  elnnz1  9415  zltp1le  9447  uz3m2nn  9714  ledivge1le  9868  addlelt  9910  zltaddlt1le  10149  elfz1b  10232  elfzodifsumelfzo  10352  ssfzo12bi  10376  swrdswrd  11181  cos01gt0  12149  oddge22np1  12267  nn0seqcvgd  12438  coprm  12541  logdivlti  15428  gausslemma2dlem1a  15610