ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltletr GIF version

Theorem ltletr 7873
Description: Transitive law. Part of Definition 11.2.7(vi) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by NM, 25-Aug-1999.)
Assertion
Ref Expression
ltletr ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) → 𝐴 < 𝐶))

Proof of Theorem ltletr
StepHypRef Expression
1 simprr 522 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵𝐶)) → 𝐵𝐶)
2 simpl2 986 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ)
3 simpl3 987 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵𝐶)) → 𝐶 ∈ ℝ)
4 lenlt 7860 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵𝐶 ↔ ¬ 𝐶 < 𝐵))
52, 3, 4syl2anc 409 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵𝐶)) → (𝐵𝐶 ↔ ¬ 𝐶 < 𝐵))
61, 5mpbid 146 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵𝐶)) → ¬ 𝐶 < 𝐵)
7 simprl 521 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵𝐶)) → 𝐴 < 𝐵)
8 axltwlin 7852 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)))
98adantr 274 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵𝐶)) → (𝐴 < 𝐵 → (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)))
107, 9mpd 13 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵𝐶)) → (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵))
116, 10ecased 1328 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵𝐶)) → 𝐴 < 𝐶)
1211ex 114 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104  wo 698  w3a 963  wcel 1481   class class class wbr 3933  cr 7639   < clt 7820  cle 7821
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4050  ax-pow 4102  ax-pr 4135  ax-un 4359  ax-setind 4456  ax-cnex 7731  ax-resscn 7732  ax-pre-ltwlin 7753
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2689  df-dif 3074  df-un 3076  df-in 3078  df-ss 3085  df-pw 3513  df-sn 3534  df-pr 3535  df-op 3537  df-uni 3741  df-br 3934  df-opab 3994  df-xp 4549  df-cnv 4551  df-pnf 7822  df-mnf 7823  df-xr 7824  df-ltxr 7825  df-le 7826
This theorem is referenced by:  ltletri  7890  ltletrd  8205  ltleadd  8228  nngt0  8765  nnrecgt0  8778  elnnnn0c  9042  elnnz1  9097  zltp1le  9128  uz3m2nn  9391  ledivge1le  9539  addlelt  9581  zltaddlt1le  9816  elfz1b  9897  elfzodifsumelfzo  10005  ssfzo12bi  10029  cos01gt0  11496  oddge22np1  11605  nn0seqcvgd  11749  coprm  11849  logdivlti  13001
  Copyright terms: Public domain W3C validator