ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  numnncl GIF version

Theorem numnncl 9203
Description: Closure for a numeral (with units place). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
numnncl.1 𝑇 ∈ ℕ0
numnncl.2 𝐴 ∈ ℕ0
numnncl.3 𝐵 ∈ ℕ
Assertion
Ref Expression
numnncl ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℕ

Proof of Theorem numnncl
StepHypRef Expression
1 numnncl.1 . . 3 𝑇 ∈ ℕ0
2 numnncl.2 . . 3 𝐴 ∈ ℕ0
31, 2nn0mulcli 9027 . 2 (𝑇 · 𝐴) ∈ ℕ0
4 numnncl.3 . 2 𝐵 ∈ ℕ
5 nn0nnaddcl 9020 . 2 (((𝑇 · 𝐴) ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℕ)
63, 4, 5mp2an 422 1 ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℕ
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wcel 1480  (class class class)co 5774   + caddc 7635   · cmul 7637  cn 8732  0cn0 8989
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-setind 4452  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-addcom 7732  ax-mulcom 7733  ax-addass 7734  ax-mulass 7735  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-1rid 7739  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-cnre 7743
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-sub 7947  df-inn 8733  df-n0 8990
This theorem is referenced by:  decnncl  9213
  Copyright terms: Public domain W3C validator