Theorem numnncl 9620

Description: Closure for a numeral (with units place). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
numnncl.1	⊢ 𝑇 ∈ ℕ0
numnncl.2	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
numnncl.3	⊢ 𝐵 ∈ ℕ

Assertion

Ref	Expression
numnncl	⊢ ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℕ

Proof of Theorem numnncl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		numnncl.1	. . 3 ⊢ 𝑇 ∈ ℕ0
2		numnncl.2	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
3	1, 2	nn0mulcli 9440	. 2 ⊢ (𝑇 · 𝐴) ∈ ℕ0
4		numnncl.3	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ
5		nn0nnaddcl 9433	. 2 ⊢ (((𝑇 · 𝐴) ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℕ)
6	3, 4, 5	mp2an 426	1 ⊢ ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2202  (class class class)co 6018   + caddc 8035   · cmul 8037  ℕcn 9143  ℕ₀cn0 9402

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-sub 8352  df-inn 9144  df-n0 9403

This theorem is referenced by:  decnncl  9630