ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  0mnnnnn0 GIF version

Theorem 0mnnnnn0 9239
Description: The result of subtracting a positive integer from 0 is not a nonnegative integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
0mnnnnn0 (𝑁 ∈ ℕ → (0 − 𝑁) ∉ ℕ0)

Proof of Theorem 0mnnnnn0
StepHypRef Expression
1 0re 7988 . . 3 0 ∈ ℝ
2 df-neg 8162 . . . . . 6 -𝑁 = (0 − 𝑁)
32eqcomi 2193 . . . . 5 (0 − 𝑁) = -𝑁
43eleq1i 2255 . . . 4 ((0 − 𝑁) ∈ ℕ0 ↔ -𝑁 ∈ ℕ0)
5 nn0ge0 9232 . . . . 5 (-𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ -𝑁)
6 nnre 8957 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
76le0neg1d 8505 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝑁))
8 nngt0 8975 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
9 0red 7989 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ)
106, 9lenltd 8106 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≤ 0 ↔ ¬ 0 < 𝑁))
11 pm2.21 618 . . . . . . . 8 (¬ 0 < 𝑁 → (0 < 𝑁 → ¬ 0 ∈ ℝ))
1210, 11biimtrdi 163 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≤ 0 → (0 < 𝑁 → ¬ 0 ∈ ℝ)))
138, 12mpid 42 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≤ 0 → ¬ 0 ∈ ℝ))
147, 13sylbird 170 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (0 ≤ -𝑁 → ¬ 0 ∈ ℝ))
155, 14syl5 32 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (-𝑁 ∈ ℕ0 → ¬ 0 ∈ ℝ))
164, 15biimtrid 152 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ((0 − 𝑁) ∈ ℕ0 → ¬ 0 ∈ ℝ))
171, 16mt2i 645 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ¬ (0 − 𝑁) ∈ ℕ0)
18 df-nel 2456 . 2 ((0 − 𝑁) ∉ ℕ0 ↔ ¬ (0 − 𝑁) ∈ ℕ0)
1917, 18sylibr 134 1 (𝑁 ∈ ℕ → (0 − 𝑁) ∉ ℕ0)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wcel 2160  wnel 2455   class class class wbr 4018  (class class class)co 5897  cr 7841  0cc0 7842   < clt 8023  cle 8024  cmin 8159  -cneg 8160  cn 8950  0cn0 9207
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-addcom 7942  ax-addass 7944  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-cnre 7953  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-ltwlin 7955  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-ltadd 7958
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-sub 8161  df-neg 8162  df-inn 8951  df-n0 9208
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator