Theorem 0mnnnnn0 9412

Description: The result of subtracting a positive integer from 0 is not a nonnegative integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
0mnnnnn0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0 − 𝑁) ∉ ℕ0)

Proof of Theorem 0mnnnnn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 8157	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		df-neg 8331	. . . . . 6 ⊢ -𝑁 = (0 − 𝑁)
3	2	eqcomi 2233	. . . . 5 ⊢ (0 − 𝑁) = -𝑁
4	3	eleq1i 2295	. . . 4 ⊢ ((0 − 𝑁) ∈ ℕ0 ↔ -𝑁 ∈ ℕ0)
5		nn0ge0 9405	. . . . 5 ⊢ (-𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ -𝑁)
6		nnre 9128	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
7	6	le0neg1d 8675	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝑁))
8		nngt0 9146	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
9		0red 8158	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ)
10	6, 9	lenltd 8275	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≤ 0 ↔ ¬ 0 < 𝑁))
11		pm2.21 620	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 0 < 𝑁 → (0 < 𝑁 → ¬ 0 ∈ ℝ))
12	10, 11	biimtrdi 163	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≤ 0 → (0 < 𝑁 → ¬ 0 ∈ ℝ)))
13	8, 12	mpid 42	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≤ 0 → ¬ 0 ∈ ℝ))
14	7, 13	sylbird 170	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0 ≤ -𝑁 → ¬ 0 ∈ ℝ))
15	5, 14	syl5 32	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (-𝑁 ∈ ℕ0 → ¬ 0 ∈ ℝ))
16	4, 15	biimtrid 152	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((0 − 𝑁) ∈ ℕ0 → ¬ 0 ∈ ℝ))
17	1, 16	mt2i 647	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ¬ (0 − 𝑁) ∈ ℕ0)
18		df-nel 2496	. 2 ⊢ ((0 − 𝑁) ∉ ℕ0 ↔ ¬ (0 − 𝑁) ∈ ℕ0)
19	17, 18	sylibr 134	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0 − 𝑁) ∉ ℕ0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2200   ∉ wnel 2495   class class class wbr 4083  (class class class)co 6007  ℝcr 8009  0cc0 8010   < clt 8192   ≤ cle 8193   − cmin 8328  -cneg 8329  ℕcn 9121  ℕ₀cn0 9380

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-addcom 8110  ax-addass 8112  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-ltadd 8126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-inn 9122  df-n0 9381

This theorem is referenced by: (None)