Theorem 0mnnnnn0 9146

Description: The result of subtracting a positive integer from 0 is not a nonnegative integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
0mnnnnn0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0 − 𝑁) ∉ ℕ0)

Proof of Theorem 0mnnnnn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 7899	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		df-neg 8072	. . . . . 6 ⊢ -𝑁 = (0 − 𝑁)
3	2	eqcomi 2169	. . . . 5 ⊢ (0 − 𝑁) = -𝑁
4	3	eleq1i 2232	. . . 4 ⊢ ((0 − 𝑁) ∈ ℕ0 ↔ -𝑁 ∈ ℕ0)
5		nn0ge0 9139	. . . . 5 ⊢ (-𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ -𝑁)
6		nnre 8864	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
7	6	le0neg1d 8415	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝑁))
8		nngt0 8882	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
9		0red 7900	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ)
10	6, 9	lenltd 8016	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≤ 0 ↔ ¬ 0 < 𝑁))
11		pm2.21 607	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 0 < 𝑁 → (0 < 𝑁 → ¬ 0 ∈ ℝ))
12	10, 11	syl6bi 162	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≤ 0 → (0 < 𝑁 → ¬ 0 ∈ ℝ)))
13	8, 12	mpid 42	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≤ 0 → ¬ 0 ∈ ℝ))
14	7, 13	sylbird 169	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0 ≤ -𝑁 → ¬ 0 ∈ ℝ))
15	5, 14	syl5 32	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (-𝑁 ∈ ℕ0 → ¬ 0 ∈ ℝ))
16	4, 15	syl5bi 151	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((0 − 𝑁) ∈ ℕ0 → ¬ 0 ∈ ℝ))
17	1, 16	mt2i 634	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ¬ (0 − 𝑁) ∈ ℕ0)
18		df-nel 2432	. 2 ⊢ ((0 − 𝑁) ∉ ℕ0 ↔ ¬ (0 − 𝑁) ∈ ℕ0)
19	17, 18	sylibr 133	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0 − 𝑁) ∉ ℕ0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2136   ∉ wnel 2431   class class class wbr 3982  (class class class)co 5842  ℝcr 7752  0cc0 7753   < clt 7933   ≤ cle 7934   − cmin 8069  -cneg 8070  ℕcn 8857  ℕ₀cn0 9114

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-addcom 7853  ax-addass 7855  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-ltadd 7869

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-inn 8858  df-n0 9115

This theorem is referenced by: (None)