ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  0mnnnnn0 GIF version

Theorem 0mnnnnn0 8963
Description: The result of subtracting a positive integer from 0 is not a nonnegative integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
0mnnnnn0 (𝑁 ∈ ℕ → (0 − 𝑁) ∉ ℕ0)

Proof of Theorem 0mnnnnn0
StepHypRef Expression
1 0re 7730 . . 3 0 ∈ ℝ
2 df-neg 7900 . . . . . 6 -𝑁 = (0 − 𝑁)
32eqcomi 2119 . . . . 5 (0 − 𝑁) = -𝑁
43eleq1i 2181 . . . 4 ((0 − 𝑁) ∈ ℕ0 ↔ -𝑁 ∈ ℕ0)
5 nn0ge0 8956 . . . . 5 (-𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ -𝑁)
6 nnre 8687 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
76le0neg1d 8243 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝑁))
8 nngt0 8705 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
9 0red 7731 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ)
106, 9lenltd 7844 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≤ 0 ↔ ¬ 0 < 𝑁))
11 pm2.21 589 . . . . . . . 8 (¬ 0 < 𝑁 → (0 < 𝑁 → ¬ 0 ∈ ℝ))
1210, 11syl6bi 162 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≤ 0 → (0 < 𝑁 → ¬ 0 ∈ ℝ)))
138, 12mpid 42 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≤ 0 → ¬ 0 ∈ ℝ))
147, 13sylbird 169 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (0 ≤ -𝑁 → ¬ 0 ∈ ℝ))
155, 14syl5 32 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (-𝑁 ∈ ℕ0 → ¬ 0 ∈ ℝ))
164, 15syl5bi 151 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ((0 − 𝑁) ∈ ℕ0 → ¬ 0 ∈ ℝ))
171, 16mt2i 616 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ¬ (0 − 𝑁) ∈ ℕ0)
18 df-nel 2379 . 2 ((0 − 𝑁) ∉ ℕ0 ↔ ¬ (0 − 𝑁) ∈ ℕ0)
1917, 18sylibr 133 1 (𝑁 ∈ ℕ → (0 − 𝑁) ∉ ℕ0)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wcel 1463  wnel 2378   class class class wbr 3897  (class class class)co 5740  cr 7583  0cc0 7584   < clt 7764  cle 7765  cmin 7897  -cneg 7898  cn 8680  0cn0 8931
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-addcom 7684  ax-addass 7686  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-ltadd 7700
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-br 3898  df-opab 3958  df-id 4183  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-inn 8681  df-n0 8932
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator