Theorem 0mnnnnn0 9545

Description: The result of subtracting a positive integer from 0 is not a nonnegative integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
0mnnnnn0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0 − 𝑁) ∉ ℕ0)

Proof of Theorem 0mnnnnn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 8290	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		df-neg 8463	. . . . . 6 ⊢ -𝑁 = (0 − 𝑁)
3	2	eqcomi 2238	. . . . 5 ⊢ (0 − 𝑁) = -𝑁
4	3	eleq1i 2300	. . . 4 ⊢ ((0 − 𝑁) ∈ ℕ0 ↔ -𝑁 ∈ ℕ0)
5		nn0ge0 9538	. . . . 5 ⊢ (-𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ -𝑁)
6		nnre 9261	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
7	6	le0neg1d 8808	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝑁))
8		nngt0 9279	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
9		0red 8291	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ)
10	6, 9	lenltd 8407	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≤ 0 ↔ ¬ 0 < 𝑁))
11		pm2.21 622	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 0 < 𝑁 → (0 < 𝑁 → ¬ 0 ∈ ℝ))
12	10, 11	biimtrdi 163	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≤ 0 → (0 < 𝑁 → ¬ 0 ∈ ℝ)))
13	8, 12	mpid 42	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≤ 0 → ¬ 0 ∈ ℝ))
14	7, 13	sylbird 170	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0 ≤ -𝑁 → ¬ 0 ∈ ℝ))
15	5, 14	syl5 32	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (-𝑁 ∈ ℕ0 → ¬ 0 ∈ ℝ))
16	4, 15	biimtrid 152	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((0 − 𝑁) ∈ ℕ0 → ¬ 0 ∈ ℝ))
17	1, 16	mt2i 649	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ¬ (0 − 𝑁) ∈ ℕ0)
18		df-nel 2510	. 2 ⊢ ((0 − 𝑁) ∉ ℕ0 ↔ ¬ (0 − 𝑁) ∈ ℕ0)
19	17, 18	sylibr 134	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0 − 𝑁) ∉ ℕ0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2205   ∉ wnel 2509   class class class wbr 4114  (class class class)co 6058  ℝcr 8142  0cc0 8143   < clt 8324   ≤ cle 8325   − cmin 8460  -cneg 8461  ℕcn 9254  ℕ₀cn0 9513

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-inn 9255  df-n0 9514

This theorem is referenced by: (None)