Theorem nn0p1nn 9555

Description: A nonnegative integer plus 1 is a positive integer. (Contributed by Raph Levien, 30-Jun-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0p1nn	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nn0p1nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 9268	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ
2		nn0nnaddcl 9547	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
3	1, 2	mpan2 425	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2205  (class class class)co 6058  1c1 8144   + caddc 8146  ℕcn 9257  ℕ₀cn0 9516

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-i2m1 8248  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-iota 5317  df-fv 5365  df-ov 6061  df-inn 9258  df-n0 9517

This theorem is referenced by:  elnn0nn  9558  elz2  9669  peano5uzti  9707  fseq1p1m1  10453  fzonn0p1  10581  nn0ennn  10822  faccl  11125  facdiv  11128  facwordi  11130  faclbnd  11131  facubnd  11135  bcm1k  11150  bcp1n  11151  bcp1nk  11152  bcpasc  11156  ccats1pfxeqrex  11435  wrdind  11442  wrd2ind  11443  ccats1pfxeqbi  11462  bcxmas  12203  efcllemp  12372  uzwodc  12761  prmfac1  12877  pcfac  13076  4sqlem12  13128  gsumfzconst  14097  gfsump1  14111  plycolemc  15752  gausslemma2dlem3  16065  2lgslem1a  16090  depindlem1  16630