Theorem nn0p1nn 9531

Description: A nonnegative integer plus 1 is a positive integer. (Contributed by Raph Levien, 30-Jun-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0p1nn	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nn0p1nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 9244	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ
2		nn0nnaddcl 9523	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
3	1, 2	mpan2 425	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2203  (class class class)co 6049  1c1 8124   + caddc 8126  ℕcn 9233  ℕ₀cn0 9492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215  ax-1cn 8216  ax-1re 8217  ax-icn 8218  ax-addcl 8219  ax-addrcl 8220  ax-mulcl 8221  ax-addcom 8223  ax-addass 8225  ax-i2m1 8228  ax-0id 8231  ax-rnegex 8232

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2814  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-br 4109  df-iota 5311  df-fv 5359  df-ov 6052  df-inn 9234  df-n0 9493

This theorem is referenced by:  elnn0nn  9534  elz2  9645  peano5uzti  9682  fseq1p1m1  10424  fzonn0p1  10552  nn0ennn  10791  faccl  11093  facdiv  11096  facwordi  11098  faclbnd  11099  facubnd  11103  bcm1k  11118  bcp1n  11119  bcp1nk  11120  bcpasc  11124  ccats1pfxeqrex  11400  wrdind  11407  wrd2ind  11408  ccats1pfxeqbi  11427  bcxmas  12168  efcllemp  12337  uzwodc  12726  prmfac1  12842  pcfac  13041  4sqlem12  13093  gsumfzconst  14047  plycolemc  15610  gausslemma2dlem3  15923  2lgslem1a  15948  depindlem1  16488  gfsump1  16854