Theorem nn0p1nn 9613

Description: A nonnegative integer plus 1 is a positive integer. (Contributed by Raph Levien, 30-Jun-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0p1nn	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nn0p1nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 9324	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ
2		nn0nnaddcl 9605	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
3	1, 2	mpan2 429	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209  (class class class)co 6088  1c1 8186   + caddc 8188  ℕcn 9313  ℕ₀cn0 9574

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-i2m1 8290  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-iota 5340  df-fv 5388  df-ov 6091  df-inn 9314  df-n0 9575

This theorem is used by:  elnn0nn  9616  elz2  9725  peano5uzti  9764  fseq1p1m1  10517  fzonn0p1  10645  nn0ennn  10890  faccl  11194  facdiv  11197  facwordi  11199  faclbnd  11200  facubnd  11204  bcm1k  11219  bcp1n  11220  bcp1nk  11221  bcpasc  11225  hashf1  11308  ccats1pfxeqrex  11508  wrdind  11515  wrd2ind  11516  ccats1pfxeqbi  11535  bcxmas  12280  efcllemp  12449  uzwodc  12838  prmfac1  12955  pcfac  13157  4sqlem12  13209  gzsumconst  14232  gsump1  14246  plycolemc  16001  log2tlbndlog2  16237  log2ublem2  16239  log2ublog2  16241  birthdaylem2  16243  chtublem  16312  bcmono  16321  bcp1ctr  16323  gausslemma2dlem3  16404  2lgslem1a  16429  depindlem1  16969