Theorem nn0p1nn 9614

Description: A nonnegative integer plus 1 is a positive integer. (Contributed by Raph Levien, 30-Jun-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0p1nn	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nn0p1nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 9325	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ
2		nn0nnaddcl 9606	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
3	1, 2	mpan2 429	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209  (class class class)co 6088  1c1 8187   + caddc 8189  ℕcn 9314  ℕ₀cn0 9575

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-addcom 8286  ax-addass 8288  ax-i2m1 8291  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-iota 5340  df-fv 5388  df-ov 6091  df-inn 9315  df-n0 9576

This theorem is used by:  elnn0nn  9617  elz2  9728  peano5uzti  9766  fseq1p1m1  10519  fzonn0p1  10647  nn0ennn  10892  faccl  11196  facdiv  11199  facwordi  11201  faclbnd  11202  facubnd  11206  bcm1k  11221  bcp1n  11222  bcp1nk  11223  bcpasc  11227  hashf1  11310  ccats1pfxeqrex  11510  wrdind  11517  wrd2ind  11518  ccats1pfxeqbi  11537  bcxmas  12282  efcllemp  12451  uzwodc  12840  prmfac1  12957  pcfac  13159  4sqlem12  13211  gzsumconst  14234  gsump1  14248  plycolemc  15996  log2tlbndlog2  16232  log2ublem2  16234  log2ublog2  16236  birthdaylem2  16238  chtublem  16307  bcmono  16316  bcp1ctr  16318  gausslemma2dlem3  16399  2lgslem1a  16424  depindlem1  16964