Theorem nn0p1nn 9376

Description: A nonnegative integer plus 1 is a positive integer. (Contributed by Raph Levien, 30-Jun-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0p1nn	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nn0p1nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 9089	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ
2		nn0nnaddcl 9368	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
3	1, 2	mpan2 425	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2180  (class class class)co 5974  1c1 7968   + caddc 7970  ℕcn 9078  ℕ₀cn0 9337

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-ext 2191  ax-sep 4181  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1cn 8060  ax-1re 8061  ax-icn 8062  ax-addcl 8063  ax-addrcl 8064  ax-mulcl 8065  ax-addcom 8067  ax-addass 8069  ax-i2m1 8072  ax-0id 8075  ax-rnegex 8076

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 985  df-tru 1378  df-nf 1487  df-sb 1789  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ral 2493  df-rex 2494  df-rab 2497  df-v 2781  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-br 4063  df-iota 5254  df-fv 5302  df-ov 5977  df-inn 9079  df-n0 9338

This theorem is referenced by:  elnn0nn  9379  elz2  9486  peano5uzti  9523  fseq1p1m1  10258  fzonn0p1  10384  nn0ennn  10622  faccl  10924  facdiv  10927  facwordi  10929  faclbnd  10930  facubnd  10934  bcm1k  10949  bcp1n  10950  bcp1nk  10951  bcpasc  10955  ccats1pfxeqrex  11213  wrdind  11220  wrd2ind  11221  ccats1pfxeqbi  11240  bcxmas  11966  efcllemp  12135  uzwodc  12524  prmfac1  12640  pcfac  12839  4sqlem12  12891  gsumfzconst  13844  plycolemc  15397  gausslemma2dlem3  15707  2lgslem1a  15732