Theorem nn0p1nn 9540

Description: A nonnegative integer plus 1 is a positive integer. (Contributed by Raph Levien, 30-Jun-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0p1nn	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nn0p1nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 9253	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ
2		nn0nnaddcl 9532	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
3	1, 2	mpan2 425	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2205  (class class class)co 6052  1c1 8133   + caddc 8135  ℕcn 9242  ℕ₀cn0 9501

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224  ax-1cn 8225  ax-1re 8226  ax-icn 8227  ax-addcl 8228  ax-addrcl 8229  ax-mulcl 8230  ax-addcom 8232  ax-addass 8234  ax-i2m1 8237  ax-0id 8240  ax-rnegex 8241

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-br 4112  df-iota 5314  df-fv 5362  df-ov 6055  df-inn 9243  df-n0 9502

This theorem is referenced by:  elnn0nn  9543  elz2  9654  peano5uzti  9692  fseq1p1m1  10435  fzonn0p1  10563  nn0ennn  10802  faccl  11105  facdiv  11108  facwordi  11110  faclbnd  11111  facubnd  11115  bcm1k  11130  bcp1n  11131  bcp1nk  11132  bcpasc  11136  ccats1pfxeqrex  11415  wrdind  11422  wrd2ind  11423  ccats1pfxeqbi  11442  bcxmas  12183  efcllemp  12352  uzwodc  12741  prmfac1  12857  pcfac  13056  4sqlem12  13108  gsumfzconst  14079  plycolemc  15672  gausslemma2dlem3  15985  2lgslem1a  16010  depindlem1  16550  gfsump1  16917