Theorem nn0p1nn 9604

Description: A nonnegative integer plus 1 is a positive integer. (Contributed by Raph Levien, 30-Jun-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0p1nn	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nn0p1nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 9316	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ
2		nn0nnaddcl 9596	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
3	1, 2	mpan2 429	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209  (class class class)co 6085  1c1 8180   + caddc 8182  ℕcn 9305  ℕ₀cn0 9565

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-i2m1 8284  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-iota 5337  df-fv 5385  df-ov 6088  df-inn 9306  df-n0 9566

This theorem is used by:  elnn0nn  9607  elz2  9718  peano5uzti  9756  fseq1p1m1  10503  fzonn0p1  10631  nn0ennn  10872  faccl  11175  facdiv  11178  facwordi  11180  faclbnd  11181  facubnd  11185  bcm1k  11200  bcp1n  11201  bcp1nk  11202  bcpasc  11206  hashf1  11289  ccats1pfxeqrex  11489  wrdind  11496  wrd2ind  11497  ccats1pfxeqbi  11516  bcxmas  12258  efcllemp  12427  uzwodc  12816  prmfac1  12932  pcfac  13131  4sqlem12  13183  gzsumconst  14145  gsump1  14159  plycolemc  15861  log2tlbndlog2  16088  log2ublem2  16090  log2ublog2  16092  birthdaylem2  16094  bcmono  16124  bcp1ctr  16126  gausslemma2dlem3  16194  2lgslem1a  16219  depindlem1  16759