Theorem nn0p1nn 9585

Description: A nonnegative integer plus 1 is a positive integer. (Contributed by Raph Levien, 30-Jun-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0p1nn	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nn0p1nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 9298	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ
2		nn0nnaddcl 9577	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
3	1, 2	mpan2 429	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2209  (class class class)co 6079  1c1 8174   + caddc 8176  ℕcn 9287  ℕ₀cn0 9546

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-addcom 8273  ax-addass 8275  ax-i2m1 8278  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-br 4129  df-iota 5335  df-fv 5383  df-ov 6082  df-inn 9288  df-n0 9547

This theorem is referenced by:  elnn0nn  9588  elz2  9699  peano5uzti  9737  fseq1p1m1  10484  fzonn0p1  10612  nn0ennn  10853  faccl  11156  facdiv  11159  facwordi  11161  faclbnd  11162  facubnd  11166  bcm1k  11181  bcp1n  11182  bcp1nk  11183  bcpasc  11187  hashf1  11270  ccats1pfxeqrex  11470  wrdind  11477  wrd2ind  11478  ccats1pfxeqbi  11497  bcxmas  12239  efcllemp  12408  uzwodc  12797  prmfac1  12913  pcfac  13112  4sqlem12  13164  gzsumconst  14126  gsump1  14140  plycolemc  15842  log2tlbndlog2  16065  log2ublem2  16067  log2ublog2  16069  birthdaylem2  16071  gausslemma2dlem3  16165  2lgslem1a  16190  depindlem1  16730