Theorem nn0p1nn 9441

Description: A nonnegative integer plus 1 is a positive integer. (Contributed by Raph Levien, 30-Jun-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0p1nn	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nn0p1nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 9154	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ
2		nn0nnaddcl 9433	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
3	1, 2	mpan2 425	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2202  (class class class)co 6018  1c1 8033   + caddc 8035  ℕcn 9143  ℕ₀cn0 9402

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-i2m1 8137  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-iota 5286  df-fv 5334  df-ov 6021  df-inn 9144  df-n0 9403

This theorem is referenced by:  elnn0nn  9444  elz2  9551  peano5uzti  9588  fseq1p1m1  10329  fzonn0p1  10457  nn0ennn  10696  faccl  10998  facdiv  11001  facwordi  11003  faclbnd  11004  facubnd  11008  bcm1k  11023  bcp1n  11024  bcp1nk  11025  bcpasc  11029  ccats1pfxeqrex  11297  wrdind  11304  wrd2ind  11305  ccats1pfxeqbi  11324  bcxmas  12052  efcllemp  12221  uzwodc  12610  prmfac1  12726  pcfac  12925  4sqlem12  12977  gsumfzconst  13930  plycolemc  15485  gausslemma2dlem3  15795  2lgslem1a  15820  depindlem1  16346  gfsump1  16707