Theorem nn0p1nn 9484

Description: A nonnegative integer plus 1 is a positive integer. (Contributed by Raph Levien, 30-Jun-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0p1nn	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nn0p1nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 9197	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ
2		nn0nnaddcl 9476	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
3	1, 2	mpan2 425	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2202  (class class class)co 6028  1c1 8076   + caddc 8078  ℕcn 9186  ℕ₀cn0 9445

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-i2m1 8180  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-iota 5293  df-fv 5341  df-ov 6031  df-inn 9187  df-n0 9446

This theorem is referenced by:  elnn0nn  9487  elz2  9594  peano5uzti  9631  fseq1p1m1  10372  fzonn0p1  10500  nn0ennn  10739  faccl  11041  facdiv  11044  facwordi  11046  faclbnd  11047  facubnd  11051  bcm1k  11066  bcp1n  11067  bcp1nk  11068  bcpasc  11072  ccats1pfxeqrex  11343  wrdind  11350  wrd2ind  11351  ccats1pfxeqbi  11370  bcxmas  12111  efcllemp  12280  uzwodc  12669  prmfac1  12785  pcfac  12984  4sqlem12  13036  gsumfzconst  13989  plycolemc  15549  gausslemma2dlem3  15859  2lgslem1a  15884  depindlem1  16424  gfsump1  16792