Theorem nn0p1nn 9446

Description: A nonnegative integer plus 1 is a positive integer. (Contributed by Raph Levien, 30-Jun-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0p1nn	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nn0p1nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 9159	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ
2		nn0nnaddcl 9438	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
3	1, 2	mpan2 425	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2201  (class class class)co 6023  1c1 8038   + caddc 8040  ℕcn 9148  ℕ₀cn0 9407

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2212  ax-sep 4208  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1cn 8130  ax-1re 8131  ax-icn 8132  ax-addcl 8133  ax-addrcl 8134  ax-mulcl 8135  ax-addcom 8137  ax-addass 8139  ax-i2m1 8142  ax-0id 8145  ax-rnegex 8146

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1810  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ral 2514  df-rex 2515  df-rab 2518  df-v 2803  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-br 4090  df-iota 5288  df-fv 5336  df-ov 6026  df-inn 9149  df-n0 9408

This theorem is referenced by:  elnn0nn  9449  elz2  9556  peano5uzti  9593  fseq1p1m1  10334  fzonn0p1  10462  nn0ennn  10701  faccl  11003  facdiv  11006  facwordi  11008  faclbnd  11009  facubnd  11013  bcm1k  11028  bcp1n  11029  bcp1nk  11030  bcpasc  11034  ccats1pfxeqrex  11305  wrdind  11312  wrd2ind  11313  ccats1pfxeqbi  11332  bcxmas  12073  efcllemp  12242  uzwodc  12631  prmfac1  12747  pcfac  12946  4sqlem12  12998  gsumfzconst  13951  plycolemc  15511  gausslemma2dlem3  15821  2lgslem1a  15846  depindlem1  16386  gfsump1  16754