Theorem nn0p1nn 9434

Description: A nonnegative integer plus 1 is a positive integer. (Contributed by Raph Levien, 30-Jun-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0p1nn	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nn0p1nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 9147	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ
2		nn0nnaddcl 9426	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
3	1, 2	mpan2 425	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2200  (class class class)co 6013  1c1 8026   + caddc 8028  ℕcn 9136  ℕ₀cn0 9395

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117  ax-1cn 8118  ax-1re 8119  ax-icn 8120  ax-addcl 8121  ax-addrcl 8122  ax-mulcl 8123  ax-addcom 8125  ax-addass 8127  ax-i2m1 8130  ax-0id 8133  ax-rnegex 8134

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2802  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-br 4087  df-iota 5284  df-fv 5332  df-ov 6016  df-inn 9137  df-n0 9396

This theorem is referenced by:  elnn0nn  9437  elz2  9544  peano5uzti  9581  fseq1p1m1  10322  fzonn0p1  10449  nn0ennn  10688  faccl  10990  facdiv  10993  facwordi  10995  faclbnd  10996  facubnd  11000  bcm1k  11015  bcp1n  11016  bcp1nk  11017  bcpasc  11021  ccats1pfxeqrex  11289  wrdind  11296  wrd2ind  11297  ccats1pfxeqbi  11316  bcxmas  12043  efcllemp  12212  uzwodc  12601  prmfac1  12717  pcfac  12916  4sqlem12  12968  gsumfzconst  13921  plycolemc  15475  gausslemma2dlem3  15785  2lgslem1a  15810