Theorem nn0p1nn 9424

Description: A nonnegative integer plus 1 is a positive integer. (Contributed by Raph Levien, 30-Jun-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0p1nn	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nn0p1nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 9137	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ
2		nn0nnaddcl 9416	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
3	1, 2	mpan2 425	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2200  (class class class)co 6010  1c1 8016   + caddc 8018  ℕcn 9126  ℕ₀cn0 9385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-addcom 8115  ax-addass 8117  ax-i2m1 8120  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-iota 5281  df-fv 5329  df-ov 6013  df-inn 9127  df-n0 9386

This theorem is referenced by:  elnn0nn  9427  elz2  9534  peano5uzti  9571  fseq1p1m1  10307  fzonn0p1  10434  nn0ennn  10672  faccl  10974  facdiv  10977  facwordi  10979  faclbnd  10980  facubnd  10984  bcm1k  10999  bcp1n  11000  bcp1nk  11001  bcpasc  11005  ccats1pfxeqrex  11268  wrdind  11275  wrd2ind  11276  ccats1pfxeqbi  11295  bcxmas  12021  efcllemp  12190  uzwodc  12579  prmfac1  12695  pcfac  12894  4sqlem12  12946  gsumfzconst  13899  plycolemc  15453  gausslemma2dlem3  15763  2lgslem1a  15788