Theorem pr2cv2 7542

Description: If an unordered pair is equinumerous to ordinal two, then a part is a set. (Contributed by RP, 21-Oct-2023.)

Assertion

Ref	Expression
pr2cv2	⊢ ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o → 𝐵 ∈ V)

Proof of Theorem pr2cv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prcom 3787	. . 3 ⊢ {𝐵, 𝐴} = {𝐴, 𝐵}
2	1	breq1i 4137	. 2 ⊢ ({𝐵, 𝐴} ≈ 2o ↔ {𝐴, 𝐵} ≈ 2o)
3		pr2cv1 7541	. 2 ⊢ ({𝐵, 𝐴} ≈ 2o → 𝐵 ∈ V)
4	2, 3	sylbir 135	1 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o → 𝐵 ∈ V)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821  {cpr 3710   class class class wbr 4130  2_oc2o 6681   ≈ cen 7020

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-suc 4516  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-1o 6687  df-2o 6688  df-er 6807  df-en 7023

This theorem is used by:  pr2cv  7543