Theorem smores3 6554

Description: A strictly monotone function restricted to an ordinal remains strictly monotone. (Contributed by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
smores3	⊢ ((Smo (𝐴 ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ (dom 𝐴 ∩ 𝐵) ∧ Ord 𝐵) → Smo (𝐴 ↾ 𝐶))

Proof of Theorem smores3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmres 5079	. . . . . 6 ⊢ dom (𝐴 ↾ 𝐵) = (𝐵 ∩ dom 𝐴)
2		incom 3421	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∩ dom 𝐴) = (dom 𝐴 ∩ 𝐵)
3	1, 2	eqtri 2259	. . . . 5 ⊢ dom (𝐴 ↾ 𝐵) = (dom 𝐴 ∩ 𝐵)
4	3	eleq2i 2305	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ dom (𝐴 ↾ 𝐵) ↔ 𝐶 ∈ (dom 𝐴 ∩ 𝐵))
5		smores 6553	. . . 4 ⊢ ((Smo (𝐴 ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ dom (𝐴 ↾ 𝐵)) → Smo ((𝐴 ↾ 𝐵) ↾ 𝐶))
6	4, 5	sylan2br 288	. . 3 ⊢ ((Smo (𝐴 ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ (dom 𝐴 ∩ 𝐵)) → Smo ((𝐴 ↾ 𝐵) ↾ 𝐶))
7	6	3adant3 1048	. 2 ⊢ ((Smo (𝐴 ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ (dom 𝐴 ∩ 𝐵) ∧ Ord 𝐵) → Smo ((𝐴 ↾ 𝐵) ↾ 𝐶))
8		inss2 3452	. . . . . 6 ⊢ (dom 𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵
9	8	sseli 3244	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ (dom 𝐴 ∩ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝐵)
10		ordelss 4519	. . . . . 6 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝐶 ⊆ 𝐵)
11	10	ancoms 268	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐵 ∧ Ord 𝐵) → 𝐶 ⊆ 𝐵)
12	9, 11	sylan 283	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (dom 𝐴 ∩ 𝐵) ∧ Ord 𝐵) → 𝐶 ⊆ 𝐵)
13	12	3adant1 1046	. . 3 ⊢ ((Smo (𝐴 ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ (dom 𝐴 ∩ 𝐵) ∧ Ord 𝐵) → 𝐶 ⊆ 𝐵)
14		resabs1 5087	. . 3 ⊢ (𝐶 ⊆ 𝐵 → ((𝐴 ↾ 𝐵) ↾ 𝐶) = (𝐴 ↾ 𝐶))
15		smoeq 6551	. . 3 ⊢ (((𝐴 ↾ 𝐵) ↾ 𝐶) = (𝐴 ↾ 𝐶) → (Smo ((𝐴 ↾ 𝐵) ↾ 𝐶) ↔ Smo (𝐴 ↾ 𝐶)))
16	13, 14, 15	3syl 17	. 2 ⊢ ((Smo (𝐴 ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ (dom 𝐴 ∩ 𝐵) ∧ Ord 𝐵) → (Smo ((𝐴 ↾ 𝐵) ↾ 𝐶) ↔ Smo (𝐴 ↾ 𝐶)))
17	7, 16	mpbid 147	1 ⊢ ((Smo (𝐴 ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ (dom 𝐴 ∩ 𝐵) ∧ Ord 𝐵) → Smo (𝐴 ↾ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ∩ cin 3219   ⊆ wss 3220  Ord word 4502  dom cdm 4769   ↾ cres 4771  Smo wsmo 6546

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-tr 4225  df-iord 4506  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-fv 5380  df-smo 6547

This theorem is referenced by: (None)