Theorem smores3 6346

Description: A strictly monotone function restricted to an ordinal remains strictly monotone. (Contributed by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
smores3	⊢ ((Smo (𝐴 ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ (dom 𝐴 ∩ 𝐵) ∧ Ord 𝐵) → Smo (𝐴 ↾ 𝐶))

Proof of Theorem smores3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmres 4963	. . . . . 6 ⊢ dom (𝐴 ↾ 𝐵) = (𝐵 ∩ dom 𝐴)
2		incom 3351	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∩ dom 𝐴) = (dom 𝐴 ∩ 𝐵)
3	1, 2	eqtri 2214	. . . . 5 ⊢ dom (𝐴 ↾ 𝐵) = (dom 𝐴 ∩ 𝐵)
4	3	eleq2i 2260	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ dom (𝐴 ↾ 𝐵) ↔ 𝐶 ∈ (dom 𝐴 ∩ 𝐵))
5		smores 6345	. . . 4 ⊢ ((Smo (𝐴 ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ dom (𝐴 ↾ 𝐵)) → Smo ((𝐴 ↾ 𝐵) ↾ 𝐶))
6	4, 5	sylan2br 288	. . 3 ⊢ ((Smo (𝐴 ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ (dom 𝐴 ∩ 𝐵)) → Smo ((𝐴 ↾ 𝐵) ↾ 𝐶))
7	6	3adant3 1019	. 2 ⊢ ((Smo (𝐴 ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ (dom 𝐴 ∩ 𝐵) ∧ Ord 𝐵) → Smo ((𝐴 ↾ 𝐵) ↾ 𝐶))
8		inss2 3380	. . . . . 6 ⊢ (dom 𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵
9	8	sseli 3175	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ (dom 𝐴 ∩ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝐵)
10		ordelss 4410	. . . . . 6 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝐶 ⊆ 𝐵)
11	10	ancoms 268	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐵 ∧ Ord 𝐵) → 𝐶 ⊆ 𝐵)
12	9, 11	sylan 283	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (dom 𝐴 ∩ 𝐵) ∧ Ord 𝐵) → 𝐶 ⊆ 𝐵)
13	12	3adant1 1017	. . 3 ⊢ ((Smo (𝐴 ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ (dom 𝐴 ∩ 𝐵) ∧ Ord 𝐵) → 𝐶 ⊆ 𝐵)
14		resabs1 4971	. . 3 ⊢ (𝐶 ⊆ 𝐵 → ((𝐴 ↾ 𝐵) ↾ 𝐶) = (𝐴 ↾ 𝐶))
15		smoeq 6343	. . 3 ⊢ (((𝐴 ↾ 𝐵) ↾ 𝐶) = (𝐴 ↾ 𝐶) → (Smo ((𝐴 ↾ 𝐵) ↾ 𝐶) ↔ Smo (𝐴 ↾ 𝐶)))
16	13, 14, 15	3syl 17	. 2 ⊢ ((Smo (𝐴 ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ (dom 𝐴 ∩ 𝐵) ∧ Ord 𝐵) → (Smo ((𝐴 ↾ 𝐵) ↾ 𝐶) ↔ Smo (𝐴 ↾ 𝐶)))
17	7, 16	mpbid 147	1 ⊢ ((Smo (𝐴 ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ (dom 𝐴 ∩ 𝐵) ∧ Ord 𝐵) → Smo (𝐴 ↾ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   ∩ cin 3152   ⊆ wss 3153  Ord word 4393  dom cdm 4659   ↾ cres 4661  Smo wsmo 6338

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-tr 4128  df-iord 4397  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-fv 5262  df-smo 6339

This theorem is referenced by: (None)