Theorem ndxarg 13128

Description: Get the numeric argument from a defined structure component extractor such as df-base 13111. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
ndxarg.1	⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
ndxarg.2	⊢ 𝑁 ∈ ℕ

Assertion

Ref	Expression
ndxarg	⊢ (𝐸‘ndx) = 𝑁

Proof of Theorem ndxarg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ndx 13108	. . . 4 ⊢ ndx = ( I ↾ ℕ)
2		nnex 9154	. . . . 5 ⊢ ℕ ∈ V
3		resiexg 5060	. . . . 5 ⊢ (ℕ ∈ V → ( I ↾ ℕ) ∈ V)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ( I ↾ ℕ) ∈ V
5	1, 4	eqeltri 2303	. . 3 ⊢ ndx ∈ V
6		ndxarg.1	. . 3 ⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
7		ndxarg.2	. . 3 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
8	5, 6, 7	strnfvn 13126	. 2 ⊢ (𝐸‘ndx) = (ndx‘𝑁)
9	1	fveq1i 5643	. 2 ⊢ (ndx‘𝑁) = (( I ↾ ℕ)‘𝑁)
10		fvresi 5850	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (( I ↾ ℕ)‘𝑁) = 𝑁)
11	7, 10	ax-mp 5	. 2 ⊢ (( I ↾ ℕ)‘𝑁) = 𝑁
12	8, 9, 11	3eqtri 2255	1 ⊢ (𝐸‘ndx) = 𝑁

Syntax hints:   = wceq 1397   ∈ wcel 2201  Vcvv 2801   I cid 4387   ↾ cres 4729  ‘cfv 5328  ℕcn 9148  ndxcnx 13102  Slot cslot 13104

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-sep 4208  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1re 8131  ax-addrcl 8134

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ral 2514  df-rex 2515  df-v 2803  df-sbc 3031  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-id 4392  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fv 5336  df-inn 9149  df-ndx 13108  df-slot 13109

This theorem is referenced by:  ndxid  13129  ndxslid  13130  strndxid  13133  basendx  13160  basendxnn  13161  plusgndx  13215  2strstrg  13225  2strbasg  13226  2stropg  13227  2strstr1g  13228  2strop1g  13230  basendxnplusgndx  13231  mulrndx  13236  basendxnmulrndx  13240  starvndx  13245  scandx  13257  vscandx  13263  ipndx  13275  tsetndx  13292  plendx  13306  ocndx  13317  dsndx  13321  unifndx  13332  homndx  13339  ccondx  13342  edgfndx  15887