Theorem ndxarg 13377

Description: Get the numeric argument from a defined structure component extractor such as df-base 13360. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
ndxarg.1	⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
ndxarg.2	⊢ 𝑁 ∈ ℕ

Assertion

Ref	Expression
ndxarg	⊢ (𝐸‘ndx) = 𝑁

Proof of Theorem ndxarg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ndx 13357	. . . 4 ⊢ ndx = ( I ↾ ℕ)
2		nnex 9311	. . . . 5 ⊢ ℕ ∈ V
3		resiexg 5108	. . . . 5 ⊢ (ℕ ∈ V → ( I ↾ ℕ) ∈ V)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ( I ↾ ℕ) ∈ V
5	1, 4	eqeltri 2311	. . 3 ⊢ ndx ∈ V
6		ndxarg.1	. . 3 ⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
7		ndxarg.2	. . 3 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
8	5, 6, 7	strnfvn 13375	. 2 ⊢ (𝐸‘ndx) = (ndx‘𝑁)
9	1	fveq1i 5696	. 2 ⊢ (ndx‘𝑁) = (( I ↾ ℕ)‘𝑁)
10		fvresi 5908	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (( I ↾ ℕ)‘𝑁) = 𝑁)
11	7, 10	ax-mp 5	. 2 ⊢ (( I ↾ ℕ)‘𝑁) = 𝑁
12	8, 9, 11	3eqtri 2263	1 ⊢ (𝐸‘ndx) = 𝑁

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   I cid 4433   ↾ cres 4776  ‘cfv 5377  ℕcn 9305  ndxcnx 13351  Slot cslot 13353

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1re 8273  ax-addrcl 8276

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-inn 9306  df-ndx 13357  df-slot 13358

This theorem is used by:  ndxid  13378  ndxslid  13379  strndxid  13382  basendx  13409  basendxnn  13410  plusgndx  13465  2strstrg  13475  2strbasg  13476  2stropg  13477  2strstr1g  13478  2strop1g  13480  basendxnplusgndx  13481  mulrndx  13486  basendxnmulrndx  13490  starvndx  13495  scandx  13507  vscandx  13513  ipndx  13525  tsetndx  13542  plendx  13556  ocndx  13567  dsndx  13571  unifndx  13582  homndx  13589  ccondx  13592  edgfndx  16260