Theorem ndxarg 12701

Description: Get the numeric argument from a defined structure component extractor such as df-base 12684. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
ndxarg.1	⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
ndxarg.2	⊢ 𝑁 ∈ ℕ

Assertion

Ref	Expression
ndxarg	⊢ (𝐸‘ndx) = 𝑁

Proof of Theorem ndxarg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ndx 12681	. . . 4 ⊢ ndx = ( I ↾ ℕ)
2		nnex 8996	. . . . 5 ⊢ ℕ ∈ V
3		resiexg 4991	. . . . 5 ⊢ (ℕ ∈ V → ( I ↾ ℕ) ∈ V)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ( I ↾ ℕ) ∈ V
5	1, 4	eqeltri 2269	. . 3 ⊢ ndx ∈ V
6		ndxarg.1	. . 3 ⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
7		ndxarg.2	. . 3 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
8	5, 6, 7	strnfvn 12699	. 2 ⊢ (𝐸‘ndx) = (ndx‘𝑁)
9	1	fveq1i 5559	. 2 ⊢ (ndx‘𝑁) = (( I ↾ ℕ)‘𝑁)
10		fvresi 5755	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (( I ↾ ℕ)‘𝑁) = 𝑁)
11	7, 10	ax-mp 5	. 2 ⊢ (( I ↾ ℕ)‘𝑁) = 𝑁
12	8, 9, 11	3eqtri 2221	1 ⊢ (𝐸‘ndx) = 𝑁

Syntax hints:   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  Vcvv 2763   I cid 4323   ↾ cres 4665  ‘cfv 5258  ℕcn 8990  ndxcnx 12675  Slot cslot 12677

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1re 7973  ax-addrcl 7976

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-sbc 2990  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fv 5266  df-inn 8991  df-ndx 12681  df-slot 12682

This theorem is referenced by:  ndxid  12702  ndxslid  12703  strndxid  12706  basendx  12733  basendxnn  12734  plusgndx  12787  2strstrg  12796  2strbasg  12797  2stropg  12798  2strstr1g  12799  2strop1g  12801  basendxnplusgndx  12802  mulrndx  12807  basendxnmulrndx  12811  starvndx  12816  scandx  12828  vscandx  12834  ipndx  12846  tsetndx  12863  plendx  12877  dsndx  12888  unifndx  12899