Theorem ndxarg 13256

Description: Get the numeric argument from a defined structure component extractor such as df-base 13239. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
ndxarg.1	⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
ndxarg.2	⊢ 𝑁 ∈ ℕ

Assertion

Ref	Expression
ndxarg	⊢ (𝐸‘ndx) = 𝑁

Proof of Theorem ndxarg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ndx 13236	. . . 4 ⊢ ndx = ( I ↾ ℕ)
2		nnex 9248	. . . . 5 ⊢ ℕ ∈ V
3		resiexg 5085	. . . . 5 ⊢ (ℕ ∈ V → ( I ↾ ℕ) ∈ V)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ( I ↾ ℕ) ∈ V
5	1, 4	eqeltri 2307	. . 3 ⊢ ndx ∈ V
6		ndxarg.1	. . 3 ⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
7		ndxarg.2	. . 3 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
8	5, 6, 7	strnfvn 13254	. 2 ⊢ (𝐸‘ndx) = (ndx‘𝑁)
9	1	fveq1i 5673	. 2 ⊢ (ndx‘𝑁) = (( I ↾ ℕ)‘𝑁)
10		fvresi 5879	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (( I ↾ ℕ)‘𝑁) = 𝑁)
11	7, 10	ax-mp 5	. 2 ⊢ (( I ↾ ℕ)‘𝑁) = 𝑁
12	8, 9, 11	3eqtri 2259	1 ⊢ (𝐸‘ndx) = 𝑁

Syntax hints:   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  Vcvv 2815   I cid 4411   ↾ cres 4753  ‘cfv 5354  ℕcn 9242  ndxcnx 13230  Slot cslot 13232

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224  ax-1re 8226  ax-addrcl 8229

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-sbc 3045  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fv 5362  df-inn 9243  df-ndx 13236  df-slot 13237

This theorem is referenced by:  ndxid  13257  ndxslid  13258  strndxid  13261  basendx  13288  basendxnn  13289  plusgndx  13343  2strstrg  13353  2strbasg  13354  2stropg  13355  2strstr1g  13356  2strop1g  13358  basendxnplusgndx  13359  mulrndx  13364  basendxnmulrndx  13368  starvndx  13373  scandx  13385  vscandx  13391  ipndx  13403  tsetndx  13420  plendx  13434  ocndx  13445  dsndx  13449  unifndx  13460  homndx  13467  ccondx  13470  edgfndx  16051