Theorem ndxarg 12641

Description: Get the numeric argument from a defined structure component extractor such as df-base 12624. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
ndxarg.1	⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
ndxarg.2	⊢ 𝑁 ∈ ℕ

Assertion

Ref	Expression
ndxarg	⊢ (𝐸‘ndx) = 𝑁

Proof of Theorem ndxarg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ndx 12621	. . . 4 ⊢ ndx = ( I ↾ ℕ)
2		nnex 8988	. . . . 5 ⊢ ℕ ∈ V
3		resiexg 4987	. . . . 5 ⊢ (ℕ ∈ V → ( I ↾ ℕ) ∈ V)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ( I ↾ ℕ) ∈ V
5	1, 4	eqeltri 2266	. . 3 ⊢ ndx ∈ V
6		ndxarg.1	. . 3 ⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
7		ndxarg.2	. . 3 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
8	5, 6, 7	strnfvn 12639	. 2 ⊢ (𝐸‘ndx) = (ndx‘𝑁)
9	1	fveq1i 5555	. 2 ⊢ (ndx‘𝑁) = (( I ↾ ℕ)‘𝑁)
10		fvresi 5751	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (( I ↾ ℕ)‘𝑁) = 𝑁)
11	7, 10	ax-mp 5	. 2 ⊢ (( I ↾ ℕ)‘𝑁) = 𝑁
12	8, 9, 11	3eqtri 2218	1 ⊢ (𝐸‘ndx) = 𝑁

Syntax hints:   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  Vcvv 2760   I cid 4319   ↾ cres 4661  ‘cfv 5254  ℕcn 8982  ndxcnx 12615  Slot cslot 12617

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1re 7966  ax-addrcl 7969

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-sbc 2986  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fv 5262  df-inn 8983  df-ndx 12621  df-slot 12622

This theorem is referenced by:  ndxid  12642  ndxslid  12643  strndxid  12646  basendx  12673  basendxnn  12674  plusgndx  12727  2strstrg  12736  2strbasg  12737  2stropg  12738  2strstr1g  12739  2strop1g  12741  basendxnplusgndx  12742  mulrndx  12747  basendxnmulrndx  12751  starvndx  12756  scandx  12768  vscandx  12774  ipndx  12786  tsetndx  12803  plendx  12817  dsndx  12828  unifndx  12839