Theorem ndxarg 12711

Description: Get the numeric argument from a defined structure component extractor such as df-base 12694. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
ndxarg.1	⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
ndxarg.2	⊢ 𝑁 ∈ ℕ

Assertion

Ref	Expression
ndxarg	⊢ (𝐸‘ndx) = 𝑁

Proof of Theorem ndxarg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ndx 12691	. . . 4 ⊢ ndx = ( I ↾ ℕ)
2		nnex 8998	. . . . 5 ⊢ ℕ ∈ V
3		resiexg 4992	. . . . 5 ⊢ (ℕ ∈ V → ( I ↾ ℕ) ∈ V)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ( I ↾ ℕ) ∈ V
5	1, 4	eqeltri 2269	. . 3 ⊢ ndx ∈ V
6		ndxarg.1	. . 3 ⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
7		ndxarg.2	. . 3 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
8	5, 6, 7	strnfvn 12709	. 2 ⊢ (𝐸‘ndx) = (ndx‘𝑁)
9	1	fveq1i 5560	. 2 ⊢ (ndx‘𝑁) = (( I ↾ ℕ)‘𝑁)
10		fvresi 5756	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (( I ↾ ℕ)‘𝑁) = 𝑁)
11	7, 10	ax-mp 5	. 2 ⊢ (( I ↾ ℕ)‘𝑁) = 𝑁
12	8, 9, 11	3eqtri 2221	1 ⊢ (𝐸‘ndx) = 𝑁

Syntax hints:   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  Vcvv 2763   I cid 4324   ↾ cres 4666  ‘cfv 5259  ℕcn 8992  ndxcnx 12685  Slot cslot 12687

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-cnex 7972  ax-resscn 7973  ax-1re 7975  ax-addrcl 7978

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-sbc 2990  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fv 5267  df-inn 8993  df-ndx 12691  df-slot 12692

This theorem is referenced by:  ndxid  12712  ndxslid  12713  strndxid  12716  basendx  12743  basendxnn  12744  plusgndx  12797  2strstrg  12806  2strbasg  12807  2stropg  12808  2strstr1g  12809  2strop1g  12811  basendxnplusgndx  12812  mulrndx  12817  basendxnmulrndx  12821  starvndx  12826  scandx  12838  vscandx  12844  ipndx  12856  tsetndx  12873  plendx  12887  dsndx  12898  unifndx  12909