Theorem imasmulr 13613

Description: The ring multiplication in an image structure. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Jul-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
imasbas.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅))
imasbas.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
imasbas.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–onto→𝐵)
imasbas.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑍)
imasmulr.p	⊢ · = (.r‘𝑅)
imasmulr.t	⊢ ∙ = (.r‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
imasmulr	⊢ (𝜑 → ∙ = ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))⟩})

Distinct variable groups:   𝐹,𝑝,𝑞   𝑅,𝑝,𝑞   𝑉,𝑝,𝑞   𝜑,𝑝,𝑞

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑞,𝑝)   ∙ (𝑞,𝑝)   · (𝑞,𝑝)   𝑈(𝑞,𝑝)   𝑍(𝑞,𝑝)

Proof of Theorem imasmulr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imasmulr.t	. 2 ⊢ ∙ = (.r‘𝑈)
2		imasbas.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅))
3		imasbas.v	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
4		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
5		imasmulr.p	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
6		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑅) = ( ·𝑠 ‘𝑅)
7		eqidd 2239	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝(+g‘𝑅)𝑞))⟩} = ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝(+g‘𝑅)𝑞))⟩})
8		eqidd 2239	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))⟩} = ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))⟩})
9		imasbas.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–onto→𝐵)
10		imasbas.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑍)
11	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	imasival 13610	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝(+g‘𝑅)𝑞))⟩}⟩, ⟨(.r‘ndx), ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))⟩}⟩})
12	11	fveq1d 5695	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘(.r‘ndx)) = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝(+g‘𝑅)𝑞))⟩}⟩, ⟨(.r‘ndx), ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))⟩}⟩}‘(.r‘ndx)))
13		fof 5613	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:𝑉–onto→𝐵 → 𝐹:𝑉⟶𝐵)
14	9, 13	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉⟶𝐵)
15		basfn 13394	. . . . . . . . 9 ⊢ Base Fn V
16	10	elexd 2835	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
17		funfvex 5710	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝑅 ∈ dom Base) → (Base‘𝑅) ∈ V)
18	17	funfni 5481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝑅) ∈ V)
19	15, 16, 18	sylancr 418	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) ∈ V)
20	3, 19	eqeltrd 2315	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ V)
21	14, 20	fexd 5942	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
22		imasex 13609	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ 𝑍) → (𝐹 “s 𝑅) ∈ V)
23	21, 10, 22	syl2anc 415	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “s 𝑅) ∈ V)
24	2, 23	eqeltrd 2315	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ V)
25		mulridx 13468	. . . 4 ⊢ .r = Slot (.r‘ndx)
26		mulrslid 13469	. . . . 5 ⊢ (.r = Slot (.r‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ∈ ℕ)
27	26	simpri 113	. . . 4 ⊢ (.r‘ndx) ∈ ℕ
28	24, 25, 27	strndxid 13363	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘(.r‘ndx)) = (.r‘𝑈))
29	27	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (.r‘ndx) ∈ ℕ)
30		vex 2824	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑝 ∈ V
31		fvexg 5712	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑝 ∈ V) → (𝐹‘𝑝) ∈ V)
32	21, 30, 31	sylancl 417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑝) ∈ V)
33		vex 2824	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑞 ∈ V
34		fvexg 5712	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑞 ∈ V) → (𝐹‘𝑞) ∈ V)
35	21, 33, 34	sylancl 417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑞) ∈ V)
36		opexg 4366	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹‘𝑝) ∈ V ∧ (𝐹‘𝑞) ∈ V) → ⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩ ∈ V)
37	32, 35, 36	syl2anc 415	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩ ∈ V)
38	26	slotex 13362	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑍 → (.r‘𝑅) ∈ V)
39	10, 38	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (.r‘𝑅) ∈ V)
40	5, 39	eqeltrid 2325	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → · ∈ V)
41	33	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑞 ∈ V)
42		ovexg 6113	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑝 ∈ V ∧ · ∈ V ∧ 𝑞 ∈ V) → (𝑝 · 𝑞) ∈ V)
43	30, 40, 41, 42	mp3an2i 1383	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑝 · 𝑞) ∈ V)
44		fvexg 5712	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ (𝑝 · 𝑞) ∈ V) → (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)) ∈ V)
45	21, 43, 44	syl2anc 415	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)) ∈ V)
46		opexg 4366	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩ ∈ V ∧ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)) ∈ V) → ⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))⟩ ∈ V)
47	37, 45, 46	syl2anc 415	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))⟩ ∈ V)
48		snexg 4319	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))⟩ ∈ V → {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))⟩} ∈ V)
49	47, 48	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))⟩} ∈ V)
50	49	ralrimivw 2624	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))⟩} ∈ V)
51		iunexg 6342	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))⟩} ∈ V) → ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))⟩} ∈ V)
52	20, 50, 51	syl2anc 415	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))⟩} ∈ V)
53	52	ralrimivw 2624	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))⟩} ∈ V)
54		iunexg 6342	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))⟩} ∈ V) → ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))⟩} ∈ V)
55	20, 53, 54	syl2anc 415	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))⟩} ∈ V)
56		basendxnmulrndx 13471	. . . . 5 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
57	56	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘ndx) ≠ (.r‘ndx))
58		plusgndxnmulrndx 13470	. . . . 5 ⊢ (+g‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
59	58	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (+g‘ndx) ≠ (.r‘ndx))
60		fvtp3g 5919	. . . 4 ⊢ ((((.r‘ndx) ∈ ℕ ∧ ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))⟩} ∈ V) ∧ ((Base‘ndx) ≠ (.r‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ≠ (.r‘ndx))) → ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝(+g‘𝑅)𝑞))⟩}⟩, ⟨(.r‘ndx), ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))⟩}⟩}‘(.r‘ndx)) = ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))⟩})
61	29, 55, 57, 59, 60	syl22anc 1279	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝(+g‘𝑅)𝑞))⟩}⟩, ⟨(.r‘ndx), ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))⟩}⟩}‘(.r‘ndx)) = ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))⟩})
62	12, 28, 61	3eqtr3rd 2280	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))⟩} = (.r‘𝑈))
63	1, 62	eqtr4id 2290	1 ⊢ (𝜑 → ∙ = ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))⟩})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420  ∀wral 2528  Vcvv 2821  {csn 3708  {ctp 3710  ⟨cop 3711  ∪ ciun 4010   Fn wfn 5370  ⟶wf 5371  –onto→wfo 5373  ‘cfv 5375  (class class class)co 6079  ℕcn 9287  ndxcnx 13332  Slot cslot 13334  Basecbs 13335  +_gcplusg 13414  ._rcmulr 13415   ·_𝑠 cvsca 13418   “_s cimas 13605

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-addcom 8273  ax-addass 8275  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-ltadd 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-tp 3716  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-ltxr 8359  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-ndx 13338  df-slot 13339  df-base 13341  df-plusg 13427  df-mulr 13428  df-iimas 13607

This theorem is referenced by:  imasmulfn  13624  imasmulval  13625  imasmulf  13626  qusmulval  13641  qusmulf  13642