Theorem imasmulr 13011

Description: The ring multiplication in an image structure. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Jul-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
imasbas.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅))
imasbas.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
imasbas.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–onto→𝐵)
imasbas.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑍)
imasmulr.p	⊢ · = (.r‘𝑅)
imasmulr.t	⊢ ∙ = (.r‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
imasmulr	⊢ (𝜑 → ∙ = ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))⟩})

Distinct variable groups:   𝐹,𝑝,𝑞   𝑅,𝑝,𝑞   𝑉,𝑝,𝑞   𝜑,𝑝,𝑞

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑞,𝑝)   ∙ (𝑞,𝑝)   · (𝑞,𝑝)   𝑈(𝑞,𝑝)   𝑍(𝑞,𝑝)

Proof of Theorem imasmulr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imasmulr.t	. 2 ⊢ ∙ = (.r‘𝑈)
2		imasbas.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅))
3		imasbas.v	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
4		eqid 2196	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
5		imasmulr.p	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
6		eqid 2196	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑅) = ( ·𝑠 ‘𝑅)
7		eqidd 2197	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝(+g‘𝑅)𝑞))⟩} = ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝(+g‘𝑅)𝑞))⟩})
8		eqidd 2197	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))⟩} = ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))⟩})
9		imasbas.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–onto→𝐵)
10		imasbas.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑍)
11	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	imasival 13008	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝(+g‘𝑅)𝑞))⟩}⟩, ⟨(.r‘ndx), ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))⟩}⟩})
12	11	fveq1d 5563	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘(.r‘ndx)) = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝(+g‘𝑅)𝑞))⟩}⟩, ⟨(.r‘ndx), ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))⟩}⟩}‘(.r‘ndx)))
13		fof 5483	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:𝑉–onto→𝐵 → 𝐹:𝑉⟶𝐵)
14	9, 13	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉⟶𝐵)
15		basfn 12761	. . . . . . . . 9 ⊢ Base Fn V
16	10	elexd 2776	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
17		funfvex 5578	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝑅 ∈ dom Base) → (Base‘𝑅) ∈ V)
18	17	funfni 5361	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝑅) ∈ V)
19	15, 16, 18	sylancr 414	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) ∈ V)
20	3, 19	eqeltrd 2273	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ V)
21	14, 20	fexd 5795	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
22		imasex 13007	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ 𝑍) → (𝐹 “s 𝑅) ∈ V)
23	21, 10, 22	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “s 𝑅) ∈ V)
24	2, 23	eqeltrd 2273	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ V)
25		mulridx 12833	. . . 4 ⊢ .r = Slot (.r‘ndx)
26		mulrslid 12834	. . . . 5 ⊢ (.r = Slot (.r‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ∈ ℕ)
27	26	simpri 113	. . . 4 ⊢ (.r‘ndx) ∈ ℕ
28	24, 25, 27	strndxid 12731	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘(.r‘ndx)) = (.r‘𝑈))
29	27	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (.r‘ndx) ∈ ℕ)
30		vex 2766	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑝 ∈ V
31		fvexg 5580	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑝 ∈ V) → (𝐹‘𝑝) ∈ V)
32	21, 30, 31	sylancl 413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑝) ∈ V)
33		vex 2766	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑞 ∈ V
34		fvexg 5580	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑞 ∈ V) → (𝐹‘𝑞) ∈ V)
35	21, 33, 34	sylancl 413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑞) ∈ V)
36		opexg 4262	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹‘𝑝) ∈ V ∧ (𝐹‘𝑞) ∈ V) → ⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩ ∈ V)
37	32, 35, 36	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩ ∈ V)
38	26	slotex 12730	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑍 → (.r‘𝑅) ∈ V)
39	10, 38	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (.r‘𝑅) ∈ V)
40	5, 39	eqeltrid 2283	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → · ∈ V)
41	33	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑞 ∈ V)
42		ovexg 5959	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑝 ∈ V ∧ · ∈ V ∧ 𝑞 ∈ V) → (𝑝 · 𝑞) ∈ V)
43	30, 40, 41, 42	mp3an2i 1353	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑝 · 𝑞) ∈ V)
44		fvexg 5580	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ (𝑝 · 𝑞) ∈ V) → (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)) ∈ V)
45	21, 43, 44	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)) ∈ V)
46		opexg 4262	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩ ∈ V ∧ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)) ∈ V) → ⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))⟩ ∈ V)
47	37, 45, 46	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))⟩ ∈ V)
48		snexg 4218	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))⟩ ∈ V → {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))⟩} ∈ V)
49	47, 48	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))⟩} ∈ V)
50	49	ralrimivw 2571	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))⟩} ∈ V)
51		iunexg 6185	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))⟩} ∈ V) → ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))⟩} ∈ V)
52	20, 50, 51	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))⟩} ∈ V)
53	52	ralrimivw 2571	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))⟩} ∈ V)
54		iunexg 6185	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))⟩} ∈ V) → ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))⟩} ∈ V)
55	20, 53, 54	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))⟩} ∈ V)
56		basendxnmulrndx 12836	. . . . 5 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
57	56	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘ndx) ≠ (.r‘ndx))
58		plusgndxnmulrndx 12835	. . . . 5 ⊢ (+g‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
59	58	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (+g‘ndx) ≠ (.r‘ndx))
60		fvtp3g 5775	. . . 4 ⊢ ((((.r‘ndx) ∈ ℕ ∧ ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))⟩} ∈ V) ∧ ((Base‘ndx) ≠ (.r‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ≠ (.r‘ndx))) → ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝(+g‘𝑅)𝑞))⟩}⟩, ⟨(.r‘ndx), ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))⟩}⟩}‘(.r‘ndx)) = ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))⟩})
61	29, 55, 57, 59, 60	syl22anc 1250	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝(+g‘𝑅)𝑞))⟩}⟩, ⟨(.r‘ndx), ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))⟩}⟩}‘(.r‘ndx)) = ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))⟩})
62	12, 28, 61	3eqtr3rd 2238	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))⟩} = (.r‘𝑈))
63	1, 62	eqtr4id 2248	1 ⊢ (𝜑 → ∙ = ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))⟩})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   ≠ wne 2367  ∀wral 2475  Vcvv 2763  {csn 3623  {ctp 3625  ⟨cop 3626  ∪ ciun 3917   Fn wfn 5254  ⟶wf 5255  –onto→wfo 5257  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925  ℕcn 9007  ndxcnx 12700  Slot cslot 12702  Basecbs 12703  +_gcplusg 12780  ._rcmulr 12781   ·_𝑠 cvsca 12784   “_s cimas 13001

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-addass 7998  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-ltadd 8012

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-tp 3631  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-ltxr 8083  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-ndx 12706  df-slot 12707  df-base 12709  df-plusg 12793  df-mulr 12794  df-iimas 13004

This theorem is referenced by:  imasmulfn  13022  imasmulval  13023  imasmulf  13024  qusmulval  13039  qusmulf  13040