Theorem imasmulr 13308

Description: The ring multiplication in an image structure. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Jul-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
imasbas.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅))
imasbas.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
imasbas.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–onto→𝐵)
imasbas.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑍)
imasmulr.p	⊢ · = (.r‘𝑅)
imasmulr.t	⊢ ∙ = (.r‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
imasmulr	⊢ (𝜑 → ∙ = ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))⟩})

Distinct variable groups:   𝐹,𝑝,𝑞   𝑅,𝑝,𝑞   𝑉,𝑝,𝑞   𝜑,𝑝,𝑞

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑞,𝑝)   ∙ (𝑞,𝑝)   · (𝑞,𝑝)   𝑈(𝑞,𝑝)   𝑍(𝑞,𝑝)

Proof of Theorem imasmulr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imasmulr.t	. 2 ⊢ ∙ = (.r‘𝑈)
2		imasbas.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅))
3		imasbas.v	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
4		eqid 2209	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
5		imasmulr.p	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
6		eqid 2209	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑅) = ( ·𝑠 ‘𝑅)
7		eqidd 2210	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝(+g‘𝑅)𝑞))⟩} = ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝(+g‘𝑅)𝑞))⟩})
8		eqidd 2210	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))⟩} = ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))⟩})
9		imasbas.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–onto→𝐵)
10		imasbas.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑍)
11	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	imasival 13305	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝(+g‘𝑅)𝑞))⟩}⟩, ⟨(.r‘ndx), ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))⟩}⟩})
12	11	fveq1d 5605	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘(.r‘ndx)) = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝(+g‘𝑅)𝑞))⟩}⟩, ⟨(.r‘ndx), ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))⟩}⟩}‘(.r‘ndx)))
13		fof 5524	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:𝑉–onto→𝐵 → 𝐹:𝑉⟶𝐵)
14	9, 13	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉⟶𝐵)
15		basfn 13057	. . . . . . . . 9 ⊢ Base Fn V
16	10	elexd 2793	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
17		funfvex 5620	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝑅 ∈ dom Base) → (Base‘𝑅) ∈ V)
18	17	funfni 5399	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝑅) ∈ V)
19	15, 16, 18	sylancr 414	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) ∈ V)
20	3, 19	eqeltrd 2286	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ V)
21	14, 20	fexd 5842	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
22		imasex 13304	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ 𝑍) → (𝐹 “s 𝑅) ∈ V)
23	21, 10, 22	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “s 𝑅) ∈ V)
24	2, 23	eqeltrd 2286	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ V)
25		mulridx 13130	. . . 4 ⊢ .r = Slot (.r‘ndx)
26		mulrslid 13131	. . . . 5 ⊢ (.r = Slot (.r‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ∈ ℕ)
27	26	simpri 113	. . . 4 ⊢ (.r‘ndx) ∈ ℕ
28	24, 25, 27	strndxid 13026	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘(.r‘ndx)) = (.r‘𝑈))
29	27	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (.r‘ndx) ∈ ℕ)
30		vex 2782	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑝 ∈ V
31		fvexg 5622	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑝 ∈ V) → (𝐹‘𝑝) ∈ V)
32	21, 30, 31	sylancl 413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑝) ∈ V)
33		vex 2782	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑞 ∈ V
34		fvexg 5622	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑞 ∈ V) → (𝐹‘𝑞) ∈ V)
35	21, 33, 34	sylancl 413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑞) ∈ V)
36		opexg 4293	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹‘𝑝) ∈ V ∧ (𝐹‘𝑞) ∈ V) → ⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩ ∈ V)
37	32, 35, 36	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩ ∈ V)
38	26	slotex 13025	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑍 → (.r‘𝑅) ∈ V)
39	10, 38	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (.r‘𝑅) ∈ V)
40	5, 39	eqeltrid 2296	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → · ∈ V)
41	33	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑞 ∈ V)
42		ovexg 6008	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑝 ∈ V ∧ · ∈ V ∧ 𝑞 ∈ V) → (𝑝 · 𝑞) ∈ V)
43	30, 40, 41, 42	mp3an2i 1357	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑝 · 𝑞) ∈ V)
44		fvexg 5622	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ (𝑝 · 𝑞) ∈ V) → (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)) ∈ V)
45	21, 43, 44	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)) ∈ V)
46		opexg 4293	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩ ∈ V ∧ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)) ∈ V) → ⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))⟩ ∈ V)
47	37, 45, 46	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))⟩ ∈ V)
48		snexg 4247	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))⟩ ∈ V → {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))⟩} ∈ V)
49	47, 48	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))⟩} ∈ V)
50	49	ralrimivw 2584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))⟩} ∈ V)
51		iunexg 6234	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))⟩} ∈ V) → ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))⟩} ∈ V)
52	20, 50, 51	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))⟩} ∈ V)
53	52	ralrimivw 2584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))⟩} ∈ V)
54		iunexg 6234	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))⟩} ∈ V) → ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))⟩} ∈ V)
55	20, 53, 54	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))⟩} ∈ V)
56		basendxnmulrndx 13133	. . . . 5 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
57	56	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘ndx) ≠ (.r‘ndx))
58		plusgndxnmulrndx 13132	. . . . 5 ⊢ (+g‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
59	58	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (+g‘ndx) ≠ (.r‘ndx))
60		fvtp3g 5822	. . . 4 ⊢ ((((.r‘ndx) ∈ ℕ ∧ ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))⟩} ∈ V) ∧ ((Base‘ndx) ≠ (.r‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ≠ (.r‘ndx))) → ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝(+g‘𝑅)𝑞))⟩}⟩, ⟨(.r‘ndx), ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))⟩}⟩}‘(.r‘ndx)) = ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))⟩})
61	29, 55, 57, 59, 60	syl22anc 1253	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝(+g‘𝑅)𝑞))⟩}⟩, ⟨(.r‘ndx), ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))⟩}⟩}‘(.r‘ndx)) = ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))⟩})
62	12, 28, 61	3eqtr3rd 2251	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))⟩} = (.r‘𝑈))
63	1, 62	eqtr4id 2261	1 ⊢ (𝜑 → ∙ = ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))⟩})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1375   ∈ wcel 2180   ≠ wne 2380  ∀wral 2488  Vcvv 2779  {csn 3646  {ctp 3648  ⟨cop 3649  ∪ ciun 3944   Fn wfn 5289  ⟶wf 5290  –onto→wfo 5292  ‘cfv 5294  (class class class)co 5974  ℕcn 9078  ndxcnx 12995  Slot cslot 12997  Basecbs 12998  +_gcplusg 13076  ._rcmulr 13077   ·_𝑠 cvsca 13080   “_s cimas 13298

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-coll 4178  ax-sep 4181  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1cn 8060  ax-1re 8061  ax-icn 8062  ax-addcl 8063  ax-addrcl 8064  ax-mulcl 8065  ax-addcom 8067  ax-addass 8069  ax-i2m1 8072  ax-0lt1 8073  ax-0id 8075  ax-rnegex 8076  ax-pre-ltirr 8079  ax-pre-lttrn 8081  ax-pre-ltadd 8083

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-nel 2476  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-nul 3472  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-tp 3654  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-iun 3946  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-id 4361  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-f1 5299  df-fo 5300  df-f1o 5301  df-fv 5302  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-pnf 8151  df-mnf 8152  df-ltxr 8154  df-inn 9079  df-2 9137  df-3 9138  df-ndx 13001  df-slot 13002  df-base 13004  df-plusg 13089  df-mulr 13090  df-iimas 13301

This theorem is referenced by:  imasmulfn  13319  imasmulval  13320  imasmulf  13321  qusmulval  13336  qusmulf  13337