Theorem imasmulr 13394

Description: The ring multiplication in an image structure. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Jul-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
imasbas.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅))
imasbas.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
imasbas.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–onto→𝐵)
imasbas.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑍)
imasmulr.p	⊢ · = (.r‘𝑅)
imasmulr.t	⊢ ∙ = (.r‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
imasmulr	⊢ (𝜑 → ∙ = ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))⟩})

Distinct variable groups:   𝐹,𝑝,𝑞   𝑅,𝑝,𝑞   𝑉,𝑝,𝑞   𝜑,𝑝,𝑞

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑞,𝑝)   ∙ (𝑞,𝑝)   · (𝑞,𝑝)   𝑈(𝑞,𝑝)   𝑍(𝑞,𝑝)

Proof of Theorem imasmulr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imasmulr.t	. 2 ⊢ ∙ = (.r‘𝑈)
2		imasbas.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅))
3		imasbas.v	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
4		eqid 2231	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
5		imasmulr.p	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
6		eqid 2231	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑅) = ( ·𝑠 ‘𝑅)
7		eqidd 2232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝(+g‘𝑅)𝑞))⟩} = ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝(+g‘𝑅)𝑞))⟩})
8		eqidd 2232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))⟩} = ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))⟩})
9		imasbas.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–onto→𝐵)
10		imasbas.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑍)
11	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	imasival 13391	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝(+g‘𝑅)𝑞))⟩}⟩, ⟨(.r‘ndx), ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))⟩}⟩})
12	11	fveq1d 5641	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘(.r‘ndx)) = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝(+g‘𝑅)𝑞))⟩}⟩, ⟨(.r‘ndx), ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))⟩}⟩}‘(.r‘ndx)))
13		fof 5559	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:𝑉–onto→𝐵 → 𝐹:𝑉⟶𝐵)
14	9, 13	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉⟶𝐵)
15		basfn 13143	. . . . . . . . 9 ⊢ Base Fn V
16	10	elexd 2816	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
17		funfvex 5656	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝑅 ∈ dom Base) → (Base‘𝑅) ∈ V)
18	17	funfni 5432	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝑅) ∈ V)
19	15, 16, 18	sylancr 414	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) ∈ V)
20	3, 19	eqeltrd 2308	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ V)
21	14, 20	fexd 5884	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
22		imasex 13390	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ 𝑍) → (𝐹 “s 𝑅) ∈ V)
23	21, 10, 22	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “s 𝑅) ∈ V)
24	2, 23	eqeltrd 2308	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ V)
25		mulridx 13216	. . . 4 ⊢ .r = Slot (.r‘ndx)
26		mulrslid 13217	. . . . 5 ⊢ (.r = Slot (.r‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ∈ ℕ)
27	26	simpri 113	. . . 4 ⊢ (.r‘ndx) ∈ ℕ
28	24, 25, 27	strndxid 13112	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘(.r‘ndx)) = (.r‘𝑈))
29	27	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (.r‘ndx) ∈ ℕ)
30		vex 2805	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑝 ∈ V
31		fvexg 5658	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑝 ∈ V) → (𝐹‘𝑝) ∈ V)
32	21, 30, 31	sylancl 413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑝) ∈ V)
33		vex 2805	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑞 ∈ V
34		fvexg 5658	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑞 ∈ V) → (𝐹‘𝑞) ∈ V)
35	21, 33, 34	sylancl 413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑞) ∈ V)
36		opexg 4320	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹‘𝑝) ∈ V ∧ (𝐹‘𝑞) ∈ V) → ⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩ ∈ V)
37	32, 35, 36	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩ ∈ V)
38	26	slotex 13111	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑍 → (.r‘𝑅) ∈ V)
39	10, 38	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (.r‘𝑅) ∈ V)
40	5, 39	eqeltrid 2318	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → · ∈ V)
41	33	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑞 ∈ V)
42		ovexg 6052	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑝 ∈ V ∧ · ∈ V ∧ 𝑞 ∈ V) → (𝑝 · 𝑞) ∈ V)
43	30, 40, 41, 42	mp3an2i 1378	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑝 · 𝑞) ∈ V)
44		fvexg 5658	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ (𝑝 · 𝑞) ∈ V) → (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)) ∈ V)
45	21, 43, 44	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)) ∈ V)
46		opexg 4320	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩ ∈ V ∧ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)) ∈ V) → ⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))⟩ ∈ V)
47	37, 45, 46	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))⟩ ∈ V)
48		snexg 4274	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))⟩ ∈ V → {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))⟩} ∈ V)
49	47, 48	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))⟩} ∈ V)
50	49	ralrimivw 2606	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))⟩} ∈ V)
51		iunexg 6281	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))⟩} ∈ V) → ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))⟩} ∈ V)
52	20, 50, 51	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))⟩} ∈ V)
53	52	ralrimivw 2606	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))⟩} ∈ V)
54		iunexg 6281	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))⟩} ∈ V) → ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))⟩} ∈ V)
55	20, 53, 54	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))⟩} ∈ V)
56		basendxnmulrndx 13219	. . . . 5 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
57	56	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘ndx) ≠ (.r‘ndx))
58		plusgndxnmulrndx 13218	. . . . 5 ⊢ (+g‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
59	58	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (+g‘ndx) ≠ (.r‘ndx))
60		fvtp3g 5864	. . . 4 ⊢ ((((.r‘ndx) ∈ ℕ ∧ ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))⟩} ∈ V) ∧ ((Base‘ndx) ≠ (.r‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ≠ (.r‘ndx))) → ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝(+g‘𝑅)𝑞))⟩}⟩, ⟨(.r‘ndx), ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))⟩}⟩}‘(.r‘ndx)) = ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))⟩})
61	29, 55, 57, 59, 60	syl22anc 1274	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝(+g‘𝑅)𝑞))⟩}⟩, ⟨(.r‘ndx), ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))⟩}⟩}‘(.r‘ndx)) = ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))⟩})
62	12, 28, 61	3eqtr3rd 2273	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))⟩} = (.r‘𝑈))
63	1, 62	eqtr4id 2283	1 ⊢ (𝜑 → ∙ = ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨(𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))⟩})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1397   ∈ wcel 2202   ≠ wne 2402  ∀wral 2510  Vcvv 2802  {csn 3669  {ctp 3671  ⟨cop 3672  ∪ ciun 3970   Fn wfn 5321  ⟶wf 5322  –onto→wfo 5324  ‘cfv 5326  (class class class)co 6018  ℕcn 9143  ndxcnx 13081  Slot cslot 13083  Basecbs 13084  +_gcplusg 13162  ._rcmulr 13163   ·_𝑠 cvsca 13166   “_s cimas 13384

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-tp 3677  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-ltxr 8219  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-ndx 13087  df-slot 13088  df-base 13090  df-plusg 13175  df-mulr 13176  df-iimas 13387

This theorem is referenced by:  imasmulfn  13405  imasmulval  13406  imasmulf  13407  qusmulval  13422  qusmulf  13423