Theorem toponuni 14674

Description: The base set of a topology on a given base set. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
toponuni	⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 = ∪ 𝐽)

Proof of Theorem toponuni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		istopon 14672	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵 = ∪ 𝐽))
2	1	simprbi 275	1 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 = ∪ 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∪ cuni 3887  ‘cfv 5314  Topctop 14656  TopOnctopon 14669

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4381  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fv 5322  df-topon 14670

This theorem is referenced by:  toponunii  14676  toponmax  14684  toponss  14685  toponcom  14686  topgele  14688  topontopn  14696  restuni  14831  resttopon2  14837  lmfval  14851  cnfval  14853  cnpfval  14854  cnprcl2k  14865  ssidcn  14869  iscnp4  14877  cnntr  14884  cncnp  14889  cnptopresti  14897  txtopon  14921  txuni  14922  cnmpt1t  14944  cnmpt2t  14952  cnmpt1res  14955  cnmpt2res  14956  mopnuni  15104  isxms2  15111  limccnp2lem  15335  limccnp2cntop  15336  dvfvalap  15340  dvbss  15344  dvfgg  15347  dvcnp2cntop  15358  dvaddxxbr  15360  dvmulxxbr  15361