Theorem toponuni 14745

Description: The base set of a topology on a given base set. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
toponuni	⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 = ∪ 𝐽)

Proof of Theorem toponuni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		istopon 14743	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵 = ∪ 𝐽))
2	1	simprbi 275	1 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 = ∪ 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ∪ cuni 3893  ‘cfv 5326  Topctop 14727  TopOnctopon 14740

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-topon 14741

This theorem is referenced by:  toponunii  14747  toponmax  14755  toponss  14756  toponcom  14757  topgele  14759  topontopn  14767  restuni  14902  resttopon2  14908  lmfval  14923  cnfval  14924  cnpfval  14925  cnprcl2k  14936  ssidcn  14940  iscnp4  14948  cnntr  14955  cncnp  14960  cnptopresti  14968  txtopon  14992  txuni  14993  cnmpt1t  15015  cnmpt2t  15023  cnmpt1res  15026  cnmpt2res  15027  mopnuni  15175  isxms2  15182  limccnp2lem  15406  limccnp2cntop  15407  dvfvalap  15411  dvbss  15415  dvfgg  15418  dvcnp2cntop  15429  dvaddxxbr  15431  dvmulxxbr  15432