Theorem toponuni 15010

Description: The base set of a topology on a given base set. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
toponuni	⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 = ∪ 𝐽)

Proof of Theorem toponuni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		istopon 15008	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵 = ∪ 𝐽))
2	1	simprbi 275	1 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 = ∪ 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ∪ cuni 3919  ‘cfv 5357  Topctop 14992  TopOnctopon 15005

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fv 5365  df-topon 15006

This theorem is referenced by:  toponunii  15012  toponmax  15020  toponss  15021  toponcom  15022  topgele  15024  topontopn  15032  restuni  15167  resttopon2  15173  lmfval  15188  cnfval  15189  cnpfval  15190  cnprcl2k  15201  ssidcn  15205  iscnp4  15213  cnntr  15220  cncnp  15225  cnptopresti  15233  txtopon  15257  txuni  15258  cnmpt1t  15280  cnmpt2t  15288  cnmpt1res  15291  cnmpt2res  15292  mopnuni  15440  isxms2  15447  limccnp2lem  15671  limccnp2cntop  15672  dvfvalap  15676  dvbss  15680  dvfgg  15683  dvcnp2cntop  15694  dvaddxxbr  15696  dvmulxxbr  15697