Theorem toponuni 13084

Description: The base set of a topology on a given base set. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
toponuni	⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 = ∪ 𝐽)

Proof of Theorem toponuni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		istopon 13082	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵 = ∪ 𝐽))
2	1	simprbi 275	1 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 = ∪ 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1353   ∈ wcel 2146  ∪ cuni 3805  ‘cfv 5208  Topctop 13066  TopOnctopon 13079

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ral 2458  df-rex 2459  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-id 4287  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fv 5216  df-topon 13080

This theorem is referenced by:  toponunii  13086  toponmax  13094  toponss  13095  toponcom  13096  topgele  13098  topontopn  13106  restuni  13243  resttopon2  13249  lmfval  13263  cnfval  13265  cnpfval  13266  cnprcl2k  13277  ssidcn  13281  iscnp4  13289  cnntr  13296  cncnp  13301  cnptopresti  13309  txtopon  13333  txuni  13334  cnmpt1t  13356  cnmpt2t  13364  cnmpt1res  13367  cnmpt2res  13368  mopnuni  13516  isxms2  13523  limccnp2lem  13716  limccnp2cntop  13717  dvfvalap  13721  dvbss  13725  dvfgg  13728  dvcnp2cntop  13734  dvaddxxbr  13736  dvmulxxbr  13737