Theorem toponuni 15099

Description: The base set of a topology on a given base set. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
toponuni	⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 = ∪ 𝐽)

Proof of Theorem toponuni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		istopon 15097	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵 = ∪ 𝐽))
2	1	simprbi 275	1 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 = ∪ 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∪ cuni 3933  ‘cfv 5375  Topctop 15081  TopOnctopon 15094

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fv 5383  df-topon 15095

This theorem is referenced by:  toponunii  15101  toponmax  15109  toponss  15110  toponcom  15111  topgele  15113  topontopn  15121  restuni  15256  resttopon2  15262  lmfval  15277  cnfval  15278  cnpfval  15279  cnprcl2k  15290  ssidcn  15294  iscnp4  15302  cnntr  15309  cncnp  15314  cnptopresti  15322  txtopon  15346  txuni  15347  cnmpt1t  15369  cnmpt2t  15377  cnmpt1res  15380  cnmpt2res  15381  mopnuni  15529  isxms2  15536  limccnp2lem  15760  limccnp2cntop  15761  dvfvalap  15765  dvbss  15769  dvfgg  15772  dvcnp2cntop  15783  dvaddxxbr  15785  dvmulxxbr  15786