Theorem toponuni 14872

Description: The base set of a topology on a given base set. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
toponuni	⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 = ∪ 𝐽)

Proof of Theorem toponuni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		istopon 14870	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵 = ∪ 𝐽))
2	1	simprbi 275	1 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 = ∪ 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  ∪ cuni 3913  ‘cfv 5351  Topctop 14854  TopOnctopon 14867

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fv 5359  df-topon 14868

This theorem is referenced by:  toponunii  14874  toponmax  14882  toponss  14883  toponcom  14884  topgele  14886  topontopn  14894  restuni  15029  resttopon2  15035  lmfval  15050  cnfval  15051  cnpfval  15052  cnprcl2k  15063  ssidcn  15067  iscnp4  15075  cnntr  15082  cncnp  15087  cnptopresti  15095  txtopon  15119  txuni  15120  cnmpt1t  15142  cnmpt2t  15150  cnmpt1res  15153  cnmpt2res  15154  mopnuni  15302  isxms2  15309  limccnp2lem  15533  limccnp2cntop  15534  dvfvalap  15538  dvbss  15542  dvfgg  15545  dvcnp2cntop  15556  dvaddxxbr  15558  dvmulxxbr  15559