Theorem toponuni 14732

Description: The base set of a topology on a given base set. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
toponuni	⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 = ∪ 𝐽)

Proof of Theorem toponuni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		istopon 14730	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵 = ∪ 𝐽))
2	1	simprbi 275	1 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 = ∪ 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∪ cuni 3891  ‘cfv 5324  Topctop 14714  TopOnctopon 14727

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fv 5332  df-topon 14728

This theorem is referenced by:  toponunii  14734  toponmax  14742  toponss  14743  toponcom  14744  topgele  14746  topontopn  14754  restuni  14889  resttopon2  14895  lmfval  14910  cnfval  14911  cnpfval  14912  cnprcl2k  14923  ssidcn  14927  iscnp4  14935  cnntr  14942  cncnp  14947  cnptopresti  14955  txtopon  14979  txuni  14980  cnmpt1t  15002  cnmpt2t  15010  cnmpt1res  15013  cnmpt2res  15014  mopnuni  15162  isxms2  15169  limccnp2lem  15393  limccnp2cntop  15394  dvfvalap  15398  dvbss  15402  dvfgg  15405  dvcnp2cntop  15416  dvaddxxbr  15418  dvmulxxbr  15419