Theorem toponuni 14648

Description: The base set of a topology on a given base set. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
toponuni	⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 = ∪ 𝐽)

Proof of Theorem toponuni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		istopon 14646	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵 = ∪ 𝐽))
2	1	simprbi 275	1 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 = ∪ 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1373   ∈ wcel 2178  ∪ cuni 3865  ‘cfv 5291  Topctop 14630  TopOnctopon 14643

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4179  ax-pow 4235  ax-pr 4270  ax-un 4499

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-rab 2495  df-v 2779  df-sbc 3007  df-un 3179  df-in 3181  df-ss 3188  df-pw 3629  df-sn 3650  df-pr 3651  df-op 3653  df-uni 3866  df-br 4061  df-opab 4123  df-mpt 4124  df-id 4359  df-xp 4700  df-rel 4701  df-cnv 4702  df-co 4703  df-dm 4704  df-iota 5252  df-fun 5293  df-fv 5299  df-topon 14644

This theorem is referenced by:  toponunii  14650  toponmax  14658  toponss  14659  toponcom  14660  topgele  14662  topontopn  14670  restuni  14805  resttopon2  14811  lmfval  14825  cnfval  14827  cnpfval  14828  cnprcl2k  14839  ssidcn  14843  iscnp4  14851  cnntr  14858  cncnp  14863  cnptopresti  14871  txtopon  14895  txuni  14896  cnmpt1t  14918  cnmpt2t  14926  cnmpt1res  14929  cnmpt2res  14930  mopnuni  15078  isxms2  15085  limccnp2lem  15309  limccnp2cntop  15310  dvfvalap  15314  dvbss  15318  dvfgg  15321  dvcnp2cntop  15332  dvaddxxbr  15334  dvmulxxbr  15335