Theorem toponuni 15168

Description: The base set of a topology on a given base set. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
toponuni	⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 = ∪ 𝐽)

Proof of Theorem toponuni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		istopon 15166	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵 = ∪ 𝐽))
2	1	simprbi 275	1 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 = ∪ 𝐽)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∪ cuni 3935  ‘cfv 5377  Topctop 15150  TopOnctopon 15163

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-topon 15164

This theorem is used by:  toponunii  15170  toponmax  15178  toponss  15179  toponcom  15180  topgele  15182  topontopn  15190  restuni  15325  resttopon2  15331  lmfval  15346  cnfval  15347  cnpfval  15348  cnprcl2k  15359  ssidcn  15363  iscnp4  15371  cnntr  15378  cncnp  15383  cnptopresti  15391  txtopon  15415  txuni  15416  cnmpt1t  15438  cnmpt2t  15446  cnmpt1res  15449  cnmpt2res  15450  mopnuni  15598  isxms2  15605  limccnp2lem  15829  limccnp2cntop  15830  dvfvalap  15834  dvbss  15838  dvfgg  15841  dvcnp2cntop  15852  dvaddxxbr  15854  dvmulxxbr  15855