Theorem toponuni 14183

Description: The base set of a topology on a given base set. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
toponuni	⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 = ∪ 𝐽)

Proof of Theorem toponuni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		istopon 14181	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵 = ∪ 𝐽))
2	1	simprbi 275	1 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 = ∪ 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ∪ cuni 3835  ‘cfv 5254  Topctop 14165  TopOnctopon 14178

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fv 5262  df-topon 14179

This theorem is referenced by:  toponunii  14185  toponmax  14193  toponss  14194  toponcom  14195  topgele  14197  topontopn  14205  restuni  14340  resttopon2  14346  lmfval  14360  cnfval  14362  cnpfval  14363  cnprcl2k  14374  ssidcn  14378  iscnp4  14386  cnntr  14393  cncnp  14398  cnptopresti  14406  txtopon  14430  txuni  14431  cnmpt1t  14453  cnmpt2t  14461  cnmpt1res  14464  cnmpt2res  14465  mopnuni  14613  isxms2  14620  limccnp2lem  14830  limccnp2cntop  14831  dvfvalap  14835  dvbss  14839  dvfgg  14842  dvcnp2cntop  14848  dvaddxxbr  14850  dvmulxxbr  14851