Theorem toponuni 14710

Description: The base set of a topology on a given base set. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
toponuni	⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 = ∪ 𝐽)

Proof of Theorem toponuni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		istopon 14708	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵 = ∪ 𝐽))
2	1	simprbi 275	1 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 = ∪ 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∪ cuni 3888  ‘cfv 5321  Topctop 14692  TopOnctopon 14705

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4385  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fv 5329  df-topon 14706

This theorem is referenced by:  toponunii  14712  toponmax  14720  toponss  14721  toponcom  14722  topgele  14724  topontopn  14732  restuni  14867  resttopon2  14873  lmfval  14888  cnfval  14889  cnpfval  14890  cnprcl2k  14901  ssidcn  14905  iscnp4  14913  cnntr  14920  cncnp  14925  cnptopresti  14933  txtopon  14957  txuni  14958  cnmpt1t  14980  cnmpt2t  14988  cnmpt1res  14991  cnmpt2res  14992  mopnuni  15140  isxms2  15147  limccnp2lem  15371  limccnp2cntop  15372  dvfvalap  15376  dvbss  15380  dvfgg  15383  dvcnp2cntop  15394  dvaddxxbr  15396  dvmulxxbr  15397