Theorem toponuni 13600

Description: The base set of a topology on a given base set. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
toponuni	⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 = ∪ 𝐽)

Proof of Theorem toponuni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		istopon 13598	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵 = ∪ 𝐽))
2	1	simprbi 275	1 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 = ∪ 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ∪ cuni 3811  ‘cfv 5218  Topctop 13582  TopOnctopon 13595

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226  df-topon 13596

This theorem is referenced by:  toponunii  13602  toponmax  13610  toponss  13611  toponcom  13612  topgele  13614  topontopn  13622  restuni  13757  resttopon2  13763  lmfval  13777  cnfval  13779  cnpfval  13780  cnprcl2k  13791  ssidcn  13795  iscnp4  13803  cnntr  13810  cncnp  13815  cnptopresti  13823  txtopon  13847  txuni  13848  cnmpt1t  13870  cnmpt2t  13878  cnmpt1res  13881  cnmpt2res  13882  mopnuni  14030  isxms2  14037  limccnp2lem  14230  limccnp2cntop  14231  dvfvalap  14235  dvbss  14239  dvfgg  14242  dvcnp2cntop  14248  dvaddxxbr  14250  dvmulxxbr  14251