Theorem toponuni 15274

Description: The base set of a topology on a given base set. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
toponuni	⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 = ∪ 𝐽)

Proof of Theorem toponuni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		istopon 15272	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵 = ∪ 𝐽))
2	1	simprbi 275	1 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 = ∪ 𝐽)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∪ cuni 3935  ‘cfv 5380  Topctop 15256  TopOnctopon 15269

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388  df-topon 15270

This theorem is used by:  toponunii  15276  toponmax  15284  toponss  15285  toponcom  15286  topgele  15288  topontopn  15296  restuni  15431  resttopon2  15437  lmfval  15452  cnfval  15453  cnpfval  15454  cnprcl2k  15465  ssidcn  15469  iscnp4  15477  cnntr  15484  cncnp  15489  cnptopresti  15497  txtopon  15521  txuni  15522  cnmpt1t  15544  cnmpt2t  15552  cnmpt1res  15555  cnmpt2res  15556  mopnuni  15704  isxms2  15711  limccnp2lem  15935  limccnp2cntop  15936  dvfvalap  15940  dvbss  15944  dvfgg  15947  dvcnp2cntop  15958  dvaddxxbr  15960  dvmulxxbr  15961