Theorem toponuni 15253

Description: The base set of a topology on a given base set. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
toponuni	⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 = ∪ 𝐽)

Proof of Theorem toponuni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		istopon 15251	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵 = ∪ 𝐽))
2	1	simprbi 275	1 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 = ∪ 𝐽)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∪ cuni 3935  ‘cfv 5380  Topctop 15235  TopOnctopon 15248

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388  df-topon 15249

This theorem is used by:  toponunii  15255  toponmax  15263  toponss  15264  toponcom  15265  topgele  15267  topontopn  15275  restuni  15410  resttopon2  15416  lmfval  15431  cnfval  15432  cnpfval  15433  cnprcl2k  15444  ssidcn  15448  iscnp4  15456  cnntr  15463  cncnp  15468  cnptopresti  15476  txtopon  15500  txuni  15501  cnmpt1t  15523  cnmpt2t  15531  cnmpt1res  15534  cnmpt2res  15535  mopnuni  15683  isxms2  15690  limccnp2lem  15914  limccnp2cntop  15915  dvfvalap  15919  dvbss  15923  dvfgg  15926  dvcnp2cntop  15937  dvaddxxbr  15939  dvmulxxbr  15940