Theorem toponuni 14697

Description: The base set of a topology on a given base set. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
toponuni	⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 = ∪ 𝐽)

Proof of Theorem toponuni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		istopon 14695	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵 = ∪ 𝐽))
2	1	simprbi 275	1 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 = ∪ 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∪ cuni 3888  ‘cfv 5318  Topctop 14679  TopOnctopon 14692

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-topon 14693

This theorem is referenced by:  toponunii  14699  toponmax  14707  toponss  14708  toponcom  14709  topgele  14711  topontopn  14719  restuni  14854  resttopon2  14860  lmfval  14875  cnfval  14876  cnpfval  14877  cnprcl2k  14888  ssidcn  14892  iscnp4  14900  cnntr  14907  cncnp  14912  cnptopresti  14920  txtopon  14944  txuni  14945  cnmpt1t  14967  cnmpt2t  14975  cnmpt1res  14978  cnmpt2res  14979  mopnuni  15127  isxms2  15134  limccnp2lem  15358  limccnp2cntop  15359  dvfvalap  15363  dvbss  15367  dvfgg  15370  dvcnp2cntop  15381  dvaddxxbr  15383  dvmulxxbr  15384