Theorem topontop 14737

Description: A topology on a given base set is a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
topontop	⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐽 ∈ Top)

Proof of Theorem topontop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		istopon 14736	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵 = ∪ 𝐽))
2	1	simplbi 274	1 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐽 ∈ Top)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ∪ cuni 3893  ‘cfv 5326  Topctop 14720  TopOnctopon 14733

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-topon 14734

This theorem is referenced by:  topontopi  14739  topontopon  14743  toponmax  14748  topgele  14752  istps  14755  topontopn  14760  resttopon  14894  resttopon2  14901  lmfval  14916  cnfval  14917  cnpfval  14918  cnprcl2k  14929  cnpf2  14930  tgcn  14931  tgcnp  14932  iscnp4  14941  cnntr  14948  cncnp  14953  cnptopresti  14961  txtopon  14985  txcnp  14994  txlm  15002  cnmpt2res  15020  mopntop  15167  metcnpi  15238  metcnpi3  15240  dvfvalap  15404  dvfgg  15411  dvaddxxbr  15424  dvmulxxbr  15425