Theorem topontop 15206

Description: A topology on a given base set is a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
topontop	⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐽 ∈ Top)

Proof of Theorem topontop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		istopon 15205	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵 = ∪ 𝐽))
2	1	simplbi 274	1 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐽 ∈ Top)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∪ cuni 3935  ‘cfv 5377  Topctop 15189  TopOnctopon 15202

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-topon 15203

This theorem is used by:  topontopi  15208  topontopon  15212  toponmax  15217  topgele  15221  istps  15224  topontopn  15229  resttopon  15363  resttopon2  15370  lmfval  15385  cnfval  15386  cnpfval  15387  cnprcl2k  15398  cnpf2  15399  tgcn  15400  tgcnp  15401  iscnp4  15410  cnntr  15417  cncnp  15422  cnptopresti  15430  txtopon  15454  txcnp  15463  txlm  15471  cnmpt2res  15489  mopntop  15636  metcnpi  15707  metcnpi3  15709  dvfvalap  15873  dvfgg  15880  dvaddxxbr  15893  dvmulxxbr  15894