Theorem topontop 14879

Description: A topology on a given base set is a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
topontop	⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐽 ∈ Top)

Proof of Theorem topontop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		istopon 14878	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵 = ∪ 𝐽))
2	1	simplbi 274	1 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐽 ∈ Top)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  ∪ cuni 3914  ‘cfv 5352  Topctop 14862  TopOnctopon 14875

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fv 5360  df-topon 14876

This theorem is referenced by:  topontopi  14881  topontopon  14885  toponmax  14890  topgele  14894  istps  14897  topontopn  14902  resttopon  15036  resttopon2  15043  lmfval  15058  cnfval  15059  cnpfval  15060  cnprcl2k  15071  cnpf2  15072  tgcn  15073  tgcnp  15074  iscnp4  15083  cnntr  15090  cncnp  15095  cnptopresti  15103  txtopon  15127  txcnp  15136  txlm  15144  cnmpt2res  15162  mopntop  15309  metcnpi  15380  metcnpi3  15382  dvfvalap  15546  dvfgg  15553  dvaddxxbr  15566  dvmulxxbr  15567