ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  tposf GIF version

Theorem tposf 6162
Description: The domain and range of a transposition. (Contributed by NM, 10-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
tposf (𝐹:(𝐴 × 𝐵)⟶𝐶 → tpos 𝐹:(𝐵 × 𝐴)⟶𝐶)

Proof of Theorem tposf
StepHypRef Expression
1 relxp 4643 . . 3 Rel (𝐴 × 𝐵)
2 tposf2 6158 . . 3 (Rel (𝐴 × 𝐵) → (𝐹:(𝐴 × 𝐵)⟶𝐶 → tpos 𝐹:(𝐴 × 𝐵)⟶𝐶))
31, 2ax-mp 5 . 2 (𝐹:(𝐴 × 𝐵)⟶𝐶 → tpos 𝐹:(𝐴 × 𝐵)⟶𝐶)
4 cnvxp 4952 . . 3 (𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴)
54feq2i 5261 . 2 (tpos 𝐹:(𝐴 × 𝐵)⟶𝐶 ↔ tpos 𝐹:(𝐵 × 𝐴)⟶𝐶)
63, 5sylib 121 1 (𝐹:(𝐴 × 𝐵)⟶𝐶 → tpos 𝐹:(𝐵 × 𝐴)⟶𝐶)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   × cxp 4532  ccnv 4533  Rel wrel 4539  wf 5114  tpos ctpos 6134
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-fo 5124  df-fv 5126  df-tpos 6135
This theorem is referenced by:  tposfn  6163
  Copyright terms: Public domain W3C validator