Theorem tposf 6370

Description: The domain and codomain of a transposition. (Contributed by NM, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tposf	⊢ (𝐹:(𝐴 × 𝐵)⟶𝐶 → tpos 𝐹:(𝐵 × 𝐴)⟶𝐶)

Proof of Theorem tposf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relxp 4791	. . 3 ⊢ Rel (𝐴 × 𝐵)
2		tposf2 6366	. . 3 ⊢ (Rel (𝐴 × 𝐵) → (𝐹:(𝐴 × 𝐵)⟶𝐶 → tpos 𝐹:◡(𝐴 × 𝐵)⟶𝐶))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐹:(𝐴 × 𝐵)⟶𝐶 → tpos 𝐹:◡(𝐴 × 𝐵)⟶𝐶)
4		cnvxp 5109	. . 3 ⊢ ◡(𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴)
5	4	feq2i 5428	. 2 ⊢ (tpos 𝐹:◡(𝐴 × 𝐵)⟶𝐶 ↔ tpos 𝐹:(𝐵 × 𝐴)⟶𝐶)
6	3, 5	sylib 122	1 ⊢ (𝐹:(𝐴 × 𝐵)⟶𝐶 → tpos 𝐹:(𝐵 × 𝐴)⟶𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   × cxp 4680  ^◡ccnv 4681  Rel wrel 4687  ⟶wf 5275  tpos ctpos 6342

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4169  ax-nul 4177  ax-pow 4225  ax-pr 4260  ax-un 4487

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3622  df-sn 3643  df-pr 3644  df-op 3646  df-uni 3856  df-br 4051  df-opab 4113  df-mpt 4114  df-id 4347  df-xp 4688  df-rel 4689  df-cnv 4690  df-co 4691  df-dm 4692  df-rn 4693  df-res 4694  df-ima 4695  df-iota 5240  df-fun 5281  df-fn 5282  df-f 5283  df-fo 5285  df-fv 5287  df-tpos 6343

This theorem is referenced by:  tposfn  6371