Theorem tposf1o2 6386

Description: Condition of a bijective transposition. (Contributed by NM, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tposf1o2	⊢ (Rel 𝐴 → (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → tpos 𝐹:◡𝐴–1-1-onto→𝐵))

Proof of Theorem tposf1o2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tposf12 6385	. . 3 ⊢ (Rel 𝐴 → (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → tpos 𝐹:◡𝐴–1-1→𝐵))
2		tposfo2 6383	. . 3 ⊢ (Rel 𝐴 → (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → tpos 𝐹:◡𝐴–onto→𝐵))
3	1, 2	anim12d 335	. 2 ⊢ (Rel 𝐴 → ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) → (tpos 𝐹:◡𝐴–1-1→𝐵 ∧ tpos 𝐹:◡𝐴–onto→𝐵)))
4		df-f1o 5301	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ↔ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵))
5		df-f1o 5301	. 2 ⊢ (tpos 𝐹:◡𝐴–1-1-onto→𝐵 ↔ (tpos 𝐹:◡𝐴–1-1→𝐵 ∧ tpos 𝐹:◡𝐴–onto→𝐵))
6	3, 4, 5	3imtr4g 205	1 ⊢ (Rel 𝐴 → (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → tpos 𝐹:◡𝐴–1-1-onto→𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104  ^◡ccnv 4695  Rel wrel 4701  –1-1→wf1 5291  –onto→wfo 5292  –1-1-onto→wf1o 5293  tpos ctpos 6360

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-sep 4181  ax-nul 4189  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-ral 2493  df-rex 2494  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-nul 3472  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-id 4361  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-f1 5299  df-fo 5300  df-f1o 5301  df-fv 5302  df-1st 6256  df-2nd 6257  df-tpos 6361

This theorem is referenced by: (None)