Theorem zrevaddcl 9674

Description: Reverse closure law for addition of integers. (Contributed by NM, 11-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
zrevaddcl	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ) ↔ 𝑀 ∈ ℤ))

Proof of Theorem zrevaddcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 9628	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
2		pncan 8522	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑁) = 𝑀)
3	1, 2	sylan2 286	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑁) = 𝑀)
4	3	ancoms 268	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑁) = 𝑀)
5	4	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑁) = 𝑀)
6		zsubcl 9664	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑁) ∈ ℤ)
7	6	ancoms 268	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑁) ∈ ℤ)
8	7	adantlr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑁) ∈ ℤ)
9	5, 8	eqeltrrd 2316	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
10	9	ex 115	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℤ))
11		zaddcl 9663	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
12	11	expcom 116	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ))
13	12	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ))
14	10, 13	impbid 129	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ ↔ 𝑀 ∈ ℤ))
15	14	pm5.32da 456	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ) ↔ (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)))
16		zcn 9628	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
17	16	pm4.71ri 396	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ ↔ (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℤ))
18	15, 17	bitr4di 198	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ) ↔ 𝑀 ∈ ℤ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  (class class class)co 6075  ℂcc 8167   + caddc 8172   − cmin 8487  ℤcz 9623

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-n0 9543  df-z 9624

This theorem is referenced by:  eqreznegel  9993