Theorem zrevaddcl 9262

Description: Reverse closure law for addition of integers. (Contributed by NM, 11-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
zrevaddcl	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ) ↔ 𝑀 ∈ ℤ))

Proof of Theorem zrevaddcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 9217	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
2		pncan 8125	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑁) = 𝑀)
3	1, 2	sylan2 284	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑁) = 𝑀)
4	3	ancoms 266	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑁) = 𝑀)
5	4	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑁) = 𝑀)
6		zsubcl 9253	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑁) ∈ ℤ)
7	6	ancoms 266	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑁) ∈ ℤ)
8	7	adantlr 474	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑁) ∈ ℤ)
9	5, 8	eqeltrrd 2248	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
10	9	ex 114	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℤ))
11		zaddcl 9252	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
12	11	expcom 115	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ))
13	12	adantr 274	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ))
14	10, 13	impbid 128	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ ↔ 𝑀 ∈ ℤ))
15	14	pm5.32da 449	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ) ↔ (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)))
16		zcn 9217	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
17	16	pm4.71ri 390	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ ↔ (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℤ))
18	15, 17	bitr4di 197	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ) ↔ 𝑀 ∈ ℤ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  (class class class)co 5853  ℂcc 7772   + caddc 7777   − cmin 8090  ℤcz 9212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-ltadd 7890

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213

This theorem is referenced by:  eqreznegel  9573