Theorem zrevaddcl 9393

Description: Reverse closure law for addition of integers. (Contributed by NM, 11-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
zrevaddcl	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ) ↔ 𝑀 ∈ ℤ))

Proof of Theorem zrevaddcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 9348	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
2		pncan 8249	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑁) = 𝑀)
3	1, 2	sylan2 286	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑁) = 𝑀)
4	3	ancoms 268	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑁) = 𝑀)
5	4	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑁) = 𝑀)
6		zsubcl 9384	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑁) ∈ ℤ)
7	6	ancoms 268	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑁) ∈ ℤ)
8	7	adantlr 477	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑁) ∈ ℤ)
9	5, 8	eqeltrrd 2274	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
10	9	ex 115	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℤ))
11		zaddcl 9383	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
12	11	expcom 116	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ))
13	12	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ))
14	10, 13	impbid 129	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ ↔ 𝑀 ∈ ℤ))
15	14	pm5.32da 452	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ) ↔ (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)))
16		zcn 9348	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
17	16	pm4.71ri 392	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ ↔ (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℤ))
18	15, 17	bitr4di 198	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ) ↔ 𝑀 ∈ ℤ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  (class class class)co 5925  ℂcc 7894   + caddc 7899   − cmin 8214  ℤcz 9343

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-addass 7998  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-ltadd 8012

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-inn 9008  df-n0 9267  df-z 9344

This theorem is referenced by:  eqreznegel  9705