Theorem zrevaddcl 9249

Description: Reverse closure law for addition of integers. (Contributed by NM, 11-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
zrevaddcl	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ) ↔ 𝑀 ∈ ℤ))

Proof of Theorem zrevaddcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 9204	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
2		pncan 8112	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑁) = 𝑀)
3	1, 2	sylan2 284	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑁) = 𝑀)
4	3	ancoms 266	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑁) = 𝑀)
5	4	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑁) = 𝑀)
6		zsubcl 9240	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑁) ∈ ℤ)
7	6	ancoms 266	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑁) ∈ ℤ)
8	7	adantlr 474	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑁) ∈ ℤ)
9	5, 8	eqeltrrd 2248	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
10	9	ex 114	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℤ))
11		zaddcl 9239	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
12	11	expcom 115	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ))
13	12	adantr 274	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ))
14	10, 13	impbid 128	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ ↔ 𝑀 ∈ ℤ))
15	14	pm5.32da 449	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ) ↔ (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)))
16		zcn 9204	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
17	16	pm4.71ri 390	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ ↔ (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℤ))
18	15, 17	bitr4di 197	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ) ↔ 𝑀 ∈ ℤ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  (class class class)co 5850  ℂcc 7759   + caddc 7764   − cmin 8077  ℤcz 9199

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-cnex 7852  ax-resscn 7853  ax-1cn 7854  ax-1re 7855  ax-icn 7856  ax-addcl 7857  ax-addrcl 7858  ax-mulcl 7859  ax-addcom 7861  ax-addass 7863  ax-distr 7865  ax-i2m1 7866  ax-0lt1 7867  ax-0id 7869  ax-rnegex 7870  ax-cnre 7872  ax-pre-ltirr 7873  ax-pre-ltwlin 7874  ax-pre-lttrn 7875  ax-pre-ltadd 7877

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-br 3988  df-opab 4049  df-id 4276  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fv 5204  df-riota 5806  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-pnf 7943  df-mnf 7944  df-xr 7945  df-ltxr 7946  df-le 7947  df-sub 8079  df-neg 8080  df-inn 8866  df-n0 9123  df-z 9200

This theorem is referenced by:  eqreznegel  9560