Theorem uzss 9767

Description: Subset relationship for two sets of upper integers. (Contributed by NM, 5-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
uzss	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (ℤ≥‘𝑁) ⊆ (ℤ≥‘𝑀))

Proof of Theorem uzss

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzle 9758	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)
2	1	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑀 ≤ 𝑁)
3		eluzel2 9750	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
4		eluzelz 9755	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
5	3, 4	jca 306	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
6		zletr 9519	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑘) → 𝑀 ≤ 𝑘))
7	6	3expa 1227	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑘) → 𝑀 ≤ 𝑘))
8	5, 7	sylan 283	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑘) → 𝑀 ≤ 𝑘))
9	2, 8	mpand 429	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ 𝑘 → 𝑀 ≤ 𝑘))
10	9	imdistanda 448	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑘) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘)))
11		eluz1 9749	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑘)))
12	4, 11	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑘)))
13		eluz1 9749	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘)))
14	3, 13	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘)))
15	10, 12, 14	3imtr4d 203	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
16	15	ssrdv 3231	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (ℤ≥‘𝑁) ⊆ (ℤ≥‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2200   ⊆ wss 3198   class class class wbr 4086  ‘cfv 5324   ≤ cle 8205  ℤcz 9469  ℤ_≥cuz 9745

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-pre-ltwlin 8135

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-fv 5332  df-ov 6016  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-neg 8343  df-z 9470  df-uz 9746

This theorem is referenced by:  uzin  9779  uzuzle35  9789  uznnssnn  9801  fzopth  10286  4fvwrd4  10365  fzouzsplit  10406  seq3feq2  10728  seq3split  10740  cau3lem  11665  isumsplit  12042  isumrpcl  12045  clim2prod  12090  isprm3  12680  pcfac  12913  plycoeid3  15471