Theorem uzss 9370

Description: Subset relationship for two sets of upper integers. (Contributed by NM, 5-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
uzss	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (ℤ≥‘𝑁) ⊆ (ℤ≥‘𝑀))

Proof of Theorem uzss

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzle 9362	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)
2	1	adantr 274	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑀 ≤ 𝑁)
3		eluzel2 9355	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
4		eluzelz 9359	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
5	3, 4	jca 304	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
6		zletr 9127	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑘) → 𝑀 ≤ 𝑘))
7	6	3expa 1182	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑘) → 𝑀 ≤ 𝑘))
8	5, 7	sylan 281	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑘) → 𝑀 ≤ 𝑘))
9	2, 8	mpand 426	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ 𝑘 → 𝑀 ≤ 𝑘))
10	9	imdistanda 445	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑘) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘)))
11		eluz1 9354	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑘)))
12	4, 11	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑘)))
13		eluz1 9354	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘)))
14	3, 13	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘)))
15	10, 12, 14	3imtr4d 202	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
16	15	ssrdv 3108	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (ℤ≥‘𝑁) ⊆ (ℤ≥‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∈ wcel 1481   ⊆ wss 3076   class class class wbr 3937  ‘cfv 5131   ≤ cle 7825  ℤcz 9078  ℤ_≥cuz 9350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-pre-ltwlin 7757

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-fv 5139  df-ov 5785  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-neg 7960  df-z 9079  df-uz 9351

This theorem is referenced by:  uzin  9382  uznnssnn  9399  fzopth  9872  4fvwrd4  9948  fzouzsplit  9987  seq3feq2  10274  seq3split  10283  cau3lem  10918  isumsplit  11292  isumrpcl  11295  clim2prod  11340  isprm3  11835