ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  uzss GIF version

Theorem uzss 9358
Description: Subset relationship for two sets of upper integers. (Contributed by NM, 5-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
uzss (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (ℤ𝑁) ⊆ (ℤ𝑀))

Proof of Theorem uzss
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluzle 9350 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀𝑁)
21adantr 274 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑀𝑁)
3 eluzel2 9343 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
4 eluzelz 9347 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
53, 4jca 304 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
6 zletr 9115 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑀𝑁𝑁𝑘) → 𝑀𝑘))
763expa 1181 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑀𝑁𝑁𝑘) → 𝑀𝑘))
85, 7sylan 281 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑀𝑁𝑁𝑘) → 𝑀𝑘))
92, 8mpand 425 . . . 4 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁𝑘𝑀𝑘))
109imdistanda 444 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑘) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑘)))
11 eluz1 9342 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ (ℤ𝑁) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑘)))
124, 11syl 14 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑘 ∈ (ℤ𝑁) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑘)))
13 eluz1 9342 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑘)))
143, 13syl 14 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑘)))
1510, 12, 143imtr4d 202 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑘 ∈ (ℤ𝑁) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)))
1615ssrdv 3103 1 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (ℤ𝑁) ⊆ (ℤ𝑀))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  wcel 1480  wss 3071   class class class wbr 3929  cfv 5123  cle 7813  cz 9066  cuz 9338
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-pre-ltwlin 7745
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-ov 5777  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-neg 7948  df-z 9067  df-uz 9339
This theorem is referenced by:  uzin  9370  uznnssnn  9384  fzopth  9853  4fvwrd4  9929  fzouzsplit  9968  seq3feq2  10255  seq3split  10264  cau3lem  10898  isumsplit  11272  isumrpcl  11275  clim2prod  11320  isprm3  11810
  Copyright terms: Public domain W3C validator