Theorem uzss 9669

Description: Subset relationship for two sets of upper integers. (Contributed by NM, 5-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
uzss	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (ℤ≥‘𝑁) ⊆ (ℤ≥‘𝑀))

Proof of Theorem uzss

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzle 9660	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)
2	1	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑀 ≤ 𝑁)
3		eluzel2 9653	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
4		eluzelz 9657	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
5	3, 4	jca 306	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
6		zletr 9422	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑘) → 𝑀 ≤ 𝑘))
7	6	3expa 1206	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑘) → 𝑀 ≤ 𝑘))
8	5, 7	sylan 283	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑘) → 𝑀 ≤ 𝑘))
9	2, 8	mpand 429	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ 𝑘 → 𝑀 ≤ 𝑘))
10	9	imdistanda 448	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑘) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘)))
11		eluz1 9652	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑘)))
12	4, 11	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑘)))
13		eluz1 9652	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘)))
14	3, 13	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘)))
15	10, 12, 14	3imtr4d 203	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
16	15	ssrdv 3199	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (ℤ≥‘𝑁) ⊆ (ℤ≥‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2176   ⊆ wss 3166   class class class wbr 4044  ‘cfv 5271   ≤ cle 8108  ℤcz 9372  ℤ_≥cuz 9648

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-pre-ltwlin 8038

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-ov 5947  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-neg 8246  df-z 9373  df-uz 9649

This theorem is referenced by:  uzin  9681  uznnssnn  9698  fzopth  10183  4fvwrd4  10262  fzouzsplit  10303  seq3feq2  10621  seq3split  10633  cau3lem  11425  isumsplit  11802  isumrpcl  11805  clim2prod  11850  isprm3  12440  pcfac  12673  plycoeid3  15229