ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  uzss GIF version

Theorem uzss 9480
Description: Subset relationship for two sets of upper integers. (Contributed by NM, 5-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
uzss (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (ℤ𝑁) ⊆ (ℤ𝑀))

Proof of Theorem uzss
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluzle 9472 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀𝑁)
21adantr 274 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑀𝑁)
3 eluzel2 9465 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
4 eluzelz 9469 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
53, 4jca 304 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
6 zletr 9234 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑀𝑁𝑁𝑘) → 𝑀𝑘))
763expa 1192 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑀𝑁𝑁𝑘) → 𝑀𝑘))
85, 7sylan 281 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑀𝑁𝑁𝑘) → 𝑀𝑘))
92, 8mpand 426 . . . 4 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁𝑘𝑀𝑘))
109imdistanda 445 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑘) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑘)))
11 eluz1 9464 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ (ℤ𝑁) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑘)))
124, 11syl 14 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑘 ∈ (ℤ𝑁) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑘)))
13 eluz1 9464 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑘)))
143, 13syl 14 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑘)))
1510, 12, 143imtr4d 202 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑘 ∈ (ℤ𝑁) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)))
1615ssrdv 3146 1 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (ℤ𝑁) ⊆ (ℤ𝑀))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  wcel 2135  wss 3114   class class class wbr 3979  cfv 5185  cle 7928  cz 9185  cuz 9460
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4097  ax-pow 4150  ax-pr 4184  ax-un 4408  ax-setind 4511  ax-cnex 7838  ax-resscn 7839  ax-pre-ltwlin 7860
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 968  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-nel 2430  df-ral 2447  df-rex 2448  df-rab 2451  df-v 2726  df-sbc 2950  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-pw 3558  df-sn 3579  df-pr 3580  df-op 3582  df-uni 3787  df-br 3980  df-opab 4041  df-mpt 4042  df-id 4268  df-xp 4607  df-rel 4608  df-cnv 4609  df-co 4610  df-dm 4611  df-rn 4612  df-res 4613  df-ima 4614  df-iota 5150  df-fun 5187  df-fn 5188  df-f 5189  df-fv 5193  df-ov 5842  df-pnf 7929  df-mnf 7930  df-xr 7931  df-ltxr 7932  df-le 7933  df-neg 8066  df-z 9186  df-uz 9461
This theorem is referenced by:  uzin  9492  uznnssnn  9509  fzopth  9990  4fvwrd4  10069  fzouzsplit  10108  seq3feq2  10399  seq3split  10408  cau3lem  11050  isumsplit  11426  isumrpcl  11429  clim2prod  11474  isprm3  12044  pcfac  12274
  Copyright terms: Public domain W3C validator