Theorem elfz0ubfz0 10127

Description: An element of a finite set of sequential nonnegative integers is an element of a finite set of sequential nonnegative integers with the upper bound being an element of the finite set of sequential nonnegative integers with the same lower bound as for the first interval and the element under consideration as upper bound. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Apr-2018.)

Assertion

Ref	Expression
elfz0ubfz0	⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...𝑁)) → 𝐾 ∈ (0...𝐿))

Proof of Theorem elfz0ubfz0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2nn0 10114	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))
2		elfz2 10017	. . . . . 6 ⊢ (𝐿 ∈ (𝐾...𝑁) ↔ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)))
3		simpr1 1003	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)) → 𝐾 ∈ ℕ0)
4		elnn0z 9268	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾))
5		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 𝐿 ∈ ℤ)
6		0z 9266	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 0 ∈ ℤ
7		zletr 9304	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → 0 ≤ 𝐿))
8	6, 7	mp3an1 1324	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → 0 ≤ 𝐿))
9		elnn0z 9268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 ↔ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐿))
10	9	simplbi2 385	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → (0 ≤ 𝐿 → 𝐿 ∈ ℕ0))
11	5, 8, 10	sylsyld 58	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → 𝐿 ∈ ℕ0))
12	11	expd 258	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝐾 → (𝐾 ≤ 𝐿 → 𝐿 ∈ ℕ0)))
13	12	impancom 260	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾) → (𝐿 ∈ ℤ → (𝐾 ≤ 𝐿 → 𝐿 ∈ ℕ0)))
14	4, 13	sylbi 121	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐿 ∈ ℤ → (𝐾 ≤ 𝐿 → 𝐿 ∈ ℕ0)))
15	14	com13 80	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐾 ≤ 𝐿 → (𝐿 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐿 ∈ ℕ0)))
16	15	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → (𝐿 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐿 ∈ ℕ0)))
17	16	com12 30	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → ((𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐿 ∈ ℕ0)))
18	17	3ad2ant3 1020	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐿 ∈ ℕ0)))
19	18	imp 124	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐿 ∈ ℕ0))
20	19	com12 30	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → 𝐿 ∈ ℕ0))
21	20	3ad2ant1 1018	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → 𝐿 ∈ ℕ0))
22	21	impcom 125	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)) → 𝐿 ∈ ℕ0)
23		simplrl 535	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)) → 𝐾 ≤ 𝐿)
24	3, 22, 23	3jca 1177	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)) → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝐿))
25	24	ex 115	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝐿)))
26	2, 25	sylbi 121	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ∈ (𝐾...𝑁) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝐿)))
27	26	com12 30	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → (𝐿 ∈ (𝐾...𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝐿)))
28	1, 27	sylbi 121	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝐿 ∈ (𝐾...𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝐿)))
29	28	imp 124	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...𝑁)) → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝐿))
30		elfz2nn0 10114	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝐿) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝐿))
31	29, 30	sylibr 134	1 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...𝑁)) → 𝐾 ∈ (0...𝐿))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 978   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4005  (class class class)co 5877  0cc0 7813   ≤ cle 7995  ℕ₀cn0 9178  ℤcz 9255  ...cfz 10010

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-ltadd 7929

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-inn 8922  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-fz 10011

This theorem is referenced by: (None)