ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elfz0ubfz0 GIF version

Theorem elfz0ubfz0 10034
Description: An element of a finite set of sequential nonnegative integers is an element of a finite set of sequential nonnegative integers with the upper bound being an element of the finite set of sequential nonnegative integers with the same lower bound as for the first interval and the element under consideration as upper bound. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Apr-2018.)
Assertion
Ref Expression
elfz0ubfz0 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...𝑁)) → 𝐾 ∈ (0...𝐿))

Proof of Theorem elfz0ubfz0
StepHypRef Expression
1 elfz2nn0 10021 . . . 4 (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐾𝑁))
2 elfz2 9926 . . . . . 6 (𝐿 ∈ (𝐾...𝑁) ↔ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐾𝐿𝐿𝑁)))
3 simpr1 988 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐾𝐿𝐿𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐾𝑁)) → 𝐾 ∈ ℕ0)
4 elnn0z 9186 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾 ∈ ℕ0 ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾))
5 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 𝐿 ∈ ℤ)
6 0z 9184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 0 ∈ ℤ
7 zletr 9222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((0 ≤ 𝐾𝐾𝐿) → 0 ≤ 𝐿))
86, 7mp3an1 1306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((0 ≤ 𝐾𝐾𝐿) → 0 ≤ 𝐿))
9 elnn0z 9186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐿 ∈ ℕ0 ↔ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐿))
109simplbi2 383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐿 ∈ ℤ → (0 ≤ 𝐿𝐿 ∈ ℕ0))
115, 8, 10sylsyld 58 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((0 ≤ 𝐾𝐾𝐿) → 𝐿 ∈ ℕ0))
1211expd 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝐾 → (𝐾𝐿𝐿 ∈ ℕ0)))
1312impancom 258 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾) → (𝐿 ∈ ℤ → (𝐾𝐿𝐿 ∈ ℕ0)))
144, 13sylbi 120 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐿 ∈ ℤ → (𝐾𝐿𝐿 ∈ ℕ0)))
1514com13 80 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐾𝐿 → (𝐿 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0)))
1615adantr 274 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾𝐿𝐿𝑁) → (𝐿 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0)))
1716com12 30 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐿 ∈ ℤ → ((𝐾𝐿𝐿𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0)))
18173ad2ant3 1005 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝐾𝐿𝐿𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0)))
1918imp 123 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐾𝐿𝐿𝑁)) → (𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0))
2019com12 30 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐾𝐿𝐿𝑁)) → 𝐿 ∈ ℕ0))
21203ad2ant1 1003 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐾𝑁) → (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐾𝐿𝐿𝑁)) → 𝐿 ∈ ℕ0))
2221impcom 124 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐾𝐿𝐿𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐾𝑁)) → 𝐿 ∈ ℕ0)
23 simplrl 525 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐾𝐿𝐿𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐾𝑁)) → 𝐾𝐿)
243, 22, 233jca 1162 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐾𝐿𝐿𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐾𝑁)) → (𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝐾𝐿))
2524ex 114 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐾𝐿𝐿𝑁)) → ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐾𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝐾𝐿)))
262, 25sylbi 120 . . . . 5 (𝐿 ∈ (𝐾...𝑁) → ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐾𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝐾𝐿)))
2726com12 30 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐾𝑁) → (𝐿 ∈ (𝐾...𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝐾𝐿)))
281, 27sylbi 120 . . 3 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝐿 ∈ (𝐾...𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝐾𝐿)))
2928imp 123 . 2 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...𝑁)) → (𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝐾𝐿))
30 elfz2nn0 10021 . 2 (𝐾 ∈ (0...𝐿) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝐾𝐿))
3129, 30sylibr 133 1 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...𝑁)) → 𝐾 ∈ (0...𝐿))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  w3a 963  wcel 2128   class class class wbr 3967  (class class class)co 5827  0cc0 7735  cle 7916  0cn0 9096  cz 9173  ...cfz 9919
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4085  ax-pow 4138  ax-pr 4172  ax-un 4396  ax-setind 4499  ax-cnex 7826  ax-resscn 7827  ax-1cn 7828  ax-1re 7829  ax-icn 7830  ax-addcl 7831  ax-addrcl 7832  ax-mulcl 7833  ax-addcom 7835  ax-addass 7837  ax-distr 7839  ax-i2m1 7840  ax-0lt1 7841  ax-0id 7843  ax-rnegex 7844  ax-cnre 7846  ax-pre-ltirr 7847  ax-pre-ltwlin 7848  ax-pre-lttrn 7849  ax-pre-ltadd 7851
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-int 3810  df-br 3968  df-opab 4029  df-mpt 4030  df-id 4256  df-xp 4595  df-rel 4596  df-cnv 4597  df-co 4598  df-dm 4599  df-rn 4600  df-res 4601  df-ima 4602  df-iota 5138  df-fun 5175  df-fn 5176  df-f 5177  df-fv 5181  df-riota 5783  df-ov 5830  df-oprab 5831  df-mpo 5832  df-pnf 7917  df-mnf 7918  df-xr 7919  df-ltxr 7920  df-le 7921  df-sub 8053  df-neg 8054  df-inn 8840  df-n0 9097  df-z 9174  df-uz 9446  df-fz 9920
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator