Theorem elfz0ubfz0 10359

Description: An element of a finite set of sequential nonnegative integers is an element of a finite set of sequential nonnegative integers with the upper bound being an element of the finite set of sequential nonnegative integers with the same lower bound as for the first interval and the element under consideration as upper bound. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Apr-2018.)

Assertion

Ref	Expression
elfz0ubfz0	⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...𝑁)) → 𝐾 ∈ (0...𝐿))

Proof of Theorem elfz0ubfz0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2nn0 10346	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))
2		elfz2 10249	. . . . . 6 ⊢ (𝐿 ∈ (𝐾...𝑁) ↔ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)))
3		simpr1 1029	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)) → 𝐾 ∈ ℕ0)
4		elnn0z 9491	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾))
5		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 𝐿 ∈ ℤ)
6		0z 9489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 0 ∈ ℤ
7		zletr 9528	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → 0 ≤ 𝐿))
8	6, 7	mp3an1 1360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → 0 ≤ 𝐿))
9		elnn0z 9491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 ↔ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐿))
10	9	simplbi2 385	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → (0 ≤ 𝐿 → 𝐿 ∈ ℕ0))
11	5, 8, 10	sylsyld 58	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → 𝐿 ∈ ℕ0))
12	11	expd 258	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝐾 → (𝐾 ≤ 𝐿 → 𝐿 ∈ ℕ0)))
13	12	impancom 260	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾) → (𝐿 ∈ ℤ → (𝐾 ≤ 𝐿 → 𝐿 ∈ ℕ0)))
14	4, 13	sylbi 121	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐿 ∈ ℤ → (𝐾 ≤ 𝐿 → 𝐿 ∈ ℕ0)))
15	14	com13 80	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐾 ≤ 𝐿 → (𝐿 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐿 ∈ ℕ0)))
16	15	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → (𝐿 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐿 ∈ ℕ0)))
17	16	com12 30	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → ((𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐿 ∈ ℕ0)))
18	17	3ad2ant3 1046	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐿 ∈ ℕ0)))
19	18	imp 124	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐿 ∈ ℕ0))
20	19	com12 30	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → 𝐿 ∈ ℕ0))
21	20	3ad2ant1 1044	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → 𝐿 ∈ ℕ0))
22	21	impcom 125	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)) → 𝐿 ∈ ℕ0)
23		simplrl 537	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)) → 𝐾 ≤ 𝐿)
24	3, 22, 23	3jca 1203	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)) → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝐿))
25	24	ex 115	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝐿)))
26	2, 25	sylbi 121	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ∈ (𝐾...𝑁) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝐿)))
27	26	com12 30	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → (𝐿 ∈ (𝐾...𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝐿)))
28	1, 27	sylbi 121	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝐿 ∈ (𝐾...𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝐿)))
29	28	imp 124	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...𝑁)) → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝐿))
30		elfz2nn0 10346	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝐿) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝐿))
31	29, 30	sylibr 134	1 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...𝑁)) → 𝐾 ∈ (0...𝐿))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1004   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4088  (class class class)co 6017  0cc0 8031   ≤ cle 8214  ℕ₀cn0 9401  ℤcz 9478  ...cfz 10242

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-inn 9143  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-fz 10243

This theorem is referenced by:  swrdswrd  11285