Theorem uztrn 9778

Description: Transitive law for sets of upper integers. (Contributed by NM, 20-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
uztrn	⊢ ((𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁))

Proof of Theorem uztrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 9765	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
2	1	adantl 277	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
3		eluzelz 9770	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝑀 ∈ ℤ)
4	3	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ ℤ)
5		eluzle 9773	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → 𝑁 ≤ 𝐾)
6	5	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ≤ 𝐾)
7		eluzle 9773	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝐾 ≤ 𝑀)
8	7	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝐾 ≤ 𝑀)
9		eluzelz 9770	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
10	9	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝐾 ∈ ℤ)
11		zletr 9534	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑁 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑀) → 𝑁 ≤ 𝑀))
12	2, 10, 4, 11	syl3anc 1273	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ((𝑁 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑀) → 𝑁 ≤ 𝑀))
13	6, 8, 12	mp2and 433	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ≤ 𝑀)
14		eluz2 9766	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑀))
15	2, 4, 13, 14	syl3anbrc 1207	1 ⊢ ((𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2201   class class class wbr 4089  ‘cfv 5328   ≤ cle 8220  ℤcz 9484  ℤ_≥cuz 9760

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-sep 4208  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-pre-ltwlin 8150

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-id 4392  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-fv 5336  df-ov 6026  df-pnf 8221  df-mnf 8222  df-xr 8223  df-ltxr 8224  df-le 8225  df-neg 8358  df-z 9485  df-uz 9761

This theorem is referenced by:  uztrn2  9779  fzsplit2  10290  fzass4  10302  fzss1  10303  fzss2  10304  uzsplit  10332  seq3fveq2  10743  seqfveq2g  10745  ser3mono  10755  seq3split  10756  seqsplitg  10757  seq3f1olemqsumkj  10779  seq3f1olemqsumk  10780  seq3id  10793  seq3id2  10794  seq3z  10796  seq3coll  11112  cvgratgt0  12117  mertenslemi1  12119  zproddc  12163  dvdsfac  12444  gsumfzz  13601