ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  uztrn GIF version

Theorem uztrn 9310
Description: Transitive law for sets of upper integers. (Contributed by NM, 20-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
uztrn ((𝑀 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑀 ∈ (ℤ𝑁))

Proof of Theorem uztrn
StepHypRef Expression
1 eluzel2 9299 . . 3 (𝐾 ∈ (ℤ𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
21adantl 275 . 2 ((𝑀 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
3 eluzelz 9303 . . 3 (𝑀 ∈ (ℤ𝐾) → 𝑀 ∈ ℤ)
43adantr 274 . 2 ((𝑀 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑀 ∈ ℤ)
5 eluzle 9306 . . . 4 (𝐾 ∈ (ℤ𝑁) → 𝑁𝐾)
65adantl 275 . . 3 ((𝑀 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑁𝐾)
7 eluzle 9306 . . . 4 (𝑀 ∈ (ℤ𝐾) → 𝐾𝑀)
87adantr 274 . . 3 ((𝑀 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝐾𝑀)
9 eluzelz 9303 . . . . 5 (𝐾 ∈ (ℤ𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
109adantl 275 . . . 4 ((𝑀 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝐾 ∈ ℤ)
11 zletr 9071 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑁𝐾𝐾𝑀) → 𝑁𝑀))
122, 10, 4, 11syl3anc 1201 . . 3 ((𝑀 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → ((𝑁𝐾𝐾𝑀) → 𝑁𝑀))
136, 8, 12mp2and 429 . 2 ((𝑀 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑁𝑀)
14 eluz2 9300 . 2 (𝑀 ∈ (ℤ𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑀))
152, 4, 13, 14syl3anbrc 1150 1 ((𝑀 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑀 ∈ (ℤ𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wcel 1465   class class class wbr 3899  cfv 5093  cle 7769  cz 9022  cuz 9294
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-pre-ltwlin 7701
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-id 4185  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-fv 5101  df-ov 5745  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-neg 7904  df-z 9023  df-uz 9295
This theorem is referenced by:  uztrn2  9311  fzsplit2  9798  fzass4  9810  fzss1  9811  fzss2  9812  uzsplit  9840  seq3fveq2  10210  ser3mono  10219  seq3split  10220  seq3f1olemqsumkj  10239  seq3f1olemqsumk  10240  seq3id  10249  seq3id2  10250  seq3z  10252  seq3coll  10553  cvgratgt0  11270  mertenslemi1  11272  dvdsfac  11485
  Copyright terms: Public domain W3C validator