Theorem uztrn 9503

Description: Transitive law for sets of upper integers. (Contributed by NM, 20-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
uztrn	⊢ ((𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁))

Proof of Theorem uztrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 9492	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
2	1	adantl 275	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
3		eluzelz 9496	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝑀 ∈ ℤ)
4	3	adantr 274	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ ℤ)
5		eluzle 9499	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → 𝑁 ≤ 𝐾)
6	5	adantl 275	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ≤ 𝐾)
7		eluzle 9499	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝐾 ≤ 𝑀)
8	7	adantr 274	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝐾 ≤ 𝑀)
9		eluzelz 9496	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
10	9	adantl 275	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝐾 ∈ ℤ)
11		zletr 9261	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑁 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑀) → 𝑁 ≤ 𝑀))
12	2, 10, 4, 11	syl3anc 1233	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ((𝑁 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑀) → 𝑁 ≤ 𝑀))
13	6, 8, 12	mp2and 431	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ≤ 𝑀)
14		eluz2 9493	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑀))
15	2, 4, 13, 14	syl3anbrc 1176	1 ⊢ ((𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∈ wcel 2141   class class class wbr 3989  ‘cfv 5198   ≤ cle 7955  ℤcz 9212  ℤ_≥cuz 9487

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-pre-ltwlin 7887

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-ov 5856  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-neg 8093  df-z 9213  df-uz 9488

This theorem is referenced by:  uztrn2  9504  fzsplit2  10006  fzass4  10018  fzss1  10019  fzss2  10020  uzsplit  10048  seq3fveq2  10425  ser3mono  10434  seq3split  10435  seq3f1olemqsumkj  10454  seq3f1olemqsumk  10455  seq3id  10464  seq3id2  10465  seq3z  10467  seq3coll  10777  cvgratgt0  11496  mertenslemi1  11498  zproddc  11542  dvdsfac  11820