MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1vgrex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1vgrex 26350
Description: A graph with at least one vertex is a set. (Contributed by AV, 2-Mar-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
1vgrex.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
1vgrex (𝑁𝑉𝐺 ∈ V)

Proof of Theorem 1vgrex
StepHypRef Expression
1 elfvex 6480 . 2 (𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺) → 𝐺 ∈ V)
2 1vgrex.v . 2 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
31, 2eleq2s 2877 1 (𝑁𝑉𝐺 ∈ V)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1601  wcel 2107  Vcvv 3398  cfv 6135  Vtxcvtx 26344
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-nul 5025  ax-pow 5077
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ral 3095  df-rex 3096  df-rab 3099  df-v 3400  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4672  df-br 4887  df-dm 5365  df-iota 6099  df-fv 6143
This theorem is referenced by:  upgr1e  26461  uspgr1e  26591  nbgrval  26683  cplgr1vlem  26777  vtxdgval  26816  vtxdgelxnn0  26820  wlkson  27003  trlsonfval  27058  pthsonfval  27092  spthson  27093  2wlkd  27316  is0wlk  27520  0wlkon  27523  is0trl  27526  0trlon  27527  0pthon  27530  0clwlkv  27534  1wlkd  27544  3wlkd  27573  wlkl0  27795
  Copyright terms: Public domain W3C validator