Theorem 1vgrex 29562

Description: A graph with at least one vertex is a set. (Contributed by AV, 2-Mar-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
1vgrex.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
1vgrex	⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ V)

Proof of Theorem 1vgrex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvex 6912	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺) → 𝐺 ∈ V)
2		1vgrex.v	. 2 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3	1, 2	eleq2s 2879	1 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ V)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451  ‘cfv 6531  Vtxcvtx 29556

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2733  ax-nul 5260  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ne 2957  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-dm 5661  df-iota 6487  df-fv 6539

This theorem is used by:  upgr1e  29673  uspgr1e  29807  nbgrval  29899  cplgr1vlem  29992  vtxdgval  30031  vtxdgelxnn0  30035  wlkson  30217  trlsonfval  30270  pthsonfval  30308  spthson  30309  2wlkd  30507  is0wlk  30690  0wlkon  30693  is0trl  30696  0trlon  30697  0pthon  30700  0clwlkv  30704  1wlkd  30714  3wlkd  30753  wlkl0  30950  clnbgrval  48864  isgrtri  48985