Theorem 1vgrex 29467

Description: A graph with at least one vertex is a set. (Contributed by AV, 2-Mar-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
1vgrex.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
1vgrex	⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ V)

Proof of Theorem 1vgrex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvex 6917	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺) → 𝐺 ∈ V)
2		1vgrex.v	. 2 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3	1, 2	eleq2s 2880	1 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ V)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3453  ‘cfv 6537  Vtxcvtx 29461

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2734  ax-nul 5267  ax-pr 5402

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ne 2958  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-dm 5669  df-iota 6493  df-fv 6545

This theorem is used by:  upgr1e  29578  uspgr1e  29712  nbgrval  29804  cplgr1vlem  29897  vtxdgval  29936  vtxdgelxnn0  29940  wlkson  30122  trlsonfval  30175  pthsonfval  30213  spthson  30214  2wlkd  30412  is0wlk  30595  0wlkon  30598  is0trl  30601  0trlon  30602  0pthon  30605  0clwlkv  30609  1wlkd  30619  3wlkd  30658  wlkl0  30855  clnbgrval  48746  isgrtri  48867