MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0pthon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0pthon 27891
Description: A path of length 0 from a vertex to itself. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Dec-2017.) (Revised by AV, 20-Jan-2021.) (Revised by AV, 30-Oct-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
0pthon.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
0pthon ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → ∅(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑁)𝑃)

Proof of Theorem 0pthon
StepHypRef Expression
1 0pthon.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
210trlon 27888 . 2 ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → ∅(𝑁(TrailsOn‘𝐺)𝑁)𝑃)
3 simpl 485 . . 3 ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → 𝑃:(0...0)⟶𝑉)
4 id 22 . . . . . . 7 (𝑃:(0...0)⟶𝑉𝑃:(0...0)⟶𝑉)
5 0z 11971 . . . . . . . 8 0 ∈ ℤ
6 elfz3 12901 . . . . . . . 8 (0 ∈ ℤ → 0 ∈ (0...0))
75, 6mp1i 13 . . . . . . 7 (𝑃:(0...0)⟶𝑉 → 0 ∈ (0...0))
84, 7ffvelrnd 6828 . . . . . 6 (𝑃:(0...0)⟶𝑉 → (𝑃‘0) ∈ 𝑉)
98adantr 483 . . . . 5 ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → (𝑃‘0) ∈ 𝑉)
10 eleq1 2898 . . . . . 6 ((𝑃‘0) = 𝑁 → ((𝑃‘0) ∈ 𝑉𝑁𝑉))
1110adantl 484 . . . . 5 ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → ((𝑃‘0) ∈ 𝑉𝑁𝑉))
129, 11mpbid 234 . . . 4 ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → 𝑁𝑉)
1311vgrex 26774 . . . 4 (𝑁𝑉𝐺 ∈ V)
1410pth 27889 . . . 4 (𝐺 ∈ V → (∅(Paths‘𝐺)𝑃𝑃:(0...0)⟶𝑉))
1512, 13, 143syl 18 . . 3 ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → (∅(Paths‘𝐺)𝑃𝑃:(0...0)⟶𝑉))
163, 15mpbird 259 . 2 ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → ∅(Paths‘𝐺)𝑃)
1710wlkonlem1 27882 . . 3 ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → (𝑁𝑉𝑁𝑉))
1810wlkonlem2 27883 . . . 4 ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → 𝑃 ∈ (𝑉pm (0...0)))
19 0ex 5187 . . . 4 ∅ ∈ V
2018, 19jctil 522 . . 3 ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → (∅ ∈ V ∧ 𝑃 ∈ (𝑉pm (0...0))))
211ispthson 27510 . . 3 (((𝑁𝑉𝑁𝑉) ∧ (∅ ∈ V ∧ 𝑃 ∈ (𝑉pm (0...0)))) → (∅(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑁)𝑃 ↔ (∅(𝑁(TrailsOn‘𝐺)𝑁)𝑃 ∧ ∅(Paths‘𝐺)𝑃)))
2217, 20, 21syl2anc 586 . 2 ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → (∅(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑁)𝑃 ↔ (∅(𝑁(TrailsOn‘𝐺)𝑁)𝑃 ∧ ∅(Paths‘𝐺)𝑃)))
232, 16, 22mpbir2and 711 1 ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → ∅(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑁)𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398   = wceq 1537  wcel 2114  Vcvv 3473  c0 4269   class class class wbr 5042  wf 6327  cfv 6331  (class class class)co 7133  pm cpm 8385  0cc0 10515  cz 11960  ...cfz 12876  Vtxcvtx 26768  TrailsOnctrlson 27460  Pathscpths 27480  PathsOncpthson 27482
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-cnex 10571  ax-resscn 10572  ax-1cn 10573  ax-icn 10574  ax-addcl 10575  ax-addrcl 10576  ax-mulcl 10577  ax-mulrcl 10578  ax-mulcom 10579  ax-addass 10580  ax-mulass 10581  ax-distr 10582  ax-i2m1 10583  ax-1ne0 10584  ax-1rid 10585  ax-rnegex 10586  ax-rrecex 10587  ax-cnre 10588  ax-pre-lttri 10589  ax-pre-lttrn 10590  ax-pre-ltadd 10591  ax-pre-mulgt0 10592
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-ifp 1058  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-tp 4548  df-op 4550  df-uni 4815  df-int 4853  df-iun 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5436  df-eprel 5441  df-po 5450  df-so 5451  df-fr 5490  df-we 5492  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-riota 7091  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-om 7559  df-1st 7667  df-2nd 7668  df-wrecs 7925  df-recs 7986  df-rdg 8024  df-1o 8080  df-er 8267  df-map 8386  df-pm 8387  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-fin 8491  df-card 9346  df-pnf 10655  df-mnf 10656  df-xr 10657  df-ltxr 10658  df-le 10659  df-sub 10850  df-neg 10851  df-nn 11617  df-n0 11877  df-z 11961  df-uz 12223  df-fz 12877  df-fzo 13018  df-hash 13676  df-word 13847  df-wlks 27368  df-wlkson 27369  df-trls 27461  df-trlson 27462  df-pths 27484  df-pthson 27486
This theorem is referenced by:  0pthon1  27892
  Copyright terms: Public domain W3C validator