Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0pthon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0pthon 27499
 Description: A path of length 0 from a vertex to itself. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Dec-2017.) (Revised by AV, 20-Jan-2021.) (Revised by AV, 30-Oct-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
0pthon.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
0pthon ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → ∅(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑁)𝑃)

Proof of Theorem 0pthon
StepHypRef Expression
1 0pthon.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
210trlon 27496 . 2 ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → ∅(𝑁(TrailsOn‘𝐺)𝑁)𝑃)
3 simpl 476 . . 3 ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → 𝑃:(0...0)⟶𝑉)
4 id 22 . . . . . . 7 (𝑃:(0...0)⟶𝑉𝑃:(0...0)⟶𝑉)
5 0z 11722 . . . . . . . 8 0 ∈ ℤ
6 elfz3 12651 . . . . . . . 8 (0 ∈ ℤ → 0 ∈ (0...0))
75, 6mp1i 13 . . . . . . 7 (𝑃:(0...0)⟶𝑉 → 0 ∈ (0...0))
84, 7ffvelrnd 6614 . . . . . 6 (𝑃:(0...0)⟶𝑉 → (𝑃‘0) ∈ 𝑉)
98adantr 474 . . . . 5 ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → (𝑃‘0) ∈ 𝑉)
10 eleq1 2894 . . . . . 6 ((𝑃‘0) = 𝑁 → ((𝑃‘0) ∈ 𝑉𝑁𝑉))
1110adantl 475 . . . . 5 ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → ((𝑃‘0) ∈ 𝑉𝑁𝑉))
129, 11mpbid 224 . . . 4 ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → 𝑁𝑉)
1311vgrex 26307 . . . 4 (𝑁𝑉𝐺 ∈ V)
1410pth 27497 . . . 4 (𝐺 ∈ V → (∅(Paths‘𝐺)𝑃𝑃:(0...0)⟶𝑉))
1512, 13, 143syl 18 . . 3 ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → (∅(Paths‘𝐺)𝑃𝑃:(0...0)⟶𝑉))
163, 15mpbird 249 . 2 ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → ∅(Paths‘𝐺)𝑃)
1710wlkonlem1 27490 . . 3 ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → (𝑁𝑉𝑁𝑉))
1810wlkonlem2 27491 . . . 4 ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → 𝑃 ∈ (𝑉pm (0...0)))
19 0ex 5016 . . . 4 ∅ ∈ V
2018, 19jctil 515 . . 3 ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → (∅ ∈ V ∧ 𝑃 ∈ (𝑉pm (0...0))))
211ispthson 27051 . . 3 (((𝑁𝑉𝑁𝑉) ∧ (∅ ∈ V ∧ 𝑃 ∈ (𝑉pm (0...0)))) → (∅(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑁)𝑃 ↔ (∅(𝑁(TrailsOn‘𝐺)𝑁)𝑃 ∧ ∅(Paths‘𝐺)𝑃)))
2217, 20, 21syl2anc 579 . 2 ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → (∅(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑁)𝑃 ↔ (∅(𝑁(TrailsOn‘𝐺)𝑁)𝑃 ∧ ∅(Paths‘𝐺)𝑃)))
232, 16, 22mpbir2and 704 1 ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → ∅(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑁)𝑃)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1656   ∈ wcel 2164  Vcvv 3414  ∅c0 4146   class class class wbr 4875  ⟶wf 6123  ‘cfv 6127  (class class class)co 6910   ↑pm cpm 8128  0cc0 10259  ℤcz 11711  ...cfz 12626  Vtxcvtx 26301  TrailsOnctrlson 26999  Pathscpths 27021  PathsOncpthson 27023 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-ifp 1090  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-er 8014  df-map 8129  df-pm 8130  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-card 9085  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-nn 11358  df-n0 11626  df-z 11712  df-uz 11976  df-fz 12627  df-fzo 12768  df-hash 13418  df-word 13582  df-wlks 26904  df-wlkson 26905  df-trls 27000  df-trlson 27001  df-pths 27025  df-pthson 27027 This theorem is referenced by:  0pthon1  27500
 Copyright terms: Public domain W3C validator