Theorem 0pthon 30056

Description: A path of length 0 from a vertex to itself. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Dec-2017.) (Revised by AV, 20-Jan-2021.) (Revised by AV, 30-Oct-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
0pthon.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
0pthon	⊢ ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → ∅(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑁)𝑃)

Proof of Theorem 0pthon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0pthon.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2	1	0trlon 30053	. 2 ⊢ ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → ∅(𝑁(TrailsOn‘𝐺)𝑁)𝑃)
3		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → 𝑃:(0...0)⟶𝑉)
4		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃:(0...0)⟶𝑉 → 𝑃:(0...0)⟶𝑉)
5		0z 12540	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℤ
6		elfz3 13495	. . . . . . . 8 ⊢ (0 ∈ ℤ → 0 ∈ (0...0))
7	5, 6	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃:(0...0)⟶𝑉 → 0 ∈ (0...0))
8	4, 7	ffvelcdmd 7057	. . . . . 6 ⊢ (𝑃:(0...0)⟶𝑉 → (𝑃‘0) ∈ 𝑉)
9	8	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → (𝑃‘0) ∈ 𝑉)
10		eleq1 2816	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃‘0) = 𝑁 → ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ↔ 𝑁 ∈ 𝑉))
11	10	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ↔ 𝑁 ∈ 𝑉))
12	9, 11	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → 𝑁 ∈ 𝑉)
13	1	1vgrex 28929	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ V)
14	1	0pth 30054	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ V → (∅(Paths‘𝐺)𝑃 ↔ 𝑃:(0...0)⟶𝑉))
15	12, 13, 14	3syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → (∅(Paths‘𝐺)𝑃 ↔ 𝑃:(0...0)⟶𝑉))
16	3, 15	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → ∅(Paths‘𝐺)𝑃)
17	1	0wlkonlem1 30047	. . 3 ⊢ ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉))
18	1	0wlkonlem2 30048	. . . 4 ⊢ ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → 𝑃 ∈ (𝑉 ↑pm (0...0)))
19		0ex 5262	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
20	18, 19	jctil 519	. . 3 ⊢ ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → (∅ ∈ V ∧ 𝑃 ∈ (𝑉 ↑pm (0...0))))
21	1	ispthson 29672	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (∅ ∈ V ∧ 𝑃 ∈ (𝑉 ↑pm (0...0)))) → (∅(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑁)𝑃 ↔ (∅(𝑁(TrailsOn‘𝐺)𝑁)𝑃 ∧ ∅(Paths‘𝐺)𝑃)))
22	17, 20, 21	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → (∅(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑁)𝑃 ↔ (∅(𝑁(TrailsOn‘𝐺)𝑁)𝑃 ∧ ∅(Paths‘𝐺)𝑃)))
23	2, 16, 22	mpbir2and 713	1 ⊢ ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → ∅(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑁)𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3447  ∅c0 4296   class class class wbr 5107  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   ↑_pm cpm 8800  0cc0 11068  ℤcz 12529  ...cfz 13468  Vtxcvtx 28923  TrailsOnctrlson 29619  Pathscpths 29640  PathsOncpthson 29642

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-map 8801  df-pm 8802  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-hash 14296  df-word 14479  df-wlks 29527  df-wlkson 29528  df-trls 29620  df-trlson 29621  df-pths 29644  df-pthson 29646

This theorem is referenced by:  0pthon1  30057