Theorem 0pthon 30215

Description: A path of length 0 from a vertex to itself. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Dec-2017.) (Revised by AV, 20-Jan-2021.) (Revised by AV, 30-Oct-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
0pthon.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
0pthon	⊢ ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → ∅(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑁)𝑃)

Proof of Theorem 0pthon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0pthon.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2	1	0trlon 30212	. 2 ⊢ ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → ∅(𝑁(TrailsOn‘𝐺)𝑁)𝑃)
3		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → 𝑃:(0...0)⟶𝑉)
4		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃:(0...0)⟶𝑉 → 𝑃:(0...0)⟶𝑉)
5		0z 12529	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℤ
6		elfz3 13482	. . . . . . . 8 ⊢ (0 ∈ ℤ → 0 ∈ (0...0))
7	5, 6	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃:(0...0)⟶𝑉 → 0 ∈ (0...0))
8	4, 7	ffvelcdmd 7032	. . . . . 6 ⊢ (𝑃:(0...0)⟶𝑉 → (𝑃‘0) ∈ 𝑉)
9	8	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → (𝑃‘0) ∈ 𝑉)
10		eleq1 2825	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃‘0) = 𝑁 → ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ↔ 𝑁 ∈ 𝑉))
11	10	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ↔ 𝑁 ∈ 𝑉))
12	9, 11	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → 𝑁 ∈ 𝑉)
13	1	1vgrex 29088	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ V)
14	1	0pth 30213	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ V → (∅(Paths‘𝐺)𝑃 ↔ 𝑃:(0...0)⟶𝑉))
15	12, 13, 14	3syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → (∅(Paths‘𝐺)𝑃 ↔ 𝑃:(0...0)⟶𝑉))
16	3, 15	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → ∅(Paths‘𝐺)𝑃)
17	1	0wlkonlem1 30206	. . 3 ⊢ ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉))
18	1	0wlkonlem2 30207	. . . 4 ⊢ ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → 𝑃 ∈ (𝑉 ↑pm (0...0)))
19		0ex 5243	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
20	18, 19	jctil 519	. . 3 ⊢ ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → (∅ ∈ V ∧ 𝑃 ∈ (𝑉 ↑pm (0...0))))
21	1	ispthson 29828	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (∅ ∈ V ∧ 𝑃 ∈ (𝑉 ↑pm (0...0)))) → (∅(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑁)𝑃 ↔ (∅(𝑁(TrailsOn‘𝐺)𝑁)𝑃 ∧ ∅(Paths‘𝐺)𝑃)))
22	17, 20, 21	syl2anc 585	. 2 ⊢ ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → (∅(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑁)𝑃 ↔ (∅(𝑁(TrailsOn‘𝐺)𝑁)𝑃 ∧ ∅(Paths‘𝐺)𝑃)))
23	2, 16, 22	mpbir2and 714	1 ⊢ ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → ∅(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑁)𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430  ∅c0 4274   class class class wbr 5086  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361   ↑_pm cpm 8768  0cc0 11032  ℤcz 12518  ...cfz 13455  Vtxcvtx 29082  TrailsOnctrlson 29776  Pathscpths 29796  PathsOncpthson 29798

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-ifp 1064  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-card 9857  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-n0 12432  df-z 12519  df-uz 12783  df-fz 13456  df-fzo 13603  df-hash 14287  df-word 14470  df-wlks 29686  df-wlkson 29687  df-trls 29777  df-trlson 29778  df-pths 29800  df-pthson 29802

This theorem is referenced by:  0pthon1  30216