MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0trlon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0trlon 28913
Description: A trail of length 0 from a vertex to itself. (Contributed by Alexander van der Vekens, 2-Dec-2017.) (Revised by AV, 8-Jan-2021.) (Revised by AV, 23-Mar-2021.) (Proof shortened by AV, 30-Oct-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
0wlk.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
0trlon ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → ∅(𝑁(TrailsOn‘𝐺)𝑁)𝑃)

Proof of Theorem 0trlon
StepHypRef Expression
1 0wlk.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
210wlkon 28909 . 2 ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → ∅(𝑁(WalksOn‘𝐺)𝑁)𝑃)
3 simpl 483 . . 3 ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → 𝑃:(0...0)⟶𝑉)
410wlkonlem1 28907 . . . 4 ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → (𝑁𝑉𝑁𝑉))
511vgrex 27798 . . . . 5 (𝑁𝑉𝐺 ∈ V)
65adantr 481 . . . 4 ((𝑁𝑉𝑁𝑉) → 𝐺 ∈ V)
710trl 28911 . . . 4 (𝐺 ∈ V → (∅(Trails‘𝐺)𝑃𝑃:(0...0)⟶𝑉))
84, 6, 73syl 18 . . 3 ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → (∅(Trails‘𝐺)𝑃𝑃:(0...0)⟶𝑉))
93, 8mpbird 256 . 2 ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → ∅(Trails‘𝐺)𝑃)
10 0ex 5262 . . . 4 ∅ ∈ V
1110a1i 11 . . 3 ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → ∅ ∈ V)
1210wlkonlem2 28908 . . 3 ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → 𝑃 ∈ (𝑉pm (0...0)))
131istrlson 28500 . . 3 (((𝑁𝑉𝑁𝑉) ∧ (∅ ∈ V ∧ 𝑃 ∈ (𝑉pm (0...0)))) → (∅(𝑁(TrailsOn‘𝐺)𝑁)𝑃 ↔ (∅(𝑁(WalksOn‘𝐺)𝑁)𝑃 ∧ ∅(Trails‘𝐺)𝑃)))
144, 11, 12, 13syl12anc 835 . 2 ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → (∅(𝑁(TrailsOn‘𝐺)𝑁)𝑃 ↔ (∅(𝑁(WalksOn‘𝐺)𝑁)𝑃 ∧ ∅(Trails‘𝐺)𝑃)))
152, 9, 14mpbir2and 711 1 ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → ∅(𝑁(TrailsOn‘𝐺)𝑁)𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3443  c0 4280   class class class wbr 5103  wf 6489  cfv 6493  (class class class)co 7351  pm cpm 8724  0cc0 11009  ...cfz 13378  Vtxcvtx 27792  WalksOncwlkson 28390  Trailsctrls 28483  TrailsOnctrlson 28484
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-ifp 1062  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-1o 8404  df-er 8606  df-map 8725  df-pm 8726  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-fin 8845  df-card 9833  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-nn 12112  df-n0 12372  df-z 12458  df-uz 12722  df-fz 13379  df-fzo 13522  df-hash 14185  df-word 14357  df-wlks 28392  df-wlkson 28393  df-trls 28485  df-trlson 28486
This theorem is referenced by:  0pthon  28916
  Copyright terms: Public domain W3C validator