Theorem 0trlon 27590

Description: A trail of length 0 from a vertex to itself. (Contributed by Alexander van der Vekens, 2-Dec-2017.) (Revised by AV, 8-Jan-2021.) (Revised by AV, 23-Mar-2021.) (Proof shortened by AV, 30-Oct-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
0wlk.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
0trlon	⊢ ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → ∅(𝑁(TrailsOn‘𝐺)𝑁)𝑃)

Proof of Theorem 0trlon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0wlk.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2	1	0wlkon 27586	. 2 ⊢ ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → ∅(𝑁(WalksOn‘𝐺)𝑁)𝑃)
3		simpl 483	. . 3 ⊢ ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → 𝑃:(0...0)⟶𝑉)
4	1	0wlkonlem1 27584	. . . 4 ⊢ ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉))
5	1	1vgrex 26470	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ V)
6	5	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → 𝐺 ∈ V)
7	1	0trl 27588	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ V → (∅(Trails‘𝐺)𝑃 ↔ 𝑃:(0...0)⟶𝑉))
8	4, 6, 7	3syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → (∅(Trails‘𝐺)𝑃 ↔ 𝑃:(0...0)⟶𝑉))
9	3, 8	mpbird 258	. 2 ⊢ ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → ∅(Trails‘𝐺)𝑃)
10		0ex 5102	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
11	10	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → ∅ ∈ V)
12	1	0wlkonlem2 27585	. . 3 ⊢ ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → 𝑃 ∈ (𝑉 ↑pm (0...0)))
13	1	istrlson 27175	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (∅ ∈ V ∧ 𝑃 ∈ (𝑉 ↑pm (0...0)))) → (∅(𝑁(TrailsOn‘𝐺)𝑁)𝑃 ↔ (∅(𝑁(WalksOn‘𝐺)𝑁)𝑃 ∧ ∅(Trails‘𝐺)𝑃)))
14	4, 11, 12, 13	syl12anc 833	. 2 ⊢ ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → (∅(𝑁(TrailsOn‘𝐺)𝑁)𝑃 ↔ (∅(𝑁(WalksOn‘𝐺)𝑁)𝑃 ∧ ∅(Trails‘𝐺)𝑃)))
15	2, 9, 14	mpbir2and 709	1 ⊢ ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → ∅(𝑁(TrailsOn‘𝐺)𝑁)𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1522   ∈ wcel 2081  Vcvv 3437  ∅c0 4211   class class class wbr 4962  ⟶wf 6221  ‘cfv 6225  (class class class)co 7016   ↑_pm cpm 8257  0cc0 10383  ...cfz 12742  Vtxcvtx 26464  WalksOncwlkson 27062  Trailsctrls 27157  TrailsOnctrlson 27158

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-ifp 1056  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-er 8139  df-map 8258  df-pm 8259  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-card 9214  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-nn 11487  df-n0 11746  df-z 11830  df-uz 12094  df-fz 12743  df-fzo 12884  df-hash 13541  df-word 13708  df-wlks 27064  df-wlkson 27065  df-trls 27159  df-trlson 27160

This theorem is referenced by:  0pthon  27593