Theorem cplgr1vlem 29502

Description: Lemma for cplgr1v 29503 and cusgr1v 29504. (Contributed by AV, 23-Mar-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
cplgr0v.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
cplgr1vlem	⊢ ((♯‘𝑉) = 1 → 𝐺 ∈ V)

Proof of Theorem cplgr1vlem

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cplgr0v.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2	1	fvexi 6848	. . 3 ⊢ 𝑉 ∈ V
3		hash1snb 14342	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ V → ((♯‘𝑉) = 1 ↔ ∃𝑛 𝑉 = {𝑛}))
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((♯‘𝑉) = 1 ↔ ∃𝑛 𝑉 = {𝑛})
5		vsnid 4620	. . . . 5 ⊢ 𝑛 ∈ {𝑛}
6		eleq2 2825	. . . . 5 ⊢ (𝑉 = {𝑛} → (𝑛 ∈ 𝑉 ↔ 𝑛 ∈ {𝑛}))
7	5, 6	mpbiri 258	. . . 4 ⊢ (𝑉 = {𝑛} → 𝑛 ∈ 𝑉)
8	1	1vgrex 29075	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ V)
9	7, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑉 = {𝑛} → 𝐺 ∈ V)
10	9	exlimiv 1931	. 2 ⊢ (∃𝑛 𝑉 = {𝑛} → 𝐺 ∈ V)
11	4, 10	sylbi 217	1 ⊢ ((♯‘𝑉) = 1 → 𝐺 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2113  Vcvv 3440  {csn 4580  ‘cfv 6492  1c1 11027  ♯chash 14253  Vtxcvtx 29069

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-oadd 8401  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-dju 9813  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-fz 13424  df-hash 14254

This theorem is referenced by:  cplgr1v  29503  cusgr1v  29504