Theorem 0clwlkv 28396

Description: Any vertex (more precisely, a pair of an empty set (of edges) and a singleton function to this vertex) determines a closed walk of length 0. (Contributed by AV, 11-Feb-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
0clwlk.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
0clwlkv	⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 = ∅ ∧ 𝑃:{0}⟶{𝑋}) → 𝐹(ClWalks‘𝐺)𝑃)

Proof of Theorem 0clwlkv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fz0sn 13285	. . . . . . 7 ⊢ (0...0) = {0}
2	1	eqcomi 2747	. . . . . 6 ⊢ {0} = (0...0)
3	2	feq2i 6576	. . . . 5 ⊢ (𝑃:{0}⟶{𝑋} ↔ 𝑃:(0...0)⟶{𝑋})
4	3	biimpi 215	. . . 4 ⊢ (𝑃:{0}⟶{𝑋} → 𝑃:(0...0)⟶{𝑋})
5	4	3ad2ant3 1133	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 = ∅ ∧ 𝑃:{0}⟶{𝑋}) → 𝑃:(0...0)⟶{𝑋})
6		snssi 4738	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → {𝑋} ⊆ 𝑉)
7	6	3ad2ant1 1131	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 = ∅ ∧ 𝑃:{0}⟶{𝑋}) → {𝑋} ⊆ 𝑉)
8	5, 7	fssd 6602	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 = ∅ ∧ 𝑃:{0}⟶{𝑋}) → 𝑃:(0...0)⟶𝑉)
9		breq1 5073	. . . 4 ⊢ (𝐹 = ∅ → (𝐹(ClWalks‘𝐺)𝑃 ↔ ∅(ClWalks‘𝐺)𝑃))
10	9	3ad2ant2 1132	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 = ∅ ∧ 𝑃:{0}⟶{𝑋}) → (𝐹(ClWalks‘𝐺)𝑃 ↔ ∅(ClWalks‘𝐺)𝑃))
11		0clwlk.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
12	11	1vgrex 27275	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ V)
13	11	0clwlk 28395	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ V → (∅(ClWalks‘𝐺)𝑃 ↔ 𝑃:(0...0)⟶𝑉))
14	12, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (∅(ClWalks‘𝐺)𝑃 ↔ 𝑃:(0...0)⟶𝑉))
15	14	3ad2ant1 1131	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 = ∅ ∧ 𝑃:{0}⟶{𝑋}) → (∅(ClWalks‘𝐺)𝑃 ↔ 𝑃:(0...0)⟶𝑉))
16	10, 15	bitrd 278	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 = ∅ ∧ 𝑃:{0}⟶{𝑋}) → (𝐹(ClWalks‘𝐺)𝑃 ↔ 𝑃:(0...0)⟶𝑉))
17	8, 16	mpbird 256	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 = ∅ ∧ 𝑃:{0}⟶{𝑋}) → 𝐹(ClWalks‘𝐺)𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422   ⊆ wss 3883  ∅c0 4253  {csn 4558   class class class wbr 5070  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  0cc0 10802  ...cfz 13168  Vtxcvtx 27269  ClWalkscclwlks 28039

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-ifp 1060  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-hash 13973  df-word 14146  df-wlks 27869  df-clwlks 28040

This theorem is referenced by:  wlkl0  28632