Theorem 0clwlkv 30779

Description: Any vertex (more precisely, a pair of an empty set (of edges) and a singleton function to this vertex) determines a closed walk of length 0. (Contributed by AV, 11-Feb-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
0clwlk.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
0clwlkv	⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 = ∅ ∧ 𝑃:{0}⟶{𝑋}) → 𝐹(ClWalks‘𝐺)𝑃)

Proof of Theorem 0clwlkv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fz0sn 13801	. . . . . . 7 ⊢ (0...0) = {0}
2	1	eqcomi 2772	. . . . . 6 ⊢ {0} = (0...0)
3	2	feq2i 6731	. . . . 5 ⊢ (𝑃:{0}⟶{𝑋} ↔ 𝑃:(0...0)⟶{𝑋})
4	3	biimpi 219	. . . 4 ⊢ (𝑃:{0}⟶{𝑋} → 𝑃:(0...0)⟶{𝑋})
5	4	3ad2ant3 1153	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 = ∅ ∧ 𝑃:{0}⟶{𝑋}) → 𝑃:(0...0)⟶{𝑋})
6		snssi 4748	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → {𝑋} ⊆ 𝑉)
7	6	3ad2ant1 1151	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 = ∅ ∧ 𝑃:{0}⟶{𝑋}) → {𝑋} ⊆ 𝑉)
8	5, 7	fssd 6757	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 = ∅ ∧ 𝑃:{0}⟶{𝑋}) → 𝑃:(0...0)⟶𝑉)
9		breq1 5111	. . . 4 ⊢ (𝐹 = ∅ → (𝐹(ClWalks‘𝐺)𝑃 ↔ ∅(ClWalks‘𝐺)𝑃))
10	9	3ad2ant2 1152	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 = ∅ ∧ 𝑃:{0}⟶{𝑋}) → (𝐹(ClWalks‘𝐺)𝑃 ↔ ∅(ClWalks‘𝐺)𝑃))
11		0clwlk.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
12	11	1vgrex 29637	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ V)
13	11	0clwlk 30778	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ V → (∅(ClWalks‘𝐺)𝑃 ↔ 𝑃:(0...0)⟶𝑉))
14	12, 13	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (∅(ClWalks‘𝐺)𝑃 ↔ 𝑃:(0...0)⟶𝑉))
15	14	3ad2ant1 1151	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 = ∅ ∧ 𝑃:{0}⟶{𝑋}) → (∅(ClWalks‘𝐺)𝑃 ↔ 𝑃:(0...0)⟶𝑉))
16	10, 15	bitrd 282	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 = ∅ ∧ 𝑃:{0}⟶{𝑋}) → (𝐹(ClWalks‘𝐺)𝑃 ↔ 𝑃:(0...0)⟶𝑉))
17	8, 16	mpbird 260	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 = ∅ ∧ 𝑃:{0}⟶{𝑋}) → 𝐹(ClWalks‘𝐺)𝑃)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900  ∅c0 4281  {csn 4588   class class class wbr 5108  ⟶wf 6562  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  0cc0 11239  ...cfz 13679  Vtxcvtx 29631  ClWalkscclwlks 30414

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-map 8887  df-pm 8888  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-hash 14516  df-word 14700  df-wlks 30237  df-clwlks 30415

This theorem is used by:  wlkl0  31025