Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0clwlkv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0clwlkv 27902
 Description: Any vertex (more precisely, a pair of an empty set (of edges) and a singleton function to this vertex) determines a closed walk of length 0. (Contributed by AV, 11-Feb-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
0clwlk.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
0clwlkv ((𝑋𝑉𝐹 = ∅ ∧ 𝑃:{0}⟶{𝑋}) → 𝐹(ClWalks‘𝐺)𝑃)

Proof of Theorem 0clwlkv
StepHypRef Expression
1 fz0sn 12999 . . . . . . 7 (0...0) = {0}
21eqcomi 2828 . . . . . 6 {0} = (0...0)
32feq2i 6499 . . . . 5 (𝑃:{0}⟶{𝑋} ↔ 𝑃:(0...0)⟶{𝑋})
43biimpi 218 . . . 4 (𝑃:{0}⟶{𝑋} → 𝑃:(0...0)⟶{𝑋})
543ad2ant3 1130 . . 3 ((𝑋𝑉𝐹 = ∅ ∧ 𝑃:{0}⟶{𝑋}) → 𝑃:(0...0)⟶{𝑋})
6 snssi 4733 . . . 4 (𝑋𝑉 → {𝑋} ⊆ 𝑉)
763ad2ant1 1128 . . 3 ((𝑋𝑉𝐹 = ∅ ∧ 𝑃:{0}⟶{𝑋}) → {𝑋} ⊆ 𝑉)
85, 7fssd 6521 . 2 ((𝑋𝑉𝐹 = ∅ ∧ 𝑃:{0}⟶{𝑋}) → 𝑃:(0...0)⟶𝑉)
9 breq1 5060 . . . 4 (𝐹 = ∅ → (𝐹(ClWalks‘𝐺)𝑃 ↔ ∅(ClWalks‘𝐺)𝑃))
1093ad2ant2 1129 . . 3 ((𝑋𝑉𝐹 = ∅ ∧ 𝑃:{0}⟶{𝑋}) → (𝐹(ClWalks‘𝐺)𝑃 ↔ ∅(ClWalks‘𝐺)𝑃))
11 0clwlk.v . . . . . 6 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
12111vgrex 26779 . . . . 5 (𝑋𝑉𝐺 ∈ V)
13110clwlk 27901 . . . . 5 (𝐺 ∈ V → (∅(ClWalks‘𝐺)𝑃𝑃:(0...0)⟶𝑉))
1412, 13syl 17 . . . 4 (𝑋𝑉 → (∅(ClWalks‘𝐺)𝑃𝑃:(0...0)⟶𝑉))
15143ad2ant1 1128 . . 3 ((𝑋𝑉𝐹 = ∅ ∧ 𝑃:{0}⟶{𝑋}) → (∅(ClWalks‘𝐺)𝑃𝑃:(0...0)⟶𝑉))
1610, 15bitrd 281 . 2 ((𝑋𝑉𝐹 = ∅ ∧ 𝑃:{0}⟶{𝑋}) → (𝐹(ClWalks‘𝐺)𝑃𝑃:(0...0)⟶𝑉))
178, 16mpbird 259 1 ((𝑋𝑉𝐹 = ∅ ∧ 𝑃:{0}⟶{𝑋}) → 𝐹(ClWalks‘𝐺)𝑃)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ w3a 1082   = wceq 1531   ∈ wcel 2108  Vcvv 3493   ⊆ wss 3934  ∅c0 4289  {csn 4559   class class class wbr 5057  ⟶wf 6344  ‘cfv 6348  (class class class)co 7148  0cc0 10529  ...cfz 12884  Vtxcvtx 26773  ClWalkscclwlks 27543 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-ifp 1058  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-er 8281  df-map 8400  df-pm 8401  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12885  df-fzo 13026  df-hash 13683  df-word 13854  df-wlks 27373  df-clwlks 27544 This theorem is referenced by:  wlkl0  28138
 Copyright terms: Public domain W3C validator