Theorem 0clwlkv 28489

Description: Any vertex (more precisely, a pair of an empty set (of edges) and a singleton function to this vertex) determines a closed walk of length 0. (Contributed by AV, 11-Feb-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
0clwlk.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
0clwlkv	⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 = ∅ ∧ 𝑃:{0}⟶{𝑋}) → 𝐹(ClWalks‘𝐺)𝑃)

Proof of Theorem 0clwlkv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fz0sn 13353	. . . . . . 7 ⊢ (0...0) = {0}
2	1	eqcomi 2749	. . . . . 6 ⊢ {0} = (0...0)
3	2	feq2i 6589	. . . . 5 ⊢ (𝑃:{0}⟶{𝑋} ↔ 𝑃:(0...0)⟶{𝑋})
4	3	biimpi 215	. . . 4 ⊢ (𝑃:{0}⟶{𝑋} → 𝑃:(0...0)⟶{𝑋})
5	4	3ad2ant3 1134	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 = ∅ ∧ 𝑃:{0}⟶{𝑋}) → 𝑃:(0...0)⟶{𝑋})
6		snssi 4747	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → {𝑋} ⊆ 𝑉)
7	6	3ad2ant1 1132	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 = ∅ ∧ 𝑃:{0}⟶{𝑋}) → {𝑋} ⊆ 𝑉)
8	5, 7	fssd 6615	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 = ∅ ∧ 𝑃:{0}⟶{𝑋}) → 𝑃:(0...0)⟶𝑉)
9		breq1 5082	. . . 4 ⊢ (𝐹 = ∅ → (𝐹(ClWalks‘𝐺)𝑃 ↔ ∅(ClWalks‘𝐺)𝑃))
10	9	3ad2ant2 1133	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 = ∅ ∧ 𝑃:{0}⟶{𝑋}) → (𝐹(ClWalks‘𝐺)𝑃 ↔ ∅(ClWalks‘𝐺)𝑃))
11		0clwlk.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
12	11	1vgrex 27368	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ V)
13	11	0clwlk 28488	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ V → (∅(ClWalks‘𝐺)𝑃 ↔ 𝑃:(0...0)⟶𝑉))
14	12, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (∅(ClWalks‘𝐺)𝑃 ↔ 𝑃:(0...0)⟶𝑉))
15	14	3ad2ant1 1132	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 = ∅ ∧ 𝑃:{0}⟶{𝑋}) → (∅(ClWalks‘𝐺)𝑃 ↔ 𝑃:(0...0)⟶𝑉))
16	10, 15	bitrd 278	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 = ∅ ∧ 𝑃:{0}⟶{𝑋}) → (𝐹(ClWalks‘𝐺)𝑃 ↔ 𝑃:(0...0)⟶𝑉))
17	8, 16	mpbird 256	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 = ∅ ∧ 𝑃:{0}⟶{𝑋}) → 𝐹(ClWalks‘𝐺)𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1086   = wceq 1542   ∈ wcel 2110  Vcvv 3431   ⊆ wss 3892  ∅c0 4262  {csn 4567   class class class wbr 5079  ⟶wf 6427  ‘cfv 6431  (class class class)co 7269  0cc0 10870  ...cfz 13236  Vtxcvtx 27362  ClWalkscclwlks 28132

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7580  ax-cnex 10926  ax-resscn 10927  ax-1cn 10928  ax-icn 10929  ax-addcl 10930  ax-addrcl 10931  ax-mulcl 10932  ax-mulrcl 10933  ax-mulcom 10934  ax-addass 10935  ax-mulass 10936  ax-distr 10937  ax-i2m1 10938  ax-1ne0 10939  ax-1rid 10940  ax-rnegex 10941  ax-rrecex 10942  ax-cnre 10943  ax-pre-lttri 10944  ax-pre-lttrn 10945  ax-pre-ltadd 10946  ax-pre-mulgt0 10947

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-ifp 1061  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6200  df-ord 6267  df-on 6268  df-lim 6269  df-suc 6270  df-iota 6389  df-fun 6433  df-fn 6434  df-f 6435  df-f1 6436  df-fo 6437  df-f1o 6438  df-fv 6439  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-om 7705  df-1st 7822  df-2nd 7823  df-frecs 8086  df-wrecs 8117  df-recs 8191  df-rdg 8230  df-1o 8286  df-er 8479  df-map 8598  df-pm 8599  df-en 8715  df-dom 8716  df-sdom 8717  df-fin 8718  df-card 9696  df-pnf 11010  df-mnf 11011  df-xr 11012  df-ltxr 11013  df-le 11014  df-sub 11205  df-neg 11206  df-nn 11972  df-n0 12232  df-z 12318  df-uz 12580  df-fz 13237  df-fzo 13380  df-hash 14041  df-word 14214  df-wlks 27962  df-clwlks 28133

This theorem is referenced by:  wlkl0  28725