Theorem 0clwlkv 30067

Description: Any vertex (more precisely, a pair of an empty set (of edges) and a singleton function to this vertex) determines a closed walk of length 0. (Contributed by AV, 11-Feb-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
0clwlk.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
0clwlkv	⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 = ∅ ∧ 𝑃:{0}⟶{𝑋}) → 𝐹(ClWalks‘𝐺)𝑃)

Proof of Theorem 0clwlkv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fz0sn 13595	. . . . . . 7 ⊢ (0...0) = {0}
2	1	eqcomi 2739	. . . . . 6 ⊢ {0} = (0...0)
3	2	feq2i 6683	. . . . 5 ⊢ (𝑃:{0}⟶{𝑋} ↔ 𝑃:(0...0)⟶{𝑋})
4	3	biimpi 216	. . . 4 ⊢ (𝑃:{0}⟶{𝑋} → 𝑃:(0...0)⟶{𝑋})
5	4	3ad2ant3 1135	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 = ∅ ∧ 𝑃:{0}⟶{𝑋}) → 𝑃:(0...0)⟶{𝑋})
6		snssi 4775	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → {𝑋} ⊆ 𝑉)
7	6	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 = ∅ ∧ 𝑃:{0}⟶{𝑋}) → {𝑋} ⊆ 𝑉)
8	5, 7	fssd 6708	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 = ∅ ∧ 𝑃:{0}⟶{𝑋}) → 𝑃:(0...0)⟶𝑉)
9		breq1 5113	. . . 4 ⊢ (𝐹 = ∅ → (𝐹(ClWalks‘𝐺)𝑃 ↔ ∅(ClWalks‘𝐺)𝑃))
10	9	3ad2ant2 1134	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 = ∅ ∧ 𝑃:{0}⟶{𝑋}) → (𝐹(ClWalks‘𝐺)𝑃 ↔ ∅(ClWalks‘𝐺)𝑃))
11		0clwlk.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
12	11	1vgrex 28936	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ V)
13	11	0clwlk 30066	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ V → (∅(ClWalks‘𝐺)𝑃 ↔ 𝑃:(0...0)⟶𝑉))
14	12, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (∅(ClWalks‘𝐺)𝑃 ↔ 𝑃:(0...0)⟶𝑉))
15	14	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 = ∅ ∧ 𝑃:{0}⟶{𝑋}) → (∅(ClWalks‘𝐺)𝑃 ↔ 𝑃:(0...0)⟶𝑉))
16	10, 15	bitrd 279	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 = ∅ ∧ 𝑃:{0}⟶{𝑋}) → (𝐹(ClWalks‘𝐺)𝑃 ↔ 𝑃:(0...0)⟶𝑉))
17	8, 16	mpbird 257	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 = ∅ ∧ 𝑃:{0}⟶{𝑋}) → 𝐹(ClWalks‘𝐺)𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450   ⊆ wss 3917  ∅c0 4299  {csn 4592   class class class wbr 5110  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  0cc0 11075  ...cfz 13475  Vtxcvtx 28930  ClWalkscclwlks 29707

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-map 8804  df-pm 8805  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-hash 14303  df-word 14486  df-wlks 29534  df-clwlks 29708

This theorem is referenced by:  wlkl0  30303