Theorem 0clwlkv 30112

Description: Any vertex (more precisely, a pair of an empty set (of edges) and a singleton function to this vertex) determines a closed walk of length 0. (Contributed by AV, 11-Feb-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
0clwlk.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
0clwlkv	⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 = ∅ ∧ 𝑃:{0}⟶{𝑋}) → 𝐹(ClWalks‘𝐺)𝑃)

Proof of Theorem 0clwlkv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fz0sn 13644	. . . . . . 7 ⊢ (0...0) = {0}
2	1	eqcomi 2744	. . . . . 6 ⊢ {0} = (0...0)
3	2	feq2i 6698	. . . . 5 ⊢ (𝑃:{0}⟶{𝑋} ↔ 𝑃:(0...0)⟶{𝑋})
4	3	biimpi 216	. . . 4 ⊢ (𝑃:{0}⟶{𝑋} → 𝑃:(0...0)⟶{𝑋})
5	4	3ad2ant3 1135	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 = ∅ ∧ 𝑃:{0}⟶{𝑋}) → 𝑃:(0...0)⟶{𝑋})
6		snssi 4784	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → {𝑋} ⊆ 𝑉)
7	6	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 = ∅ ∧ 𝑃:{0}⟶{𝑋}) → {𝑋} ⊆ 𝑉)
8	5, 7	fssd 6723	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 = ∅ ∧ 𝑃:{0}⟶{𝑋}) → 𝑃:(0...0)⟶𝑉)
9		breq1 5122	. . . 4 ⊢ (𝐹 = ∅ → (𝐹(ClWalks‘𝐺)𝑃 ↔ ∅(ClWalks‘𝐺)𝑃))
10	9	3ad2ant2 1134	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 = ∅ ∧ 𝑃:{0}⟶{𝑋}) → (𝐹(ClWalks‘𝐺)𝑃 ↔ ∅(ClWalks‘𝐺)𝑃))
11		0clwlk.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
12	11	1vgrex 28981	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ V)
13	11	0clwlk 30111	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ V → (∅(ClWalks‘𝐺)𝑃 ↔ 𝑃:(0...0)⟶𝑉))
14	12, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (∅(ClWalks‘𝐺)𝑃 ↔ 𝑃:(0...0)⟶𝑉))
15	14	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 = ∅ ∧ 𝑃:{0}⟶{𝑋}) → (∅(ClWalks‘𝐺)𝑃 ↔ 𝑃:(0...0)⟶𝑉))
16	10, 15	bitrd 279	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 = ∅ ∧ 𝑃:{0}⟶{𝑋}) → (𝐹(ClWalks‘𝐺)𝑃 ↔ 𝑃:(0...0)⟶𝑉))
17	8, 16	mpbird 257	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 = ∅ ∧ 𝑃:{0}⟶{𝑋}) → 𝐹(ClWalks‘𝐺)𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3459   ⊆ wss 3926  ∅c0 4308  {csn 4601   class class class wbr 5119  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  0cc0 11129  ...cfz 13524  Vtxcvtx 28975  ClWalkscclwlks 29752

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8719  df-map 8842  df-pm 8843  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-card 9953  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-hash 14349  df-word 14532  df-wlks 29579  df-clwlks 29753

This theorem is referenced by:  wlkl0  30348