Theorem is0trl 30474

Description: A pair of an empty set (of edges) and a sequence of one vertex is a trail (of length 0). (Contributed by AV, 7-Jan-2021.) (Revised by AV, 23-Mar-2021.) (Proof shortened by AV, 30-Oct-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
0wlk.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
is0trl	⊢ ((𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩} ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ∅(Trails‘𝐺)𝑃)

Proof of Theorem is0trl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1fv 13671	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩}) → (𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁))
2	1	ancoms 463	. . 3 ⊢ ((𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩} ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁))
3	2	simpld 499	. 2 ⊢ ((𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩} ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → 𝑃:(0...0)⟶𝑉)
4		0wlk.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
5	4	1vgrex 29352	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ V)
6	5	adantl 486	. . 3 ⊢ ((𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩} ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → 𝐺 ∈ V)
7	4	0trl 30473	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ V → (∅(Trails‘𝐺)𝑃 ↔ 𝑃:(0...0)⟶𝑉))
8	6, 7	syl 18	. 2 ⊢ ((𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩} ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (∅(Trails‘𝐺)𝑃 ↔ 𝑃:(0...0)⟶𝑉))
9	3, 8	mpbird 260	1 ⊢ ((𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩} ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ∅(Trails‘𝐺)𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455  ∅c0 4286  {csn 4589  ⟨cop 4595   class class class wbr 5109  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  0cc0 11095  ...cfz 13530  Vtxcvtx 29346  Trailsctrls 30038

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-hash 14363  df-word 14547  df-wlks 29949  df-trls 30040

This theorem is referenced by: (None)