Theorem is0wlk 29875

Description: A pair of an empty set (of edges) and a sequence of one vertex is a walk (of length 0). (Contributed by AV, 3-Jan-2021.) (Revised by AV, 23-Mar-2021.) (Proof shortened by AV, 30-Oct-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
0wlk.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
is0wlk	⊢ ((𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩} ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ∅(Walks‘𝐺)𝑃)

Proof of Theorem is0wlk

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1fv 13623	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩}) → (𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁))
2	1	ancoms 458	. . 3 ⊢ ((𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩} ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁))
3	2	simpld 494	. 2 ⊢ ((𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩} ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → 𝑃:(0...0)⟶𝑉)
4		0wlk.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
5	4	1vgrex 28766	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ V)
6	5	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩} ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → 𝐺 ∈ V)
7	4	0wlk 29874	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ V → (∅(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ 𝑃:(0...0)⟶𝑉))
8	6, 7	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩} ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (∅(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ 𝑃:(0...0)⟶𝑉))
9	3, 8	mpbird 257	1 ⊢ ((𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩} ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ∅(Walks‘𝐺)𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468  ∅c0 4317  {csn 4623  ⟨cop 4629   class class class wbr 5141  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7404  0cc0 11109  ...cfz 13487  Vtxcvtx 28760  Walkscwlks 29358

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-ifp 1060  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-hash 14294  df-word 14469  df-wlks 29361

This theorem is referenced by:  eupth0  29972