MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pthsonfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pthsonfval 27527
Description: The set of paths between two vertices (in an undirected graph). (Contributed by Alexander van der Vekens, 8-Nov-2017.) (Revised by AV, 16-Jan-2021.) (Revised by AV, 21-Mar-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
pthsonfval.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
pthsonfval ((𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴(PathsOn‘𝐺)𝐵) = {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(𝐴(TrailsOn‘𝐺)𝐵)𝑝𝑓(Paths‘𝐺)𝑝)})
Distinct variable groups:   𝑓,𝐺,𝑝   𝐴,𝑓,𝑝   𝐵,𝑓,𝑝   𝑓,𝑉,𝑝

Proof of Theorem pthsonfval
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pthsonfval.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
211vgrex 26793 . . 3 (𝐴𝑉𝐺 ∈ V)
32adantr 484 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑉) → 𝐺 ∈ V)
4 simpl 486 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑉) → 𝐴𝑉)
54, 1eleqtrdi 2924 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑉) → 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺))
6 simpr 488 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑉) → 𝐵𝑉)
76, 1eleqtrdi 2924 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑉) → 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺))
8 wksv 27407 . . 3 {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ 𝑓(Walks‘𝐺)𝑝} ∈ V
98a1i 11 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑉) → {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ 𝑓(Walks‘𝐺)𝑝} ∈ V)
10 pthiswlk 27514 . . 3 (𝑓(Paths‘𝐺)𝑝𝑓(Walks‘𝐺)𝑝)
1110adantl 485 . 2 (((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝑓(Paths‘𝐺)𝑝) → 𝑓(Walks‘𝐺)𝑝)
12 df-pthson 27505 . 2 PathsOn = (𝑔 ∈ V ↦ (𝑎 ∈ (Vtx‘𝑔), 𝑏 ∈ (Vtx‘𝑔) ↦ {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(𝑎(TrailsOn‘𝑔)𝑏)𝑝𝑓(Paths‘𝑔)𝑝)}))
133, 5, 7, 9, 11, 12mptmpoopabovd 7766 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴(PathsOn‘𝐺)𝐵) = {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(𝐴(TrailsOn‘𝐺)𝐵)𝑝𝑓(Paths‘𝐺)𝑝)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2114  Vcvv 3469   class class class wbr 5042  {copab 5104  cfv 6334  (class class class)co 7140  Vtxcvtx 26787  Walkscwlks 27384  TrailsOnctrlson 27479  Pathscpths 27499  PathsOncpthson 27501
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-ifp 1059  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-card 9356  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-hash 13687  df-word 13858  df-wlks 27387  df-trls 27480  df-pths 27503  df-pthson 27505
This theorem is referenced by:  ispthson  27529
  Copyright terms: Public domain W3C validator