MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  upgr1e Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem upgr1e 28877
Description: A pseudograph with one edge. Such a graph is actually a simple pseudograph, see uspgr1e 29005. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by AV, 16-Oct-2020.) (Revised by AV, 21-Mar-2021.) (Proof shortened by AV, 17-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
upgr1e.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
upgr1e.a (𝜑𝐴𝑋)
upgr1e.b (𝜑𝐵𝑉)
upgr1e.c (𝜑𝐶𝑉)
upgr1e.e (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})
Assertion
Ref Expression
upgr1e (𝜑𝐺 ∈ UPGraph)

Proof of Theorem upgr1e
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 upgr1e.a . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑋)
2 prex 5425 . . . . . . . 8 {𝐵, 𝐶} ∈ V
32snid 4659 . . . . . . 7 {𝐵, 𝐶} ∈ {{𝐵, 𝐶}}
43a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → {𝐵, 𝐶} ∈ {{𝐵, 𝐶}})
51, 4fsnd 6869 . . . . 5 (𝜑 → {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:{𝐴}⟶{{𝐵, 𝐶}})
6 upgr1e.b . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵𝑉)
7 upgr1e.c . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶𝑉)
86, 7prssd 4820 . . . . . . . 8 (𝜑 → {𝐵, 𝐶} ⊆ 𝑉)
9 upgr1e.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
108, 9sseqtrdi 4027 . . . . . . 7 (𝜑 → {𝐵, 𝐶} ⊆ (Vtx‘𝐺))
112elpw 4601 . . . . . . 7 ({𝐵, 𝐶} ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ↔ {𝐵, 𝐶} ⊆ (Vtx‘𝐺))
1210, 11sylibr 233 . . . . . 6 (𝜑 → {𝐵, 𝐶} ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺))
1312, 6upgr1elem 28876 . . . . 5 (𝜑 → {{𝐵, 𝐶}} ⊆ {𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2})
145, 13fssd 6728 . . . 4 (𝜑 → {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:{𝐴}⟶{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2})
1514ffdmd 6741 . . 3 (𝜑 → {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:dom {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}⟶{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2})
16 upgr1e.e . . . 4 (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})
1716dmeqd 5898 . . . 4 (𝜑 → dom (iEdg‘𝐺) = dom {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})
1816, 17feq12d 6698 . . 3 (𝜑 → ((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2} ↔ {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:dom {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}⟶{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2}))
1915, 18mpbird 257 . 2 (𝜑 → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2})
2091vgrex 28766 . . 3 (𝐵𝑉𝐺 ∈ V)
21 eqid 2726 . . . 4 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
22 eqid 2726 . . . 4 (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
2321, 22isupgr 28848 . . 3 (𝐺 ∈ V → (𝐺 ∈ UPGraph ↔ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2}))
246, 20, 233syl 18 . 2 (𝜑 → (𝐺 ∈ UPGraph ↔ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2}))
2519, 24mpbird 257 1 (𝜑𝐺 ∈ UPGraph)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205   = wceq 1533  wcel 2098  {crab 3426  Vcvv 3468  cdif 3940  wss 3943  c0 4317  𝒫 cpw 4597  {csn 4623  {cpr 4625  cop 4629   class class class wbr 5141  dom cdm 5669  wf 6532  cfv 6536  cle 11250  2c2 12268  chash 14293  Vtxcvtx 28760  iEdgciedg 28761  UPGraphcupgr 28844
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-oadd 8468  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-dju 9895  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-n0 12474  df-xnn0 12546  df-z 12560  df-uz 12824  df-fz 13488  df-hash 14294  df-upgr 28846
This theorem is referenced by:  upgr1eop  28879  upgr1eopALT  28881
  Copyright terms: Public domain W3C validator