Theorem upgr1e 29047

Description: A pseudograph with one edge. Such a graph is actually a simple pseudograph, see uspgr1e 29178. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by AV, 16-Oct-2020.) (Revised by AV, 21-Mar-2021.) (Proof shortened by AV, 17-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
upgr1e.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
upgr1e.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
upgr1e.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
upgr1e.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
upgr1e.e	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})

Assertion

Ref	Expression
upgr1e	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UPGraph)

Proof of Theorem upgr1e

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		upgr1e.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
2		prex 5395	. . . . . . . 8 ⊢ {𝐵, 𝐶} ∈ V
3	2	snid 4629	. . . . . . 7 ⊢ {𝐵, 𝐶} ∈ {{𝐵, 𝐶}}
4	3	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝐵, 𝐶} ∈ {{𝐵, 𝐶}})
5	1, 4	fsnd 6846	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:{𝐴}⟶{{𝐵, 𝐶}})
6		upgr1e.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
7		upgr1e.c	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
8	6, 7	prssd 4789	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝐵, 𝐶} ⊆ 𝑉)
9		upgr1e.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
10	8, 9	sseqtrdi 3990	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝐵, 𝐶} ⊆ (Vtx‘𝐺))
11	2	elpw 4570	. . . . . . 7 ⊢ ({𝐵, 𝐶} ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ↔ {𝐵, 𝐶} ⊆ (Vtx‘𝐺))
12	10, 11	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝐵, 𝐶} ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺))
13	12, 6	upgr1elem 29046	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {{𝐵, 𝐶}} ⊆ {𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2})
14	5, 13	fssd 6708	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:{𝐴}⟶{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2})
15	14	ffdmd 6721	. . 3 ⊢ (𝜑 → {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:dom {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}⟶{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2})
16		upgr1e.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})
17	16	dmeqd 5872	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘𝐺) = dom {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})
18	16, 17	feq12d 6679	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2} ↔ {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:dom {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}⟶{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2}))
19	15, 18	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2})
20	9	1vgrex 28936	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ V)
21		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
22		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
23	21, 22	isupgr 29018	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ V → (𝐺 ∈ UPGraph ↔ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2}))
24	6, 20, 23	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ UPGraph ↔ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2}))
25	19, 24	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UPGraph)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {crab 3408  Vcvv 3450   ∖ cdif 3914   ⊆ wss 3917  ∅c0 4299  𝒫 cpw 4566  {csn 4592  {cpr 4594  ⟨cop 4598   class class class wbr 5110  dom cdm 5641  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514   ≤ cle 11216  2c2 12248  ♯chash 14302  Vtxcvtx 28930  iEdgciedg 28931  UPGraphcupgr 29014

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-oadd 8441  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-dju 9861  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-n0 12450  df-xnn0 12523  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-hash 14303  df-upgr 29016

This theorem is referenced by:  upgr1eop  29049  upgr1eopALT  29051