Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  upgr1e Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem upgr1e 27005
 Description: A pseudograph with one edge. Such a graph is actually a simple pseudograph, see uspgr1e 27133. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by AV, 16-Oct-2020.) (Revised by AV, 21-Mar-2021.) (Proof shortened by AV, 17-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
upgr1e.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
upgr1e.a (𝜑𝐴𝑋)
upgr1e.b (𝜑𝐵𝑉)
upgr1e.c (𝜑𝐶𝑉)
upgr1e.e (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})
Assertion
Ref Expression
upgr1e (𝜑𝐺 ∈ UPGraph)

Proof of Theorem upgr1e
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 upgr1e.a . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑋)
2 prex 5301 . . . . . . . 8 {𝐵, 𝐶} ∈ V
32snid 4558 . . . . . . 7 {𝐵, 𝐶} ∈ {{𝐵, 𝐶}}
43a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → {𝐵, 𝐶} ∈ {{𝐵, 𝐶}})
51, 4fsnd 6644 . . . . 5 (𝜑 → {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:{𝐴}⟶{{𝐵, 𝐶}})
6 upgr1e.b . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵𝑉)
7 upgr1e.c . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶𝑉)
86, 7prssd 4712 . . . . . . . 8 (𝜑 → {𝐵, 𝐶} ⊆ 𝑉)
9 upgr1e.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
108, 9sseqtrdi 3942 . . . . . . 7 (𝜑 → {𝐵, 𝐶} ⊆ (Vtx‘𝐺))
112elpw 4498 . . . . . . 7 ({𝐵, 𝐶} ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ↔ {𝐵, 𝐶} ⊆ (Vtx‘𝐺))
1210, 11sylibr 237 . . . . . 6 (𝜑 → {𝐵, 𝐶} ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺))
1312, 6upgr1elem 27004 . . . . 5 (𝜑 → {{𝐵, 𝐶}} ⊆ {𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2})
145, 13fssd 6513 . . . 4 (𝜑 → {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:{𝐴}⟶{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2})
1514ffdmd 6522 . . 3 (𝜑 → {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:dom {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}⟶{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2})
16 upgr1e.e . . . 4 (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})
1716dmeqd 5745 . . . 4 (𝜑 → dom (iEdg‘𝐺) = dom {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})
1816, 17feq12d 6486 . . 3 (𝜑 → ((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2} ↔ {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:dom {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}⟶{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2}))
1915, 18mpbird 260 . 2 (𝜑 → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2})
2091vgrex 26894 . . 3 (𝐵𝑉𝐺 ∈ V)
21 eqid 2758 . . . 4 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
22 eqid 2758 . . . 4 (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
2321, 22isupgr 26976 . . 3 (𝐺 ∈ V → (𝐺 ∈ UPGraph ↔ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2}))
246, 20, 233syl 18 . 2 (𝜑 → (𝐺 ∈ UPGraph ↔ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2}))
2519, 24mpbird 260 1 (𝜑𝐺 ∈ UPGraph)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  {crab 3074  Vcvv 3409   ∖ cdif 3855   ⊆ wss 3858  ∅c0 4225  𝒫 cpw 4494  {csn 4522  {cpr 4524  ⟨cop 4528   class class class wbr 5032  dom cdm 5524  ⟶wf 6331  ‘cfv 6335   ≤ cle 10714  2c2 11729  ♯chash 13740  Vtxcvtx 26888  iEdgciedg 26889  UPGraphcupgr 26972 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-int 4839  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-1o 8112  df-oadd 8116  df-er 8299  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-fin 8531  df-dju 9363  df-card 9401  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-nn 11675  df-2 11737  df-n0 11935  df-xnn0 12007  df-z 12021  df-uz 12283  df-fz 12940  df-hash 13741  df-upgr 26974 This theorem is referenced by:  upgr1eop  27007  upgr1eopALT  27009
 Copyright terms: Public domain W3C validator