MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  upgr1e Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem upgr1e 29052
Description: A pseudograph with one edge. Such a graph is actually a simple pseudograph, see uspgr1e 29183. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by AV, 16-Oct-2020.) (Revised by AV, 21-Mar-2021.) (Proof shortened by AV, 17-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
upgr1e.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
upgr1e.a (𝜑𝐴𝑋)
upgr1e.b (𝜑𝐵𝑉)
upgr1e.c (𝜑𝐶𝑉)
upgr1e.e (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})
Assertion
Ref Expression
upgr1e (𝜑𝐺 ∈ UPGraph)

Proof of Theorem upgr1e
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 upgr1e.a . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑋)
2 prex 5440 . . . . . . . 8 {𝐵, 𝐶} ∈ V
32snid 4669 . . . . . . 7 {𝐵, 𝐶} ∈ {{𝐵, 𝐶}}
43a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → {𝐵, 𝐶} ∈ {{𝐵, 𝐶}})
51, 4fsnd 6888 . . . . 5 (𝜑 → {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:{𝐴}⟶{{𝐵, 𝐶}})
6 upgr1e.b . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵𝑉)
7 upgr1e.c . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶𝑉)
86, 7prssd 4831 . . . . . . . 8 (𝜑 → {𝐵, 𝐶} ⊆ 𝑉)
9 upgr1e.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
108, 9sseqtrdi 4030 . . . . . . 7 (𝜑 → {𝐵, 𝐶} ⊆ (Vtx‘𝐺))
112elpw 4611 . . . . . . 7 ({𝐵, 𝐶} ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ↔ {𝐵, 𝐶} ⊆ (Vtx‘𝐺))
1210, 11sylibr 233 . . . . . 6 (𝜑 → {𝐵, 𝐶} ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺))
1312, 6upgr1elem 29051 . . . . 5 (𝜑 → {{𝐵, 𝐶}} ⊆ {𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2})
145, 13fssd 6747 . . . 4 (𝜑 → {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:{𝐴}⟶{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2})
1514ffdmd 6761 . . 3 (𝜑 → {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:dom {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}⟶{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2})
16 upgr1e.e . . . 4 (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})
1716dmeqd 5914 . . . 4 (𝜑 → dom (iEdg‘𝐺) = dom {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})
1816, 17feq12d 6718 . . 3 (𝜑 → ((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2} ↔ {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:dom {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}⟶{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2}))
1915, 18mpbird 256 . 2 (𝜑 → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2})
2091vgrex 28941 . . 3 (𝐵𝑉𝐺 ∈ V)
21 eqid 2726 . . . 4 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
22 eqid 2726 . . . 4 (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
2321, 22isupgr 29023 . . 3 (𝐺 ∈ V → (𝐺 ∈ UPGraph ↔ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2}))
246, 20, 233syl 18 . 2 (𝜑 → (𝐺 ∈ UPGraph ↔ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2}))
2519, 24mpbird 256 1 (𝜑𝐺 ∈ UPGraph)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205   = wceq 1534  wcel 2099  {crab 3419  Vcvv 3462  cdif 3944  wss 3947  c0 4325  𝒫 cpw 4607  {csn 4633  {cpr 4635  cop 4639   class class class wbr 5155  dom cdm 5684  wf 6552  cfv 6556  cle 11301  2c2 12321  chash 14349  Vtxcvtx 28935  iEdgciedg 28936  UPGraphcupgr 29019
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5306  ax-nul 5313  ax-pow 5371  ax-pr 5435  ax-un 7748  ax-cnex 11216  ax-resscn 11217  ax-1cn 11218  ax-icn 11219  ax-addcl 11220  ax-addrcl 11221  ax-mulcl 11222  ax-mulrcl 11223  ax-mulcom 11224  ax-addass 11225  ax-mulass 11226  ax-distr 11227  ax-i2m1 11228  ax-1ne0 11229  ax-1rid 11230  ax-rnegex 11231  ax-rrecex 11232  ax-cnre 11233  ax-pre-lttri 11234  ax-pre-lttrn 11235  ax-pre-ltadd 11236  ax-pre-mulgt0 11237
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4916  df-int 4957  df-iun 5005  df-br 5156  df-opab 5218  df-mpt 5239  df-tr 5273  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5639  df-we 5641  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6314  df-ord 6381  df-on 6382  df-lim 6383  df-suc 6384  df-iota 6508  df-fun 6558  df-fn 6559  df-f 6560  df-f1 6561  df-fo 6562  df-f1o 6563  df-fv 6564  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8298  df-wrecs 8329  df-recs 8403  df-rdg 8442  df-1o 8498  df-oadd 8502  df-er 8736  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-dju 9946  df-card 9984  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11498  df-neg 11499  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-xnn0 12599  df-z 12613  df-uz 12877  df-fz 13541  df-hash 14350  df-upgr 29021
This theorem is referenced by:  upgr1eop  29054  upgr1eopALT  29056
  Copyright terms: Public domain W3C validator