Theorem upgr1e 29148

Description: A pseudograph with one edge. Such a graph is actually a simple pseudograph, see uspgr1e 29279. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by AV, 16-Oct-2020.) (Revised by AV, 21-Mar-2021.) (Proof shortened by AV, 17-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
upgr1e.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
upgr1e.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
upgr1e.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
upgr1e.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
upgr1e.e	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})

Assertion

Ref	Expression
upgr1e	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UPGraph)

Proof of Theorem upgr1e

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		upgr1e.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
2		prex 5452	. . . . . . . 8 ⊢ {𝐵, 𝐶} ∈ V
3	2	snid 4684	. . . . . . 7 ⊢ {𝐵, 𝐶} ∈ {{𝐵, 𝐶}}
4	3	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝐵, 𝐶} ∈ {{𝐵, 𝐶}})
5	1, 4	fsnd 6905	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:{𝐴}⟶{{𝐵, 𝐶}})
6		upgr1e.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
7		upgr1e.c	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
8	6, 7	prssd 4847	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝐵, 𝐶} ⊆ 𝑉)
9		upgr1e.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
10	8, 9	sseqtrdi 4059	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝐵, 𝐶} ⊆ (Vtx‘𝐺))
11	2	elpw 4626	. . . . . . 7 ⊢ ({𝐵, 𝐶} ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ↔ {𝐵, 𝐶} ⊆ (Vtx‘𝐺))
12	10, 11	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝐵, 𝐶} ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺))
13	12, 6	upgr1elem 29147	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {{𝐵, 𝐶}} ⊆ {𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2})
14	5, 13	fssd 6764	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:{𝐴}⟶{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2})
15	14	ffdmd 6778	. . 3 ⊢ (𝜑 → {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:dom {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}⟶{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2})
16		upgr1e.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})
17	16	dmeqd 5930	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘𝐺) = dom {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})
18	16, 17	feq12d 6735	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2} ↔ {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:dom {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}⟶{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2}))
19	15, 18	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2})
20	9	1vgrex 29037	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ V)
21		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
22		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
23	21, 22	isupgr 29119	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ V → (𝐺 ∈ UPGraph ↔ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2}))
24	6, 20, 23	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ UPGraph ↔ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2}))
25	19, 24	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UPGraph)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  {crab 3443  Vcvv 3488   ∖ cdif 3973   ⊆ wss 3976  ∅c0 4352  𝒫 cpw 4622  {csn 4648  {cpr 4650  ⟨cop 4654   class class class wbr 5166  dom cdm 5700  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573   ≤ cle 11325  2c2 12348  ♯chash 14379  Vtxcvtx 29031  iEdgciedg 29032  UPGraphcupgr 29115

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-oadd 8526  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-dju 9970  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-n0 12554  df-xnn0 12626  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-hash 14380  df-upgr 29117

This theorem is referenced by:  upgr1eop  29150  upgr1eopALT  29152