Theorem 0wlkon 30098

Description: A walk of length 0 from a vertex to itself. (Contributed by Alexander van der Vekens, 2-Dec-2017.) (Revised by AV, 3-Jan-2021.) (Revised by AV, 23-Mar-2021.) (Proof shortened by AV, 30-Oct-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
0wlk.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
0wlkon	⊢ ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → ∅(𝑁(WalksOn‘𝐺)𝑁)𝑃)

Proof of Theorem 0wlkon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → 𝑃:(0...0)⟶𝑉)
2		0wlk.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3	2	0wlkonlem1 30096	. . . 4 ⊢ ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉))
4	2	1vgrex 28981	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ V)
5	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → 𝐺 ∈ V)
6	2	0wlk 30094	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ V → (∅(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ 𝑃:(0...0)⟶𝑉))
7	3, 5, 6	3syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → (∅(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ 𝑃:(0...0)⟶𝑉))
8	1, 7	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → ∅(Walks‘𝐺)𝑃)
9		simpr 484	. 2 ⊢ ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → (𝑃‘0) = 𝑁)
10		hash0 14274	. . . 4 ⊢ (♯‘∅) = 0
11	10	fveq2i 6825	. . 3 ⊢ (𝑃‘(♯‘∅)) = (𝑃‘0)
12	11, 9	eqtrid 2778	. 2 ⊢ ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → (𝑃‘(♯‘∅)) = 𝑁)
13		0ex 5245	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
14	13	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → ∅ ∈ V)
15	2	0wlkonlem2 30097	. . 3 ⊢ ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → 𝑃 ∈ (𝑉 ↑pm (0...0)))
16	2	iswlkon 29635	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (∅ ∈ V ∧ 𝑃 ∈ (𝑉 ↑pm (0...0)))) → (∅(𝑁(WalksOn‘𝐺)𝑁)𝑃 ↔ (∅(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁 ∧ (𝑃‘(♯‘∅)) = 𝑁)))
17	3, 14, 15, 16	syl12anc 836	. 2 ⊢ ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → (∅(𝑁(WalksOn‘𝐺)𝑁)𝑃 ↔ (∅(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁 ∧ (𝑃‘(♯‘∅)) = 𝑁)))
18	8, 9, 12, 17	mpbir3and 1343	1 ⊢ ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → ∅(𝑁(WalksOn‘𝐺)𝑁)𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436  ∅c0 4283   class class class wbr 5091  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   ↑_pm cpm 8751  0cc0 11006  ...cfz 13407  ♯chash 14237  Vtxcvtx 28975  Walkscwlks 29576  WalksOncwlkson 29577

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-map 8752  df-pm 8753  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-hash 14238  df-word 14421  df-wlks 29579  df-wlkson 29580

This theorem is referenced by:  0wlkons1  30099  0trlon  30102