Theorem 0wlkon 30716

Description: A walk of length 0 from a vertex to itself. (Contributed by Alexander van der Vekens, 2-Dec-2017.) (Revised by AV, 3-Jan-2021.) (Revised by AV, 23-Mar-2021.) (Proof shortened by AV, 30-Oct-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
0wlk.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
0wlkon	⊢ ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → ∅(𝑁(WalksOn‘𝐺)𝑁)𝑃)

Proof of Theorem 0wlkon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. . 3 ⊢ ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → 𝑃:(0...0)⟶𝑉)
2		0wlk.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3	2	0wlkonlem1 30714	. . . 4 ⊢ ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉))
4	2	1vgrex 29585	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ V)
5	4	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → 𝐺 ∈ V)
6	2	0wlk 30712	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ V → (∅(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ 𝑃:(0...0)⟶𝑉))
7	3, 5, 6	3syl 19	. . 3 ⊢ ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → (∅(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ 𝑃:(0...0)⟶𝑉))
8	1, 7	mpbird 260	. 2 ⊢ ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → ∅(Walks‘𝐺)𝑃)
9		simpr 490	. 2 ⊢ ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → (𝑃‘0) = 𝑁)
10		hash0 14514	. . . 4 ⊢ (♯‘∅) = 0
11	10	fveq2i 6888	. . 3 ⊢ (𝑃‘(♯‘∅)) = (𝑃‘0)
12	11, 9	eqtrid 2807	. 2 ⊢ ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → (𝑃‘(♯‘∅)) = 𝑁)
13		0ex 5260	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
14	13	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → ∅ ∈ V)
15	2	0wlkonlem2 30715	. . 3 ⊢ ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → 𝑃 ∈ (𝑉 ↑pm (0...0)))
16	2	iswlkon 30241	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (∅ ∈ V ∧ 𝑃 ∈ (𝑉 ↑pm (0...0)))) → (∅(𝑁(WalksOn‘𝐺)𝑁)𝑃 ↔ (∅(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁 ∧ (𝑃‘(♯‘∅)) = 𝑁)))
17	3, 14, 15, 16	syl12anc 850	. 2 ⊢ ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → (∅(𝑁(WalksOn‘𝐺)𝑁)𝑃 ↔ (∅(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁 ∧ (𝑃‘(♯‘∅)) = 𝑁)))
18	8, 9, 12, 17	mpbir3and 1361	1 ⊢ ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → ∅(𝑁(WalksOn‘𝐺)𝑁)𝑃)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450  ∅c0 4278   class class class wbr 5102  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ↑_pm cpm 8851  0cc0 11203  ...cfz 13642  ♯chash 14477  Vtxcvtx 29579  Walkscwlks 30182  WalksOncwlkson 30183

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-er 8720  df-map 8852  df-pm 8853  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-card 10023  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-nn 12339  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-fz 13643  df-fzo 13792  df-hash 14478  df-word 14662  df-wlks 30185  df-wlkson 30186

This theorem is used by:  0wlkons1  30717  0trlon  30720