Theorem 0wlkon 30744

Description: A walk of length 0 from a vertex to itself. (Contributed by Alexander van der Vekens, 2-Dec-2017.) (Revised by AV, 3-Jan-2021.) (Revised by AV, 23-Mar-2021.) (Proof shortened by AV, 30-Oct-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
0wlk.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
0wlkon	⊢ ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → ∅(𝑁(WalksOn‘𝐺)𝑁)𝑃)

Proof of Theorem 0wlkon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. . 3 ⊢ ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → 𝑃:(0...0)⟶𝑉)
2		0wlk.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3	2	0wlkonlem1 30742	. . . 4 ⊢ ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉))
4	2	1vgrex 29613	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ V)
5	4	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → 𝐺 ∈ V)
6	2	0wlk 30740	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ V → (∅(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ 𝑃:(0...0)⟶𝑉))
7	3, 5, 6	3syl 19	. . 3 ⊢ ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → (∅(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ 𝑃:(0...0)⟶𝑉))
8	1, 7	mpbird 260	. 2 ⊢ ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → ∅(Walks‘𝐺)𝑃)
9		simpr 490	. 2 ⊢ ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → (𝑃‘0) = 𝑁)
10		hash0 14541	. . . 4 ⊢ (♯‘∅) = 0
11	10	fveq2i 6914	. . 3 ⊢ (𝑃‘(♯‘∅)) = (𝑃‘0)
12	11, 9	eqtrid 2810	. 2 ⊢ ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → (𝑃‘(♯‘∅)) = 𝑁)
13		0ex 5265	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
14	13	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → ∅ ∈ V)
15	2	0wlkonlem2 30743	. . 3 ⊢ ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → 𝑃 ∈ (𝑉 ↑pm (0...0)))
16	2	iswlkon 30269	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (∅ ∈ V ∧ 𝑃 ∈ (𝑉 ↑pm (0...0)))) → (∅(𝑁(WalksOn‘𝐺)𝑁)𝑃 ↔ (∅(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁 ∧ (𝑃‘(♯‘∅)) = 𝑁)))
17	3, 14, 15, 16	syl12anc 850	. 2 ⊢ ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → (∅(𝑁(WalksOn‘𝐺)𝑁)𝑃 ↔ (∅(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁 ∧ (𝑃‘(♯‘∅)) = 𝑁)))
18	8, 9, 12, 17	mpbir3and 1361	1 ⊢ ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → ∅(𝑁(WalksOn‘𝐺)𝑁)𝑃)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454  ∅c0 4281   class class class wbr 5106  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446   ↑_pm cpm 8879  0cc0 11230  ...cfz 13669  ♯chash 14504  Vtxcvtx 29607  Walkscwlks 30210  WalksOncwlkson 30211

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-er 8748  df-map 8880  df-pm 8881  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-card 10050  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-nn 12366  df-n0 12637  df-z 12724  df-uz 12996  df-fz 13670  df-fzo 13819  df-hash 14505  df-word 14689  df-wlks 30213  df-wlkson 30214

This theorem is used by:  0wlkons1  30745  0trlon  30748