Theorem ac8prim 45418

Description: ac8 10414 expanded into primitives. (Contributed by Eric Schmidt, 19-Oct-2025.)

Assertion

Ref	Expression
ac8prim	⊢ ((∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑥 → ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ ∀𝑧∀𝑤((𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥) → (¬ 𝑧 = 𝑤 → ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑧 → ¬ 𝑦 ∈ 𝑤)))) → ∃𝑦∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑥 → ∃𝑤∀𝑣((𝑣 ∈ 𝑧 ∧ 𝑣 ∈ 𝑦) ↔ 𝑣 = 𝑤)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑧,𝑦,𝑤,𝑣

Proof of Theorem ac8prim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfac5prim 45417	. 2 ⊢ (CHOICE ↔ ∀𝑥((∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑥 → ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ ∀𝑧∀𝑤((𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥) → (¬ 𝑧 = 𝑤 → ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑧 → ¬ 𝑦 ∈ 𝑤)))) → ∃𝑦∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑥 → ∃𝑤∀𝑣((𝑣 ∈ 𝑧 ∧ 𝑣 ∈ 𝑦) ↔ 𝑣 = 𝑤))))
2	1	axaci 10390	1 ⊢ ((∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑥 → ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ ∀𝑧∀𝑤((𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥) → (¬ 𝑧 = 𝑤 → ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑧 → ¬ 𝑦 ∈ 𝑤)))) → ∃𝑦∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑥 → ∃𝑤∀𝑣((𝑣 ∈ 𝑧 ∧ 𝑣 ∈ 𝑦) ↔ 𝑣 = 𝑤)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∀wal 1540  ∃wex 1781

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-ac2 10385

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-fv 6506  df-ac 10038

This theorem is referenced by: (None)