Theorem ac8prim 45733

Description: ac8 10487 expanded into primitives. (Contributed by Eric Schmidt, 19-Oct-2025.)

Assertion

Ref	Expression
ac8prim	⊢ ((∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑥 → ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ ∀𝑧∀𝑤((𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥) → (¬ 𝑧 = 𝑤 → ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑧 → ¬ 𝑦 ∈ 𝑤)))) → ∃𝑦∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑥 → ∃𝑤∀𝑣((𝑣 ∈ 𝑧 ∧ 𝑣 ∈ 𝑦) ↔ 𝑣 = 𝑤)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑧,𝑦,𝑤,𝑣

Proof of Theorem ac8prim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfac5prim 45732	. 2 ⊢ (CHOICE ↔ ∀𝑥((∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑥 → ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ ∀𝑧∀𝑤((𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥) → (¬ 𝑧 = 𝑤 → ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑧 → ¬ 𝑦 ∈ 𝑤)))) → ∃𝑦∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑥 → ∃𝑤∀𝑣((𝑣 ∈ 𝑧 ∧ 𝑣 ∈ 𝑦) ↔ 𝑣 = 𝑤))))
2	1	axaci 10463	1 ⊢ ((∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑥 → ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ ∀𝑧∀𝑤((𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥) → (¬ 𝑧 = 𝑤 → ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑧 → ¬ 𝑦 ∈ 𝑤)))) → ∃𝑦∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑥 → ∃𝑤∀𝑣((𝑣 ∈ 𝑧 ∧ 𝑣 ∈ 𝑦) ↔ 𝑣 = 𝑤)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401  ∀wal 1568  ∃wex 1812

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-ac2 10458

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-fv 6548  df-ac 10112

This theorem is used by: (None)