MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addpipq2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem addpipq2 10967
Description: Addition of positive fractions in terms of positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
addpipq2 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (๐ด +pQ ๐ต) = โŸจ(((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) +N ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด))), ((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต))โŸฉ)

Proof of Theorem addpipq2
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6902 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (1st โ€˜๐‘ฅ) = (1st โ€˜๐ด))
21oveq1d 7441 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ((1st โ€˜๐‘ฅ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฆ)) = ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฆ)))
3 fveq2 6902 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (2nd โ€˜๐‘ฅ) = (2nd โ€˜๐ด))
43oveq2d 7442 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ((1st โ€˜๐‘ฆ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = ((1st โ€˜๐‘ฆ) ยทN (2nd โ€˜๐ด)))
52, 4oveq12d 7444 . . 3 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (((1st โ€˜๐‘ฅ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฆ)) +N ((1st โ€˜๐‘ฆ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฅ))) = (((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฆ)) +N ((1st โ€˜๐‘ฆ) ยทN (2nd โ€˜๐ด))))
63oveq1d 7441 . . 3 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ((2nd โ€˜๐‘ฅ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฆ)) = ((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฆ)))
75, 6opeq12d 4886 . 2 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ โŸจ(((1st โ€˜๐‘ฅ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฆ)) +N ((1st โ€˜๐‘ฆ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฅ))), ((2nd โ€˜๐‘ฅ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฆ))โŸฉ = โŸจ(((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฆ)) +N ((1st โ€˜๐‘ฆ) ยทN (2nd โ€˜๐ด))), ((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฆ))โŸฉ)
8 fveq2 6902 . . . . 5 (๐‘ฆ = ๐ต โ†’ (2nd โ€˜๐‘ฆ) = (2nd โ€˜๐ต))
98oveq2d 7442 . . . 4 (๐‘ฆ = ๐ต โ†’ ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฆ)) = ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)))
10 fveq2 6902 . . . . 5 (๐‘ฆ = ๐ต โ†’ (1st โ€˜๐‘ฆ) = (1st โ€˜๐ต))
1110oveq1d 7441 . . . 4 (๐‘ฆ = ๐ต โ†’ ((1st โ€˜๐‘ฆ) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) = ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด)))
129, 11oveq12d 7444 . . 3 (๐‘ฆ = ๐ต โ†’ (((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฆ)) +N ((1st โ€˜๐‘ฆ) ยทN (2nd โ€˜๐ด))) = (((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) +N ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด))))
138oveq2d 7442 . . 3 (๐‘ฆ = ๐ต โ†’ ((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฆ)) = ((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)))
1412, 13opeq12d 4886 . 2 (๐‘ฆ = ๐ต โ†’ โŸจ(((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฆ)) +N ((1st โ€˜๐‘ฆ) ยทN (2nd โ€˜๐ด))), ((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฆ))โŸฉ = โŸจ(((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) +N ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด))), ((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต))โŸฉ)
15 df-plpq 10939 . 2 +pQ = (๐‘ฅ โˆˆ (N ร— N), ๐‘ฆ โˆˆ (N ร— N) โ†ฆ โŸจ(((1st โ€˜๐‘ฅ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฆ)) +N ((1st โ€˜๐‘ฆ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฅ))), ((2nd โ€˜๐‘ฅ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฆ))โŸฉ)
16 opex 5470 . 2 โŸจ(((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) +N ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด))), ((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต))โŸฉ โˆˆ V
177, 14, 15, 16ovmpo 7587 1 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (๐ด +pQ ๐ต) = โŸจ(((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) +N ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด))), ((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต))โŸฉ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โŸจcop 4638   ร— cxp 5680  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  1st c1st 7997  2nd c2nd 7998  Ncnpi 10875   +N cpli 10876   ยทN cmi 10877   +pQ cplpq 10879
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pr 5433
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fv 6561  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-plpq 10939
This theorem is referenced by:  addpipq  10968  addcompq  10981  adderpqlem  10985  addassnq  10989  distrnq  10992  ltanq  11002
  Copyright terms: Public domain W3C validator