MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  adderpqlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem adderpqlem 10951
Description: Lemma for adderpq 10953. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
adderpqlem ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ถ โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (๐ด ~Q ๐ต โ†” (๐ด +pQ ๐ถ) ~Q (๐ต +pQ ๐ถ)))

Proof of Theorem adderpqlem
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xp1st 8006 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ (N ร— N) โ†’ (1st โ€˜๐ด) โˆˆ N)
213ad2ant1 1130 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ถ โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (1st โ€˜๐ด) โˆˆ N)
3 xp2nd 8007 . . . . . 6 (๐ถ โˆˆ (N ร— N) โ†’ (2nd โ€˜๐ถ) โˆˆ N)
433ad2ant3 1132 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ถ โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (2nd โ€˜๐ถ) โˆˆ N)
5 mulclpi 10890 . . . . 5 (((1st โ€˜๐ด) โˆˆ N โˆง (2nd โ€˜๐ถ) โˆˆ N) โ†’ ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) โˆˆ N)
62, 4, 5syl2anc 583 . . . 4 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ถ โˆˆ (N ร— N)) โ†’ ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) โˆˆ N)
7 xp1st 8006 . . . . . 6 (๐ถ โˆˆ (N ร— N) โ†’ (1st โ€˜๐ถ) โˆˆ N)
873ad2ant3 1132 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ถ โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (1st โ€˜๐ถ) โˆˆ N)
9 xp2nd 8007 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ (N ร— N) โ†’ (2nd โ€˜๐ด) โˆˆ N)
1093ad2ant1 1130 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ถ โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (2nd โ€˜๐ด) โˆˆ N)
11 mulclpi 10890 . . . . 5 (((1st โ€˜๐ถ) โˆˆ N โˆง (2nd โ€˜๐ด) โˆˆ N) โ†’ ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) โˆˆ N)
128, 10, 11syl2anc 583 . . . 4 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ถ โˆˆ (N ร— N)) โ†’ ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) โˆˆ N)
13 addclpi 10889 . . . 4 ((((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) โˆˆ N โˆง ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) โˆˆ N) โ†’ (((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) +N ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ด))) โˆˆ N)
146, 12, 13syl2anc 583 . . 3 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ถ โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) +N ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ด))) โˆˆ N)
15 mulclpi 10890 . . . 4 (((2nd โ€˜๐ด) โˆˆ N โˆง (2nd โ€˜๐ถ) โˆˆ N) โ†’ ((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) โˆˆ N)
1610, 4, 15syl2anc 583 . . 3 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ถ โˆˆ (N ร— N)) โ†’ ((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) โˆˆ N)
17 xp1st 8006 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ (N ร— N) โ†’ (1st โ€˜๐ต) โˆˆ N)
18173ad2ant2 1131 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ถ โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (1st โ€˜๐ต) โˆˆ N)
19 mulclpi 10890 . . . . 5 (((1st โ€˜๐ต) โˆˆ N โˆง (2nd โ€˜๐ถ) โˆˆ N) โ†’ ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) โˆˆ N)
2018, 4, 19syl2anc 583 . . . 4 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ถ โˆˆ (N ร— N)) โ†’ ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) โˆˆ N)
21 xp2nd 8007 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ (N ร— N) โ†’ (2nd โ€˜๐ต) โˆˆ N)
22213ad2ant2 1131 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ถ โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (2nd โ€˜๐ต) โˆˆ N)
23 mulclpi 10890 . . . . 5 (((1st โ€˜๐ถ) โˆˆ N โˆง (2nd โ€˜๐ต) โˆˆ N) โ†’ ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) โˆˆ N)
248, 22, 23syl2anc 583 . . . 4 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ถ โˆˆ (N ร— N)) โ†’ ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) โˆˆ N)
25 addclpi 10889 . . . 4 ((((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) โˆˆ N โˆง ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) โˆˆ N) โ†’ (((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) +N ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต))) โˆˆ N)
2620, 24, 25syl2anc 583 . . 3 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ถ โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) +N ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต))) โˆˆ N)
27 mulclpi 10890 . . . 4 (((2nd โ€˜๐ต) โˆˆ N โˆง (2nd โ€˜๐ถ) โˆˆ N) โ†’ ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) โˆˆ N)
2822, 4, 27syl2anc 583 . . 3 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ถ โˆˆ (N ร— N)) โ†’ ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) โˆˆ N)
29 enqbreq 10916 . . 3 ((((((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) +N ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ด))) โˆˆ N โˆง ((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) โˆˆ N) โˆง ((((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) +N ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต))) โˆˆ N โˆง ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) โˆˆ N)) โ†’ (โŸจ(((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) +N ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ด))), ((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))โŸฉ ~Q โŸจ(((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) +N ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต))), ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))โŸฉ โ†” ((((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) +N ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ด))) ยทN ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))) = (((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN (((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) +N ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต))))))
3014, 16, 26, 28, 29syl22anc 836 . 2 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ถ โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (โŸจ(((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) +N ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ด))), ((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))โŸฉ ~Q โŸจ(((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) +N ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต))), ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))โŸฉ โ†” ((((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) +N ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ด))) ยทN ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))) = (((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN (((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) +N ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต))))))
31 addpipq2 10933 . . . 4 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ถ โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (๐ด +pQ ๐ถ) = โŸจ(((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) +N ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ด))), ((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))โŸฉ)
32313adant2 1128 . . 3 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ถ โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (๐ด +pQ ๐ถ) = โŸจ(((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) +N ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ด))), ((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))โŸฉ)
33 addpipq2 10933 . . . 4 ((๐ต โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ถ โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (๐ต +pQ ๐ถ) = โŸจ(((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) +N ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต))), ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))โŸฉ)
34333adant1 1127 . . 3 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ถ โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (๐ต +pQ ๐ถ) = โŸจ(((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) +N ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต))), ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))โŸฉ)
3532, 34breq12d 5154 . 2 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ถ โˆˆ (N ร— N)) โ†’ ((๐ด +pQ ๐ถ) ~Q (๐ต +pQ ๐ถ) โ†” โŸจ(((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) +N ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ด))), ((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))โŸฉ ~Q โŸจ(((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) +N ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต))), ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))โŸฉ))
36 enqbreq2 10917 . . . 4 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (๐ด ~Q ๐ต โ†” ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) = ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด))))
37363adant3 1129 . . 3 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ถ โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (๐ด ~Q ๐ต โ†” ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) = ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด))))
38 mulclpi 10890 . . . . 5 (((2nd โ€˜๐ถ) โˆˆ N โˆง (2nd โ€˜๐ถ) โˆˆ N) โ†’ ((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) โˆˆ N)
394, 4, 38syl2anc 583 . . . 4 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ถ โˆˆ (N ร— N)) โ†’ ((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) โˆˆ N)
40 mulclpi 10890 . . . . 5 (((1st โ€˜๐ด) โˆˆ N โˆง (2nd โ€˜๐ต) โˆˆ N) โ†’ ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) โˆˆ N)
412, 22, 40syl2anc 583 . . . 4 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ถ โˆˆ (N ร— N)) โ†’ ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) โˆˆ N)
42 mulcanpi 10897 . . . 4 ((((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) โˆˆ N โˆง ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) โˆˆ N) โ†’ ((((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต))) = (((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด))) โ†” ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) = ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด))))
4339, 41, 42syl2anc 583 . . 3 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ถ โˆˆ (N ร— N)) โ†’ ((((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต))) = (((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด))) โ†” ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) = ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด))))
44 mulclpi 10890 . . . . . 6 ((((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) โˆˆ N โˆง ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) โˆˆ N) โ†’ (((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต))) โˆˆ N)
4516, 24, 44syl2anc 583 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ถ โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต))) โˆˆ N)
46 mulclpi 10890 . . . . . 6 ((((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) โˆˆ N โˆง ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) โˆˆ N) โ†’ (((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต))) โˆˆ N)
4739, 41, 46syl2anc 583 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ถ โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต))) โˆˆ N)
48 addcanpi 10896 . . . . 5 (((((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต))) โˆˆ N โˆง (((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต))) โˆˆ N) โ†’ (((((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต))) +N (((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)))) = ((((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต))) +N (((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด)))) โ†” (((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต))) = (((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด)))))
4945, 47, 48syl2anc 583 . . . 4 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ถ โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (((((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต))) +N (((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)))) = ((((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต))) +N (((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด)))) โ†” (((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต))) = (((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด)))))
50 mulcompi 10893 . . . . . . . 8 (((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต))) = (((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) ยทN ((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)))
51 fvex 6898 . . . . . . . . 9 (1st โ€˜๐ด) โˆˆ V
52 fvex 6898 . . . . . . . . 9 (2nd โ€˜๐ต) โˆˆ V
53 fvex 6898 . . . . . . . . 9 (2nd โ€˜๐ถ) โˆˆ V
54 mulcompi 10893 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ ยทN ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ ยทN ๐‘ฅ)
55 mulasspi 10894 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ ยทN ๐‘ฆ) ยทN ๐‘ง) = (๐‘ฅ ยทN (๐‘ฆ ยทN ๐‘ง))
5651, 52, 53, 54, 55, 53caov4 7635 . . . . . . . 8 (((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) ยทN ((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))) = (((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)))
5750, 56eqtri 2754 . . . . . . 7 (((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต))) = (((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)))
58 fvex 6898 . . . . . . . . 9 (2nd โ€˜๐ด) โˆˆ V
59 fvex 6898 . . . . . . . . 9 (1st โ€˜๐ถ) โˆˆ V
6058, 53, 59, 54, 55, 52caov4 7635 . . . . . . . 8 (((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต))) = (((2nd โ€˜๐ด) ยทN (1st โ€˜๐ถ)) ยทN ((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต)))
61 mulcompi 10893 . . . . . . . . 9 ((2nd โ€˜๐ด) ยทN (1st โ€˜๐ถ)) = ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ด))
62 mulcompi 10893 . . . . . . . . 9 ((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) = ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))
6361, 62oveq12i 7417 . . . . . . . 8 (((2nd โ€˜๐ด) ยทN (1st โ€˜๐ถ)) ยทN ((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต))) = (((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) ยทN ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)))
6460, 63eqtri 2754 . . . . . . 7 (((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต))) = (((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) ยทN ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)))
6557, 64oveq12i 7417 . . . . . 6 ((((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต))) +N (((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต)))) = ((((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))) +N (((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) ยทN ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))))
66 addcompi 10891 . . . . . 6 ((((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต))) +N (((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)))) = ((((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต))) +N (((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต))))
67 ovex 7438 . . . . . . 7 ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) โˆˆ V
68 ovex 7438 . . . . . . 7 ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) โˆˆ V
69 ovex 7438 . . . . . . 7 ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) โˆˆ V
70 distrpi 10895 . . . . . . 7 (๐‘ฅ ยทN (๐‘ฆ +N ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยทN ๐‘ฆ) +N (๐‘ฅ ยทN ๐‘ง))
7167, 68, 69, 54, 70caovdir 7638 . . . . . 6 ((((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) +N ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ด))) ยทN ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))) = ((((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))) +N (((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) ยทN ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))))
7265, 66, 713eqtr4i 2764 . . . . 5 ((((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต))) +N (((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)))) = ((((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) +N ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ด))) ยทN ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)))
73 addcompi 10891 . . . . . 6 ((((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต))) +N (((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)))) = ((((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))) +N (((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต))))
74 mulasspi 10894 . . . . . . . 8 (((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด))) = ((2nd โ€˜๐ถ) ยทN ((2nd โ€˜๐ถ) ยทN ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด))))
75 mulcompi 10893 . . . . . . . . . 10 ((2nd โ€˜๐ถ) ยทN ((2nd โ€˜๐ถ) ยทN ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด)))) = (((2nd โ€˜๐ถ) ยทN ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด))) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))
76 mulasspi 10894 . . . . . . . . . . . 12 (((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN (1st โ€˜๐ต)) = ((2nd โ€˜๐ด) ยทN ((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (1st โ€˜๐ต)))
77 mulcompi 10893 . . . . . . . . . . . 12 ((2nd โ€˜๐ด) ยทN ((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (1st โ€˜๐ต))) = (((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (1st โ€˜๐ต)) ยทN (2nd โ€˜๐ด))
78 mulasspi 10894 . . . . . . . . . . . 12 (((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (1st โ€˜๐ต)) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) = ((2nd โ€˜๐ถ) ยทN ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด)))
7976, 77, 783eqtrri 2759 . . . . . . . . . . 11 ((2nd โ€˜๐ถ) ยทN ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด))) = (((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN (1st โ€˜๐ต))
8079oveq1i 7415 . . . . . . . . . 10 (((2nd โ€˜๐ถ) ยทN ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด))) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) = ((((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN (1st โ€˜๐ต)) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))
8175, 80eqtri 2754 . . . . . . . . 9 ((2nd โ€˜๐ถ) ยทN ((2nd โ€˜๐ถ) ยทN ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด)))) = ((((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN (1st โ€˜๐ต)) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))
82 mulasspi 10894 . . . . . . . . 9 ((((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN (1st โ€˜๐ต)) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) = (((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)))
8381, 82eqtri 2754 . . . . . . . 8 ((2nd โ€˜๐ถ) ยทN ((2nd โ€˜๐ถ) ยทN ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด)))) = (((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)))
8474, 83eqtri 2754 . . . . . . 7 (((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด))) = (((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)))
8584oveq2i 7416 . . . . . 6 ((((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต))) +N (((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด)))) = ((((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต))) +N (((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))))
86 distrpi 10895 . . . . . 6 (((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN (((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) +N ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต)))) = ((((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))) +N (((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต))))
8773, 85, 863eqtr4i 2764 . . . . 5 ((((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต))) +N (((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด)))) = (((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN (((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) +N ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต))))
8872, 87eqeq12i 2744 . . . 4 (((((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต))) +N (((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)))) = ((((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต))) +N (((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด)))) โ†” ((((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) +N ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ด))) ยทN ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))) = (((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN (((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) +N ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต)))))
8949, 88bitr3di 286 . . 3 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ถ โˆˆ (N ร— N)) โ†’ ((((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต))) = (((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด))) โ†” ((((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) +N ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ด))) ยทN ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))) = (((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN (((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) +N ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต))))))
9037, 43, 893bitr2d 307 . 2 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ถ โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (๐ด ~Q ๐ต โ†” ((((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) +N ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ด))) ยทN ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))) = (((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN (((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) +N ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต))))))
9130, 35, 903bitr4rd 312 1 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ถ โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (๐ด ~Q ๐ต โ†” (๐ด +pQ ๐ถ) ~Q (๐ต +pQ ๐ถ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โŸจcop 4629   class class class wbr 5141   ร— cxp 5667  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  1st c1st 7972  2nd c2nd 7973  Ncnpi 10841   +N cpli 10842   ยทN cmi 10843   +pQ cplpq 10845   ~Q ceq 10848
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-oadd 8471  df-omul 8472  df-ni 10869  df-pli 10870  df-mi 10871  df-plpq 10905  df-enq 10908
This theorem is referenced by:  adderpq  10953
  Copyright terms: Public domain W3C validator