MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addassnq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem addassnq 10901
Description: Addition of positive fractions is associative. (Contributed by NM, 2-Sep-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
addassnq ((๐ด +Q ๐ต) +Q ๐ถ) = (๐ด +Q (๐ต +Q ๐ถ))

Proof of Theorem addassnq
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 addasspi 10838 . . . . . . . 8 ((((1st โ€˜๐ด) ยทN ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))) +N (((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))) +N ((1st โ€˜๐ถ) ยทN ((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)))) = (((1st โ€˜๐ด) ยทN ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))) +N ((((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) +N ((1st โ€˜๐ถ) ยทN ((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)))))
2 ovex 7395 . . . . . . . . . . 11 ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) โˆˆ V
3 ovex 7395 . . . . . . . . . . 11 ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) โˆˆ V
4 fvex 6860 . . . . . . . . . . 11 (2nd โ€˜๐ถ) โˆˆ V
5 mulcompi 10839 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ ยทN ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ ยทN ๐‘ฅ)
6 distrpi 10841 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ ยทN (๐‘ฆ +N ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยทN ๐‘ฆ) +N (๐‘ฅ ยทN ๐‘ง))
72, 3, 4, 5, 6caovdir 7593 . . . . . . . . . 10 ((((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) +N ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด))) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) = ((((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) +N (((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)))
8 mulasspi 10840 . . . . . . . . . . 11 (((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) = ((1st โ€˜๐ด) ยทN ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)))
98oveq1i 7372 . . . . . . . . . 10 ((((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) +N (((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))) = (((1st โ€˜๐ด) ยทN ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))) +N (((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)))
107, 9eqtri 2765 . . . . . . . . 9 ((((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) +N ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด))) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) = (((1st โ€˜๐ด) ยทN ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))) +N (((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)))
1110oveq1i 7372 . . . . . . . 8 (((((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) +N ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด))) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) +N ((1st โ€˜๐ถ) ยทN ((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)))) = ((((1st โ€˜๐ด) ยทN ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))) +N (((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))) +N ((1st โ€˜๐ถ) ยทN ((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต))))
12 ovex 7395 . . . . . . . . . . 11 ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) โˆˆ V
13 ovex 7395 . . . . . . . . . . 11 ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) โˆˆ V
14 fvex 6860 . . . . . . . . . . 11 (2nd โ€˜๐ด) โˆˆ V
1512, 13, 14, 5, 6caovdir 7593 . . . . . . . . . 10 ((((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) +N ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต))) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) = ((((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) +N (((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) ยทN (2nd โ€˜๐ด)))
16 fvex 6860 . . . . . . . . . . . 12 (1st โ€˜๐ต) โˆˆ V
17 mulasspi 10840 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ ยทN ๐‘ฆ) ยทN ๐‘ง) = (๐‘ฅ ยทN (๐‘ฆ ยทN ๐‘ง))
1816, 4, 14, 5, 17caov32 7586 . . . . . . . . . . 11 (((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) = (((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))
19 mulasspi 10840 . . . . . . . . . . . 12 (((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) = ((1st โ€˜๐ถ) ยทN ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด)))
20 mulcompi 10839 . . . . . . . . . . . . 13 ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) = ((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต))
2120oveq2i 7373 . . . . . . . . . . . 12 ((1st โ€˜๐ถ) ยทN ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด))) = ((1st โ€˜๐ถ) ยทN ((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)))
2219, 21eqtri 2765 . . . . . . . . . . 11 (((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) = ((1st โ€˜๐ถ) ยทN ((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)))
2318, 22oveq12i 7374 . . . . . . . . . 10 ((((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) +N (((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) ยทN (2nd โ€˜๐ด))) = ((((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) +N ((1st โ€˜๐ถ) ยทN ((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต))))
2415, 23eqtri 2765 . . . . . . . . 9 ((((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) +N ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต))) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) = ((((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) +N ((1st โ€˜๐ถ) ยทN ((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต))))
2524oveq2i 7373 . . . . . . . 8 (((1st โ€˜๐ด) ยทN ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))) +N ((((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) +N ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต))) ยทN (2nd โ€˜๐ด))) = (((1st โ€˜๐ด) ยทN ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))) +N ((((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) +N ((1st โ€˜๐ถ) ยทN ((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)))))
261, 11, 253eqtr4i 2775 . . . . . . 7 (((((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) +N ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด))) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) +N ((1st โ€˜๐ถ) ยทN ((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)))) = (((1st โ€˜๐ด) ยทN ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))) +N ((((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) +N ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต))) ยทN (2nd โ€˜๐ด)))
27 mulasspi 10840 . . . . . . 7 (((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) = ((2nd โ€˜๐ด) ยทN ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)))
2826, 27opeq12i 4840 . . . . . 6 โŸจ(((((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) +N ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด))) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) +N ((1st โ€˜๐ถ) ยทN ((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)))), (((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))โŸฉ = โŸจ(((1st โ€˜๐ด) ยทN ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))) +N ((((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) +N ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต))) ยทN (2nd โ€˜๐ด))), ((2nd โ€˜๐ด) ยทN ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)))โŸฉ
29 elpqn 10868 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ Q โ†’ ๐ด โˆˆ (N ร— N))
30293ad2ant1 1134 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ ๐ด โˆˆ (N ร— N))
31 elpqn 10868 . . . . . . . . . 10 (๐ต โˆˆ Q โ†’ ๐ต โˆˆ (N ร— N))
32313ad2ant2 1135 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ ๐ต โˆˆ (N ร— N))
33 addpipq2 10879 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (๐ด +pQ ๐ต) = โŸจ(((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) +N ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด))), ((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต))โŸฉ)
3430, 32, 33syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ (๐ด +pQ ๐ต) = โŸจ(((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) +N ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด))), ((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต))โŸฉ)
35 relxp 5656 . . . . . . . . 9 Rel (N ร— N)
36 elpqn 10868 . . . . . . . . . 10 (๐ถ โˆˆ Q โ†’ ๐ถ โˆˆ (N ร— N))
37363ad2ant3 1136 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ ๐ถ โˆˆ (N ร— N))
38 1st2nd 7976 . . . . . . . . 9 ((Rel (N ร— N) โˆง ๐ถ โˆˆ (N ร— N)) โ†’ ๐ถ = โŸจ(1st โ€˜๐ถ), (2nd โ€˜๐ถ)โŸฉ)
3935, 37, 38sylancr 588 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ ๐ถ = โŸจ(1st โ€˜๐ถ), (2nd โ€˜๐ถ)โŸฉ)
4034, 39oveq12d 7380 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ ((๐ด +pQ ๐ต) +pQ ๐ถ) = (โŸจ(((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) +N ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด))), ((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต))โŸฉ +pQ โŸจ(1st โ€˜๐ถ), (2nd โ€˜๐ถ)โŸฉ))
41 xp1st 7958 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ (N ร— N) โ†’ (1st โ€˜๐ด) โˆˆ N)
4230, 41syl 17 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ (1st โ€˜๐ด) โˆˆ N)
43 xp2nd 7959 . . . . . . . . . . 11 (๐ต โˆˆ (N ร— N) โ†’ (2nd โ€˜๐ต) โˆˆ N)
4432, 43syl 17 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ (2nd โ€˜๐ต) โˆˆ N)
45 mulclpi 10836 . . . . . . . . . 10 (((1st โ€˜๐ด) โˆˆ N โˆง (2nd โ€˜๐ต) โˆˆ N) โ†’ ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) โˆˆ N)
4642, 44, 45syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) โˆˆ N)
47 xp1st 7958 . . . . . . . . . . 11 (๐ต โˆˆ (N ร— N) โ†’ (1st โ€˜๐ต) โˆˆ N)
4832, 47syl 17 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ (1st โ€˜๐ต) โˆˆ N)
49 xp2nd 7959 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ (N ร— N) โ†’ (2nd โ€˜๐ด) โˆˆ N)
5030, 49syl 17 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ (2nd โ€˜๐ด) โˆˆ N)
51 mulclpi 10836 . . . . . . . . . 10 (((1st โ€˜๐ต) โˆˆ N โˆง (2nd โ€˜๐ด) โˆˆ N) โ†’ ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) โˆˆ N)
5248, 50, 51syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) โˆˆ N)
53 addclpi 10835 . . . . . . . . 9 ((((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) โˆˆ N โˆง ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) โˆˆ N) โ†’ (((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) +N ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด))) โˆˆ N)
5446, 52, 53syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ (((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) +N ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด))) โˆˆ N)
55 mulclpi 10836 . . . . . . . . 9 (((2nd โ€˜๐ด) โˆˆ N โˆง (2nd โ€˜๐ต) โˆˆ N) โ†’ ((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) โˆˆ N)
5650, 44, 55syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ ((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) โˆˆ N)
57 xp1st 7958 . . . . . . . . 9 (๐ถ โˆˆ (N ร— N) โ†’ (1st โ€˜๐ถ) โˆˆ N)
5837, 57syl 17 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ (1st โ€˜๐ถ) โˆˆ N)
59 xp2nd 7959 . . . . . . . . 9 (๐ถ โˆˆ (N ร— N) โ†’ (2nd โ€˜๐ถ) โˆˆ N)
6037, 59syl 17 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ (2nd โ€˜๐ถ) โˆˆ N)
61 addpipq 10880 . . . . . . . 8 ((((((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) +N ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด))) โˆˆ N โˆง ((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) โˆˆ N) โˆง ((1st โ€˜๐ถ) โˆˆ N โˆง (2nd โ€˜๐ถ) โˆˆ N)) โ†’ (โŸจ(((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) +N ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด))), ((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต))โŸฉ +pQ โŸจ(1st โ€˜๐ถ), (2nd โ€˜๐ถ)โŸฉ) = โŸจ(((((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) +N ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด))) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) +N ((1st โ€˜๐ถ) ยทN ((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)))), (((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))โŸฉ)
6254, 56, 58, 60, 61syl22anc 838 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ (โŸจ(((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) +N ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด))), ((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต))โŸฉ +pQ โŸจ(1st โ€˜๐ถ), (2nd โ€˜๐ถ)โŸฉ) = โŸจ(((((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) +N ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด))) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) +N ((1st โ€˜๐ถ) ยทN ((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)))), (((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))โŸฉ)
6340, 62eqtrd 2777 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ ((๐ด +pQ ๐ต) +pQ ๐ถ) = โŸจ(((((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) +N ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด))) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) +N ((1st โ€˜๐ถ) ยทN ((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)))), (((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))โŸฉ)
64 1st2nd 7976 . . . . . . . . 9 ((Rel (N ร— N) โˆง ๐ด โˆˆ (N ร— N)) โ†’ ๐ด = โŸจ(1st โ€˜๐ด), (2nd โ€˜๐ด)โŸฉ)
6535, 30, 64sylancr 588 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ ๐ด = โŸจ(1st โ€˜๐ด), (2nd โ€˜๐ด)โŸฉ)
66 addpipq2 10879 . . . . . . . . 9 ((๐ต โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ถ โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (๐ต +pQ ๐ถ) = โŸจ(((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) +N ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต))), ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))โŸฉ)
6732, 37, 66syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ (๐ต +pQ ๐ถ) = โŸจ(((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) +N ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต))), ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))โŸฉ)
6865, 67oveq12d 7380 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ (๐ด +pQ (๐ต +pQ ๐ถ)) = (โŸจ(1st โ€˜๐ด), (2nd โ€˜๐ด)โŸฉ +pQ โŸจ(((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) +N ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต))), ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))โŸฉ))
69 mulclpi 10836 . . . . . . . . . 10 (((1st โ€˜๐ต) โˆˆ N โˆง (2nd โ€˜๐ถ) โˆˆ N) โ†’ ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) โˆˆ N)
7048, 60, 69syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) โˆˆ N)
71 mulclpi 10836 . . . . . . . . . 10 (((1st โ€˜๐ถ) โˆˆ N โˆง (2nd โ€˜๐ต) โˆˆ N) โ†’ ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) โˆˆ N)
7258, 44, 71syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) โˆˆ N)
73 addclpi 10835 . . . . . . . . 9 ((((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) โˆˆ N โˆง ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) โˆˆ N) โ†’ (((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) +N ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต))) โˆˆ N)
7470, 72, 73syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ (((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) +N ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต))) โˆˆ N)
75 mulclpi 10836 . . . . . . . . 9 (((2nd โ€˜๐ต) โˆˆ N โˆง (2nd โ€˜๐ถ) โˆˆ N) โ†’ ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) โˆˆ N)
7644, 60, 75syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) โˆˆ N)
77 addpipq 10880 . . . . . . . 8 ((((1st โ€˜๐ด) โˆˆ N โˆง (2nd โ€˜๐ด) โˆˆ N) โˆง ((((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) +N ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต))) โˆˆ N โˆง ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) โˆˆ N)) โ†’ (โŸจ(1st โ€˜๐ด), (2nd โ€˜๐ด)โŸฉ +pQ โŸจ(((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) +N ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต))), ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))โŸฉ) = โŸจ(((1st โ€˜๐ด) ยทN ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))) +N ((((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) +N ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต))) ยทN (2nd โ€˜๐ด))), ((2nd โ€˜๐ด) ยทN ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)))โŸฉ)
7842, 50, 74, 76, 77syl22anc 838 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ (โŸจ(1st โ€˜๐ด), (2nd โ€˜๐ด)โŸฉ +pQ โŸจ(((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) +N ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต))), ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))โŸฉ) = โŸจ(((1st โ€˜๐ด) ยทN ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))) +N ((((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) +N ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต))) ยทN (2nd โ€˜๐ด))), ((2nd โ€˜๐ด) ยทN ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)))โŸฉ)
7968, 78eqtrd 2777 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ (๐ด +pQ (๐ต +pQ ๐ถ)) = โŸจ(((1st โ€˜๐ด) ยทN ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))) +N ((((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) +N ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต))) ยทN (2nd โ€˜๐ด))), ((2nd โ€˜๐ด) ยทN ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)))โŸฉ)
8028, 63, 793eqtr4a 2803 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ ((๐ด +pQ ๐ต) +pQ ๐ถ) = (๐ด +pQ (๐ต +pQ ๐ถ)))
8180fveq2d 6851 . . . 4 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ ([Q]โ€˜((๐ด +pQ ๐ต) +pQ ๐ถ)) = ([Q]โ€˜(๐ด +pQ (๐ต +pQ ๐ถ))))
82 adderpq 10899 . . . 4 (([Q]โ€˜(๐ด +pQ ๐ต)) +Q ([Q]โ€˜๐ถ)) = ([Q]โ€˜((๐ด +pQ ๐ต) +pQ ๐ถ))
83 adderpq 10899 . . . 4 (([Q]โ€˜๐ด) +Q ([Q]โ€˜(๐ต +pQ ๐ถ))) = ([Q]โ€˜(๐ด +pQ (๐ต +pQ ๐ถ)))
8481, 82, 833eqtr4g 2802 . . 3 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ (([Q]โ€˜(๐ด +pQ ๐ต)) +Q ([Q]โ€˜๐ถ)) = (([Q]โ€˜๐ด) +Q ([Q]โ€˜(๐ต +pQ ๐ถ))))
85 addpqnq 10881 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ (๐ด +Q ๐ต) = ([Q]โ€˜(๐ด +pQ ๐ต)))
86853adant3 1133 . . . 4 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ (๐ด +Q ๐ต) = ([Q]โ€˜(๐ด +pQ ๐ต)))
87 nqerid 10876 . . . . . 6 (๐ถ โˆˆ Q โ†’ ([Q]โ€˜๐ถ) = ๐ถ)
8887eqcomd 2743 . . . . 5 (๐ถ โˆˆ Q โ†’ ๐ถ = ([Q]โ€˜๐ถ))
89883ad2ant3 1136 . . . 4 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ ๐ถ = ([Q]โ€˜๐ถ))
9086, 89oveq12d 7380 . . 3 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ ((๐ด +Q ๐ต) +Q ๐ถ) = (([Q]โ€˜(๐ด +pQ ๐ต)) +Q ([Q]โ€˜๐ถ)))
91 nqerid 10876 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ Q โ†’ ([Q]โ€˜๐ด) = ๐ด)
9291eqcomd 2743 . . . . 5 (๐ด โˆˆ Q โ†’ ๐ด = ([Q]โ€˜๐ด))
93923ad2ant1 1134 . . . 4 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ ๐ด = ([Q]โ€˜๐ด))
94 addpqnq 10881 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ (๐ต +Q ๐ถ) = ([Q]โ€˜(๐ต +pQ ๐ถ)))
95943adant1 1131 . . . 4 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ (๐ต +Q ๐ถ) = ([Q]โ€˜(๐ต +pQ ๐ถ)))
9693, 95oveq12d 7380 . . 3 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ (๐ด +Q (๐ต +Q ๐ถ)) = (([Q]โ€˜๐ด) +Q ([Q]โ€˜(๐ต +pQ ๐ถ))))
9784, 90, 963eqtr4d 2787 . 2 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ ((๐ด +Q ๐ต) +Q ๐ถ) = (๐ด +Q (๐ต +Q ๐ถ)))
98 addnqf 10891 . . . 4 +Q :(Q ร— Q)โŸถQ
9998fdmi 6685 . . 3 dom +Q = (Q ร— Q)
100 0nnq 10867 . . 3 ยฌ โˆ… โˆˆ Q
10199, 100ndmovass 7547 . 2 (ยฌ (๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ ((๐ด +Q ๐ต) +Q ๐ถ) = (๐ด +Q (๐ต +Q ๐ถ)))
10297, 101pm2.61i 182 1 ((๐ด +Q ๐ต) +Q ๐ถ) = (๐ด +Q (๐ต +Q ๐ถ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โŸจcop 4597   ร— cxp 5636  Rel wrel 5643  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  1st c1st 7924  2nd c2nd 7925  Ncnpi 10787   +N cpli 10788   ยทN cmi 10789   +pQ cplpq 10791  Qcnq 10795  [Q]cerq 10797   +Q cplq 10798
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-oadd 8421  df-omul 8422  df-er 8655  df-ni 10815  df-pli 10816  df-mi 10817  df-lti 10818  df-plpq 10851  df-enq 10854  df-nq 10855  df-erq 10856  df-plq 10857  df-1nq 10859
This theorem is referenced by:  ltaddnq  10917  addasspr  10965  prlem934  10976  ltexprlem7  10985
  Copyright terms: Public domain W3C validator