MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addassnq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem addassnq 10955
Description: Addition of positive fractions is associative. (Contributed by NM, 2-Sep-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
addassnq ((๐ด +Q ๐ต) +Q ๐ถ) = (๐ด +Q (๐ต +Q ๐ถ))

Proof of Theorem addassnq
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 addasspi 10892 . . . . . . . 8 ((((1st โ€˜๐ด) ยทN ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))) +N (((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))) +N ((1st โ€˜๐ถ) ยทN ((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)))) = (((1st โ€˜๐ด) ยทN ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))) +N ((((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) +N ((1st โ€˜๐ถ) ยทN ((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)))))
2 ovex 7438 . . . . . . . . . . 11 ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) โˆˆ V
3 ovex 7438 . . . . . . . . . . 11 ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) โˆˆ V
4 fvex 6898 . . . . . . . . . . 11 (2nd โ€˜๐ถ) โˆˆ V
5 mulcompi 10893 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ ยทN ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ ยทN ๐‘ฅ)
6 distrpi 10895 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ ยทN (๐‘ฆ +N ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยทN ๐‘ฆ) +N (๐‘ฅ ยทN ๐‘ง))
72, 3, 4, 5, 6caovdir 7638 . . . . . . . . . 10 ((((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) +N ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด))) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) = ((((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) +N (((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)))
8 mulasspi 10894 . . . . . . . . . . 11 (((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) = ((1st โ€˜๐ด) ยทN ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)))
98oveq1i 7415 . . . . . . . . . 10 ((((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) +N (((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))) = (((1st โ€˜๐ด) ยทN ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))) +N (((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)))
107, 9eqtri 2754 . . . . . . . . 9 ((((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) +N ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด))) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) = (((1st โ€˜๐ด) ยทN ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))) +N (((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)))
1110oveq1i 7415 . . . . . . . 8 (((((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) +N ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด))) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) +N ((1st โ€˜๐ถ) ยทN ((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)))) = ((((1st โ€˜๐ด) ยทN ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))) +N (((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))) +N ((1st โ€˜๐ถ) ยทN ((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต))))
12 ovex 7438 . . . . . . . . . . 11 ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) โˆˆ V
13 ovex 7438 . . . . . . . . . . 11 ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) โˆˆ V
14 fvex 6898 . . . . . . . . . . 11 (2nd โ€˜๐ด) โˆˆ V
1512, 13, 14, 5, 6caovdir 7638 . . . . . . . . . 10 ((((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) +N ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต))) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) = ((((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) +N (((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) ยทN (2nd โ€˜๐ด)))
16 fvex 6898 . . . . . . . . . . . 12 (1st โ€˜๐ต) โˆˆ V
17 mulasspi 10894 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ ยทN ๐‘ฆ) ยทN ๐‘ง) = (๐‘ฅ ยทN (๐‘ฆ ยทN ๐‘ง))
1816, 4, 14, 5, 17caov32 7631 . . . . . . . . . . 11 (((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) = (((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))
19 mulasspi 10894 . . . . . . . . . . . 12 (((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) = ((1st โ€˜๐ถ) ยทN ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด)))
20 mulcompi 10893 . . . . . . . . . . . . 13 ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) = ((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต))
2120oveq2i 7416 . . . . . . . . . . . 12 ((1st โ€˜๐ถ) ยทN ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด))) = ((1st โ€˜๐ถ) ยทN ((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)))
2219, 21eqtri 2754 . . . . . . . . . . 11 (((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) = ((1st โ€˜๐ถ) ยทN ((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)))
2318, 22oveq12i 7417 . . . . . . . . . 10 ((((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) +N (((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) ยทN (2nd โ€˜๐ด))) = ((((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) +N ((1st โ€˜๐ถ) ยทN ((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต))))
2415, 23eqtri 2754 . . . . . . . . 9 ((((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) +N ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต))) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) = ((((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) +N ((1st โ€˜๐ถ) ยทN ((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต))))
2524oveq2i 7416 . . . . . . . 8 (((1st โ€˜๐ด) ยทN ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))) +N ((((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) +N ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต))) ยทN (2nd โ€˜๐ด))) = (((1st โ€˜๐ด) ยทN ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))) +N ((((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) +N ((1st โ€˜๐ถ) ยทN ((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)))))
261, 11, 253eqtr4i 2764 . . . . . . 7 (((((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) +N ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด))) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) +N ((1st โ€˜๐ถ) ยทN ((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)))) = (((1st โ€˜๐ด) ยทN ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))) +N ((((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) +N ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต))) ยทN (2nd โ€˜๐ด)))
27 mulasspi 10894 . . . . . . 7 (((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) = ((2nd โ€˜๐ด) ยทN ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)))
2826, 27opeq12i 4873 . . . . . 6 โŸจ(((((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) +N ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด))) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) +N ((1st โ€˜๐ถ) ยทN ((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)))), (((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))โŸฉ = โŸจ(((1st โ€˜๐ด) ยทN ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))) +N ((((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) +N ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต))) ยทN (2nd โ€˜๐ด))), ((2nd โ€˜๐ด) ยทN ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)))โŸฉ
29 elpqn 10922 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ Q โ†’ ๐ด โˆˆ (N ร— N))
30293ad2ant1 1130 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ ๐ด โˆˆ (N ร— N))
31 elpqn 10922 . . . . . . . . . 10 (๐ต โˆˆ Q โ†’ ๐ต โˆˆ (N ร— N))
32313ad2ant2 1131 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ ๐ต โˆˆ (N ร— N))
33 addpipq2 10933 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (๐ด +pQ ๐ต) = โŸจ(((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) +N ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด))), ((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต))โŸฉ)
3430, 32, 33syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ (๐ด +pQ ๐ต) = โŸจ(((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) +N ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด))), ((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต))โŸฉ)
35 relxp 5687 . . . . . . . . 9 Rel (N ร— N)
36 elpqn 10922 . . . . . . . . . 10 (๐ถ โˆˆ Q โ†’ ๐ถ โˆˆ (N ร— N))
37363ad2ant3 1132 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ ๐ถ โˆˆ (N ร— N))
38 1st2nd 8024 . . . . . . . . 9 ((Rel (N ร— N) โˆง ๐ถ โˆˆ (N ร— N)) โ†’ ๐ถ = โŸจ(1st โ€˜๐ถ), (2nd โ€˜๐ถ)โŸฉ)
3935, 37, 38sylancr 586 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ ๐ถ = โŸจ(1st โ€˜๐ถ), (2nd โ€˜๐ถ)โŸฉ)
4034, 39oveq12d 7423 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ ((๐ด +pQ ๐ต) +pQ ๐ถ) = (โŸจ(((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) +N ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด))), ((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต))โŸฉ +pQ โŸจ(1st โ€˜๐ถ), (2nd โ€˜๐ถ)โŸฉ))
41 xp1st 8006 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ (N ร— N) โ†’ (1st โ€˜๐ด) โˆˆ N)
4230, 41syl 17 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ (1st โ€˜๐ด) โˆˆ N)
43 xp2nd 8007 . . . . . . . . . . 11 (๐ต โˆˆ (N ร— N) โ†’ (2nd โ€˜๐ต) โˆˆ N)
4432, 43syl 17 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ (2nd โ€˜๐ต) โˆˆ N)
45 mulclpi 10890 . . . . . . . . . 10 (((1st โ€˜๐ด) โˆˆ N โˆง (2nd โ€˜๐ต) โˆˆ N) โ†’ ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) โˆˆ N)
4642, 44, 45syl2anc 583 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) โˆˆ N)
47 xp1st 8006 . . . . . . . . . . 11 (๐ต โˆˆ (N ร— N) โ†’ (1st โ€˜๐ต) โˆˆ N)
4832, 47syl 17 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ (1st โ€˜๐ต) โˆˆ N)
49 xp2nd 8007 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ (N ร— N) โ†’ (2nd โ€˜๐ด) โˆˆ N)
5030, 49syl 17 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ (2nd โ€˜๐ด) โˆˆ N)
51 mulclpi 10890 . . . . . . . . . 10 (((1st โ€˜๐ต) โˆˆ N โˆง (2nd โ€˜๐ด) โˆˆ N) โ†’ ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) โˆˆ N)
5248, 50, 51syl2anc 583 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) โˆˆ N)
53 addclpi 10889 . . . . . . . . 9 ((((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) โˆˆ N โˆง ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) โˆˆ N) โ†’ (((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) +N ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด))) โˆˆ N)
5446, 52, 53syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ (((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) +N ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด))) โˆˆ N)
55 mulclpi 10890 . . . . . . . . 9 (((2nd โ€˜๐ด) โˆˆ N โˆง (2nd โ€˜๐ต) โˆˆ N) โ†’ ((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) โˆˆ N)
5650, 44, 55syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ ((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) โˆˆ N)
57 xp1st 8006 . . . . . . . . 9 (๐ถ โˆˆ (N ร— N) โ†’ (1st โ€˜๐ถ) โˆˆ N)
5837, 57syl 17 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ (1st โ€˜๐ถ) โˆˆ N)
59 xp2nd 8007 . . . . . . . . 9 (๐ถ โˆˆ (N ร— N) โ†’ (2nd โ€˜๐ถ) โˆˆ N)
6037, 59syl 17 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ (2nd โ€˜๐ถ) โˆˆ N)
61 addpipq 10934 . . . . . . . 8 ((((((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) +N ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด))) โˆˆ N โˆง ((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) โˆˆ N) โˆง ((1st โ€˜๐ถ) โˆˆ N โˆง (2nd โ€˜๐ถ) โˆˆ N)) โ†’ (โŸจ(((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) +N ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด))), ((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต))โŸฉ +pQ โŸจ(1st โ€˜๐ถ), (2nd โ€˜๐ถ)โŸฉ) = โŸจ(((((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) +N ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด))) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) +N ((1st โ€˜๐ถ) ยทN ((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)))), (((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))โŸฉ)
6254, 56, 58, 60, 61syl22anc 836 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ (โŸจ(((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) +N ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด))), ((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต))โŸฉ +pQ โŸจ(1st โ€˜๐ถ), (2nd โ€˜๐ถ)โŸฉ) = โŸจ(((((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) +N ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด))) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) +N ((1st โ€˜๐ถ) ยทN ((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)))), (((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))โŸฉ)
6340, 62eqtrd 2766 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ ((๐ด +pQ ๐ต) +pQ ๐ถ) = โŸจ(((((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) +N ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด))) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) +N ((1st โ€˜๐ถ) ยทN ((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)))), (((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))โŸฉ)
64 1st2nd 8024 . . . . . . . . 9 ((Rel (N ร— N) โˆง ๐ด โˆˆ (N ร— N)) โ†’ ๐ด = โŸจ(1st โ€˜๐ด), (2nd โ€˜๐ด)โŸฉ)
6535, 30, 64sylancr 586 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ ๐ด = โŸจ(1st โ€˜๐ด), (2nd โ€˜๐ด)โŸฉ)
66 addpipq2 10933 . . . . . . . . 9 ((๐ต โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ถ โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (๐ต +pQ ๐ถ) = โŸจ(((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) +N ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต))), ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))โŸฉ)
6732, 37, 66syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ (๐ต +pQ ๐ถ) = โŸจ(((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) +N ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต))), ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))โŸฉ)
6865, 67oveq12d 7423 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ (๐ด +pQ (๐ต +pQ ๐ถ)) = (โŸจ(1st โ€˜๐ด), (2nd โ€˜๐ด)โŸฉ +pQ โŸจ(((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) +N ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต))), ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))โŸฉ))
69 mulclpi 10890 . . . . . . . . . 10 (((1st โ€˜๐ต) โˆˆ N โˆง (2nd โ€˜๐ถ) โˆˆ N) โ†’ ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) โˆˆ N)
7048, 60, 69syl2anc 583 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) โˆˆ N)
71 mulclpi 10890 . . . . . . . . . 10 (((1st โ€˜๐ถ) โˆˆ N โˆง (2nd โ€˜๐ต) โˆˆ N) โ†’ ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) โˆˆ N)
7258, 44, 71syl2anc 583 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) โˆˆ N)
73 addclpi 10889 . . . . . . . . 9 ((((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) โˆˆ N โˆง ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) โˆˆ N) โ†’ (((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) +N ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต))) โˆˆ N)
7470, 72, 73syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ (((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) +N ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต))) โˆˆ N)
75 mulclpi 10890 . . . . . . . . 9 (((2nd โ€˜๐ต) โˆˆ N โˆง (2nd โ€˜๐ถ) โˆˆ N) โ†’ ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) โˆˆ N)
7644, 60, 75syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) โˆˆ N)
77 addpipq 10934 . . . . . . . 8 ((((1st โ€˜๐ด) โˆˆ N โˆง (2nd โ€˜๐ด) โˆˆ N) โˆง ((((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) +N ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต))) โˆˆ N โˆง ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) โˆˆ N)) โ†’ (โŸจ(1st โ€˜๐ด), (2nd โ€˜๐ด)โŸฉ +pQ โŸจ(((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) +N ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต))), ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))โŸฉ) = โŸจ(((1st โ€˜๐ด) ยทN ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))) +N ((((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) +N ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต))) ยทN (2nd โ€˜๐ด))), ((2nd โ€˜๐ด) ยทN ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)))โŸฉ)
7842, 50, 74, 76, 77syl22anc 836 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ (โŸจ(1st โ€˜๐ด), (2nd โ€˜๐ด)โŸฉ +pQ โŸจ(((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) +N ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต))), ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))โŸฉ) = โŸจ(((1st โ€˜๐ด) ยทN ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))) +N ((((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) +N ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต))) ยทN (2nd โ€˜๐ด))), ((2nd โ€˜๐ด) ยทN ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)))โŸฉ)
7968, 78eqtrd 2766 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ (๐ด +pQ (๐ต +pQ ๐ถ)) = โŸจ(((1st โ€˜๐ด) ยทN ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))) +N ((((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) +N ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต))) ยทN (2nd โ€˜๐ด))), ((2nd โ€˜๐ด) ยทN ((2nd โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)))โŸฉ)
8028, 63, 793eqtr4a 2792 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ ((๐ด +pQ ๐ต) +pQ ๐ถ) = (๐ด +pQ (๐ต +pQ ๐ถ)))
8180fveq2d 6889 . . . 4 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ ([Q]โ€˜((๐ด +pQ ๐ต) +pQ ๐ถ)) = ([Q]โ€˜(๐ด +pQ (๐ต +pQ ๐ถ))))
82 adderpq 10953 . . . 4 (([Q]โ€˜(๐ด +pQ ๐ต)) +Q ([Q]โ€˜๐ถ)) = ([Q]โ€˜((๐ด +pQ ๐ต) +pQ ๐ถ))
83 adderpq 10953 . . . 4 (([Q]โ€˜๐ด) +Q ([Q]โ€˜(๐ต +pQ ๐ถ))) = ([Q]โ€˜(๐ด +pQ (๐ต +pQ ๐ถ)))
8481, 82, 833eqtr4g 2791 . . 3 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ (([Q]โ€˜(๐ด +pQ ๐ต)) +Q ([Q]โ€˜๐ถ)) = (([Q]โ€˜๐ด) +Q ([Q]โ€˜(๐ต +pQ ๐ถ))))
85 addpqnq 10935 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ (๐ด +Q ๐ต) = ([Q]โ€˜(๐ด +pQ ๐ต)))
86853adant3 1129 . . . 4 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ (๐ด +Q ๐ต) = ([Q]โ€˜(๐ด +pQ ๐ต)))
87 nqerid 10930 . . . . . 6 (๐ถ โˆˆ Q โ†’ ([Q]โ€˜๐ถ) = ๐ถ)
8887eqcomd 2732 . . . . 5 (๐ถ โˆˆ Q โ†’ ๐ถ = ([Q]โ€˜๐ถ))
89883ad2ant3 1132 . . . 4 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ ๐ถ = ([Q]โ€˜๐ถ))
9086, 89oveq12d 7423 . . 3 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ ((๐ด +Q ๐ต) +Q ๐ถ) = (([Q]โ€˜(๐ด +pQ ๐ต)) +Q ([Q]โ€˜๐ถ)))
91 nqerid 10930 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ Q โ†’ ([Q]โ€˜๐ด) = ๐ด)
9291eqcomd 2732 . . . . 5 (๐ด โˆˆ Q โ†’ ๐ด = ([Q]โ€˜๐ด))
93923ad2ant1 1130 . . . 4 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ ๐ด = ([Q]โ€˜๐ด))
94 addpqnq 10935 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ (๐ต +Q ๐ถ) = ([Q]โ€˜(๐ต +pQ ๐ถ)))
95943adant1 1127 . . . 4 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ (๐ต +Q ๐ถ) = ([Q]โ€˜(๐ต +pQ ๐ถ)))
9693, 95oveq12d 7423 . . 3 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ (๐ด +Q (๐ต +Q ๐ถ)) = (([Q]โ€˜๐ด) +Q ([Q]โ€˜(๐ต +pQ ๐ถ))))
9784, 90, 963eqtr4d 2776 . 2 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ ((๐ด +Q ๐ต) +Q ๐ถ) = (๐ด +Q (๐ต +Q ๐ถ)))
98 addnqf 10945 . . . 4 +Q :(Q ร— Q)โŸถQ
9998fdmi 6723 . . 3 dom +Q = (Q ร— Q)
100 0nnq 10921 . . 3 ยฌ โˆ… โˆˆ Q
10199, 100ndmovass 7592 . 2 (ยฌ (๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ ((๐ด +Q ๐ต) +Q ๐ถ) = (๐ด +Q (๐ต +Q ๐ถ)))
10297, 101pm2.61i 182 1 ((๐ด +Q ๐ต) +Q ๐ถ) = (๐ด +Q (๐ต +Q ๐ถ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โŸจcop 4629   ร— cxp 5667  Rel wrel 5674  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  1st c1st 7972  2nd c2nd 7973  Ncnpi 10841   +N cpli 10842   ยทN cmi 10843   +pQ cplpq 10845  Qcnq 10849  [Q]cerq 10851   +Q cplq 10852
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-oadd 8471  df-omul 8472  df-er 8705  df-ni 10869  df-pli 10870  df-mi 10871  df-lti 10872  df-plpq 10905  df-enq 10908  df-nq 10909  df-erq 10910  df-plq 10911  df-1nq 10913
This theorem is referenced by:  ltaddnq  10971  addasspr  11019  prlem934  11030  ltexprlem7  11039
  Copyright terms: Public domain W3C validator