MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addpipq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem addpipq 10938
Description: Addition of positive fractions in terms of positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
addpipq (((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N) โˆง (๐ถ โˆˆ N โˆง ๐ท โˆˆ N)) โ†’ (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ +pQ โŸจ๐ถ, ๐ทโŸฉ) = โŸจ((๐ด ยทN ๐ท) +N (๐ถ ยทN ๐ต)), (๐ต ยทN ๐ท)โŸฉ)

Proof of Theorem addpipq
StepHypRef Expression
1 opelxpi 5713 . . 3 ((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N) โ†’ โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ โˆˆ (N ร— N))
2 opelxpi 5713 . . 3 ((๐ถ โˆˆ N โˆง ๐ท โˆˆ N) โ†’ โŸจ๐ถ, ๐ทโŸฉ โˆˆ (N ร— N))
3 addpipq2 10937 . . 3 ((โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ โˆˆ (N ร— N) โˆง โŸจ๐ถ, ๐ทโŸฉ โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ +pQ โŸจ๐ถ, ๐ทโŸฉ) = โŸจ(((1st โ€˜โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ) ยทN (2nd โ€˜โŸจ๐ถ, ๐ทโŸฉ)) +N ((1st โ€˜โŸจ๐ถ, ๐ทโŸฉ) ยทN (2nd โ€˜โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ))), ((2nd โ€˜โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ) ยทN (2nd โ€˜โŸจ๐ถ, ๐ทโŸฉ))โŸฉ)
41, 2, 3syl2an 595 . 2 (((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N) โˆง (๐ถ โˆˆ N โˆง ๐ท โˆˆ N)) โ†’ (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ +pQ โŸจ๐ถ, ๐ทโŸฉ) = โŸจ(((1st โ€˜โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ) ยทN (2nd โ€˜โŸจ๐ถ, ๐ทโŸฉ)) +N ((1st โ€˜โŸจ๐ถ, ๐ทโŸฉ) ยทN (2nd โ€˜โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ))), ((2nd โ€˜โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ) ยทN (2nd โ€˜โŸจ๐ถ, ๐ทโŸฉ))โŸฉ)
5 op1stg 7991 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N) โ†’ (1st โ€˜โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ) = ๐ด)
6 op2ndg 7992 . . . . 5 ((๐ถ โˆˆ N โˆง ๐ท โˆˆ N) โ†’ (2nd โ€˜โŸจ๐ถ, ๐ทโŸฉ) = ๐ท)
75, 6oveqan12d 7431 . . . 4 (((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N) โˆง (๐ถ โˆˆ N โˆง ๐ท โˆˆ N)) โ†’ ((1st โ€˜โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ) ยทN (2nd โ€˜โŸจ๐ถ, ๐ทโŸฉ)) = (๐ด ยทN ๐ท))
8 op1stg 7991 . . . . 5 ((๐ถ โˆˆ N โˆง ๐ท โˆˆ N) โ†’ (1st โ€˜โŸจ๐ถ, ๐ทโŸฉ) = ๐ถ)
9 op2ndg 7992 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N) โ†’ (2nd โ€˜โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ) = ๐ต)
108, 9oveqan12rd 7432 . . . 4 (((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N) โˆง (๐ถ โˆˆ N โˆง ๐ท โˆˆ N)) โ†’ ((1st โ€˜โŸจ๐ถ, ๐ทโŸฉ) ยทN (2nd โ€˜โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ)) = (๐ถ ยทN ๐ต))
117, 10oveq12d 7430 . . 3 (((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N) โˆง (๐ถ โˆˆ N โˆง ๐ท โˆˆ N)) โ†’ (((1st โ€˜โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ) ยทN (2nd โ€˜โŸจ๐ถ, ๐ทโŸฉ)) +N ((1st โ€˜โŸจ๐ถ, ๐ทโŸฉ) ยทN (2nd โ€˜โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ))) = ((๐ด ยทN ๐ท) +N (๐ถ ยทN ๐ต)))
129, 6oveqan12d 7431 . . 3 (((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N) โˆง (๐ถ โˆˆ N โˆง ๐ท โˆˆ N)) โ†’ ((2nd โ€˜โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ) ยทN (2nd โ€˜โŸจ๐ถ, ๐ทโŸฉ)) = (๐ต ยทN ๐ท))
1311, 12opeq12d 4881 . 2 (((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N) โˆง (๐ถ โˆˆ N โˆง ๐ท โˆˆ N)) โ†’ โŸจ(((1st โ€˜โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ) ยทN (2nd โ€˜โŸจ๐ถ, ๐ทโŸฉ)) +N ((1st โ€˜โŸจ๐ถ, ๐ทโŸฉ) ยทN (2nd โ€˜โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ))), ((2nd โ€˜โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ) ยทN (2nd โ€˜โŸจ๐ถ, ๐ทโŸฉ))โŸฉ = โŸจ((๐ด ยทN ๐ท) +N (๐ถ ยทN ๐ต)), (๐ต ยทN ๐ท)โŸฉ)
144, 13eqtrd 2771 1 (((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N) โˆง (๐ถ โˆˆ N โˆง ๐ท โˆˆ N)) โ†’ (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ +pQ โŸจ๐ถ, ๐ทโŸฉ) = โŸจ((๐ด ยทN ๐ท) +N (๐ถ ยทN ๐ต)), (๐ต ยทN ๐ท)โŸฉ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1540   โˆˆ wcel 2105  โŸจcop 4634   ร— cxp 5674  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  1st c1st 7977  2nd c2nd 7978  Ncnpi 10845   +N cpli 10846   ยทN cmi 10847   +pQ cplpq 10849
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-un 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fv 6551  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-plpq 10909
This theorem is referenced by:  addassnq  10959  distrnq  10962  1lt2nq  10974  ltexnq  10976  prlem934  11034
  Copyright terms: Public domain W3C validator