Theorem atandm 27231

Description: Since the property is a little lengthy, we abbreviate 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ -i ∧ 𝐴 ≠ i as 𝐴 ∈ dom arctan. This is the necessary precondition for the definition of arctan to make sense. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
atandm	⊢ (𝐴 ∈ dom arctan ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ -i ∧ 𝐴 ≠ i))

Proof of Theorem atandm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 4052	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ { -i, i}) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝐴 ∈ { -i, i}))
2		elprg 4607	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ { -i, i} ↔ (𝐴 = -i ∨ 𝐴 = i)))
3	2	notbid 321	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (¬ 𝐴 ∈ { -i, i} ↔ ¬ (𝐴 = -i ∨ 𝐴 = i)))
4		neanior 3052	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≠ -i ∧ 𝐴 ≠ i) ↔ ¬ (𝐴 = -i ∨ 𝐴 = i))
5	3, 4	bitr4di 292	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (¬ 𝐴 ∈ { -i, i} ↔ (𝐴 ≠ -i ∧ 𝐴 ≠ i)))
6	5	pm5.32i 585	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝐴 ∈ { -i, i}) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ≠ -i ∧ 𝐴 ≠ i)))
7	1, 6	bitri 278	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ { -i, i}) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ≠ -i ∧ 𝐴 ≠ i)))
8		ovex 7473	. . . 4 ⊢ ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝑥))) − (log‘(1 + (i · 𝑥))))) ∈ V
9		df-atan 27222	. . . 4 ⊢ arctan = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ { -i, i}) ↦ ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝑥))) − (log‘(1 + (i · 𝑥))))))
10	8, 9	dmmpti 6702	. . 3 ⊢ dom arctan = (ℂ ∖ { -i, i})
11	10	eleq2i 2856	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan ↔ 𝐴 ∈ (ℂ ∖ { -i, i}))
12		3anass 1111	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ -i ∧ 𝐴 ≠ i) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ≠ -i ∧ 𝐴 ≠ i)))
13	7, 11, 12	3bitr4i 306	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ -i ∧ 𝐴 ≠ i))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   ∖ cdif 4048  {cpr 4590  dom cdm 5655  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  ℂcc 11222  1c1 11225  ici 11226   + caddc 11227   · cmul 11229   − cmin 11565   -cneg 11566   / cdiv 11997  2c2 12421  logclog 26909  arctancatan 27219

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pr 5395

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-fv 6563  df-ov 7443  df-atan 27222

This theorem is used by:  atandm2  27232  atandm3  27233  atancj  27265  2efiatan  27273  tanatan  27274  dvatan  27290