Theorem atandm 26784

Description: Since the property is a little lengthy, we abbreviate 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ -i ∧ 𝐴 ≠ i as 𝐴 ∈ dom arctan. This is the necessary precondition for the definition of arctan to make sense. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
atandm	⊢ (𝐴 ∈ dom arctan ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ -i ∧ 𝐴 ≠ i))

Proof of Theorem atandm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 3913	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ {-i, i}) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝐴 ∈ {-i, i}))
2		elprg 4600	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ {-i, i} ↔ (𝐴 = -i ∨ 𝐴 = i)))
3	2	notbid 318	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (¬ 𝐴 ∈ {-i, i} ↔ ¬ (𝐴 = -i ∨ 𝐴 = i)))
4		neanior 3018	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≠ -i ∧ 𝐴 ≠ i) ↔ ¬ (𝐴 = -i ∨ 𝐴 = i))
5	3, 4	bitr4di 289	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (¬ 𝐴 ∈ {-i, i} ↔ (𝐴 ≠ -i ∧ 𝐴 ≠ i)))
6	5	pm5.32i 574	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝐴 ∈ {-i, i}) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ≠ -i ∧ 𝐴 ≠ i)))
7	1, 6	bitri 275	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ {-i, i}) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ≠ -i ∧ 𝐴 ≠ i)))
8		ovex 7382	. . . 4 ⊢ ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝑥))) − (log‘(1 + (i · 𝑥))))) ∈ V
9		df-atan 26775	. . . 4 ⊢ arctan = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {-i, i}) ↦ ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝑥))) − (log‘(1 + (i · 𝑥))))))
10	8, 9	dmmpti 6626	. . 3 ⊢ dom arctan = (ℂ ∖ {-i, i})
11	10	eleq2i 2820	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan ↔ 𝐴 ∈ (ℂ ∖ {-i, i}))
12		3anass 1094	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ -i ∧ 𝐴 ≠ i) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ≠ -i ∧ 𝐴 ≠ i)))
13	7, 11, 12	3bitr4i 303	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ -i ∧ 𝐴 ≠ i))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   ∖ cdif 3900  {cpr 4579  dom cdm 5619  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  ℂcc 11007  1c1 11010  ici 11011   + caddc 11012   · cmul 11014   − cmin 11347  -cneg 11348   / cdiv 11777  2c2 12183  logclog 26461  arctancatan 26772

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pr 5371

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-dif 3906  df-un 3908  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-fv 6490  df-ov 7352  df-atan 26775

This theorem is referenced by:  atandm2  26785  atandm3  26786  atancj  26818  2efiatan  26826  tanatan  26827  dvatan  26843