Theorem atandm 26937

Description: Since the property is a little lengthy, we abbreviate 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ -i ∧ 𝐴 ≠ i as 𝐴 ∈ dom arctan. This is the necessary precondition for the definition of arctan to make sense. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
atandm	⊢ (𝐴 ∈ dom arctan ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ -i ∧ 𝐴 ≠ i))

Proof of Theorem atandm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 3986	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ {-i, i}) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝐴 ∈ {-i, i}))
2		elprg 4670	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ {-i, i} ↔ (𝐴 = -i ∨ 𝐴 = i)))
3	2	notbid 318	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (¬ 𝐴 ∈ {-i, i} ↔ ¬ (𝐴 = -i ∨ 𝐴 = i)))
4		neanior 3041	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≠ -i ∧ 𝐴 ≠ i) ↔ ¬ (𝐴 = -i ∨ 𝐴 = i))
5	3, 4	bitr4di 289	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (¬ 𝐴 ∈ {-i, i} ↔ (𝐴 ≠ -i ∧ 𝐴 ≠ i)))
6	5	pm5.32i 574	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝐴 ∈ {-i, i}) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ≠ -i ∧ 𝐴 ≠ i)))
7	1, 6	bitri 275	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ {-i, i}) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ≠ -i ∧ 𝐴 ≠ i)))
8		ovex 7481	. . . 4 ⊢ ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝑥))) − (log‘(1 + (i · 𝑥))))) ∈ V
9		df-atan 26928	. . . 4 ⊢ arctan = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {-i, i}) ↦ ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝑥))) − (log‘(1 + (i · 𝑥))))))
10	8, 9	dmmpti 6724	. . 3 ⊢ dom arctan = (ℂ ∖ {-i, i})
11	10	eleq2i 2836	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan ↔ 𝐴 ∈ (ℂ ∖ {-i, i}))
12		3anass 1095	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ -i ∧ 𝐴 ≠ i) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ≠ -i ∧ 𝐴 ≠ i)))
13	7, 11, 12	3bitr4i 303	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ -i ∧ 𝐴 ≠ i))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 846   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946   ∖ cdif 3973  {cpr 4650  dom cdm 5700  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  1c1 11185  ici 11186   + caddc 11187   · cmul 11189   − cmin 11520  -cneg 11521   / cdiv 11947  2c2 12348  logclog 26614  arctancatan 26925

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-fv 6581  df-ov 7451  df-atan 26928

This theorem is referenced by:  atandm2  26938  atandm3  26939  atancj  26971  2efiatan  26979  tanatan  26980  dvatan  26996