MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  atandm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atandm 26242
Description: Since the property is a little lengthy, we abbreviate ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  -i โˆง ๐ด โ‰  i as ๐ด โˆˆ dom arctan. This is the necessary precondition for the definition of arctan to make sense. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
atandm (๐ด โˆˆ dom arctan โ†” (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  -i โˆง ๐ด โ‰  i))

Proof of Theorem atandm
StepHypRef Expression
1 eldif 3925 . . 3 (๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– {-i, i}) โ†” (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐ด โˆˆ {-i, i}))
2 elprg 4612 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด โˆˆ {-i, i} โ†” (๐ด = -i โˆจ ๐ด = i)))
32notbid 318 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (ยฌ ๐ด โˆˆ {-i, i} โ†” ยฌ (๐ด = -i โˆจ ๐ด = i)))
4 neanior 3038 . . . . 5 ((๐ด โ‰  -i โˆง ๐ด โ‰  i) โ†” ยฌ (๐ด = -i โˆจ ๐ด = i))
53, 4bitr4di 289 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (ยฌ ๐ด โˆˆ {-i, i} โ†” (๐ด โ‰  -i โˆง ๐ด โ‰  i)))
65pm5.32i 576 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐ด โˆˆ {-i, i}) โ†” (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ด โ‰  -i โˆง ๐ด โ‰  i)))
71, 6bitri 275 . 2 (๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– {-i, i}) โ†” (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ด โ‰  -i โˆง ๐ด โ‰  i)))
8 ovex 7395 . . . 4 ((i / 2) ยท ((logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐‘ฅ))) โˆ’ (logโ€˜(1 + (i ยท ๐‘ฅ))))) โˆˆ V
9 df-atan 26233 . . . 4 arctan = (๐‘ฅ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {-i, i}) โ†ฆ ((i / 2) ยท ((logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐‘ฅ))) โˆ’ (logโ€˜(1 + (i ยท ๐‘ฅ))))))
108, 9dmmpti 6650 . . 3 dom arctan = (โ„‚ โˆ– {-i, i})
1110eleq2i 2830 . 2 (๐ด โˆˆ dom arctan โ†” ๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– {-i, i}))
12 3anass 1096 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  -i โˆง ๐ด โ‰  i) โ†” (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ด โ‰  -i โˆง ๐ด โ‰  i)))
137, 11, 123bitr4i 303 1 (๐ด โˆˆ dom arctan โ†” (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  -i โˆง ๐ด โ‰  i))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2944   โˆ– cdif 3912  {cpr 4593  dom cdm 5638  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  โ„‚cc 11056  1c1 11059  ici 11060   + caddc 11061   ยท cmul 11063   โˆ’ cmin 11392  -cneg 11393   / cdiv 11819  2c2 12215  logclog 25926  arctancatan 26230
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pr 5389
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3411  df-v 3450  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-fv 6509  df-ov 7365  df-atan 26233
This theorem is referenced by:  atandm2  26243  atandm3  26244  atancj  26276  2efiatan  26284  tanatan  26285  dvatan  26301
  Copyright terms: Public domain W3C validator