MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  atandm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atandm 26178
Description: Since the property is a little lengthy, we abbreviate 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ -i ∧ 𝐴 ≠ i as 𝐴 ∈ dom arctan. This is the necessary precondition for the definition of arctan to make sense. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
atandm (𝐴 ∈ dom arctan ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ -i ∧ 𝐴 ≠ i))

Proof of Theorem atandm
StepHypRef Expression
1 eldif 3919 . . 3 (𝐴 ∈ (ℂ ∖ {-i, i}) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝐴 ∈ {-i, i}))
2 elprg 4606 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ {-i, i} ↔ (𝐴 = -i ∨ 𝐴 = i)))
32notbid 318 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (¬ 𝐴 ∈ {-i, i} ↔ ¬ (𝐴 = -i ∨ 𝐴 = i)))
4 neanior 3036 . . . . 5 ((𝐴 ≠ -i ∧ 𝐴 ≠ i) ↔ ¬ (𝐴 = -i ∨ 𝐴 = i))
53, 4bitr4di 289 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (¬ 𝐴 ∈ {-i, i} ↔ (𝐴 ≠ -i ∧ 𝐴 ≠ i)))
65pm5.32i 576 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝐴 ∈ {-i, i}) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ≠ -i ∧ 𝐴 ≠ i)))
71, 6bitri 275 . 2 (𝐴 ∈ (ℂ ∖ {-i, i}) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ≠ -i ∧ 𝐴 ≠ i)))
8 ovex 7385 . . . 4 ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝑥))) − (log‘(1 + (i · 𝑥))))) ∈ V
9 df-atan 26169 . . . 4 arctan = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {-i, i}) ↦ ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝑥))) − (log‘(1 + (i · 𝑥))))))
108, 9dmmpti 6643 . . 3 dom arctan = (ℂ ∖ {-i, i})
1110eleq2i 2830 . 2 (𝐴 ∈ dom arctan ↔ 𝐴 ∈ (ℂ ∖ {-i, i}))
12 3anass 1096 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ -i ∧ 𝐴 ≠ i) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ≠ -i ∧ 𝐴 ≠ i)))
137, 11, 123bitr4i 303 1 (𝐴 ∈ dom arctan ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ -i ∧ 𝐴 ≠ i))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 205  wa 397  wo 846  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2942  cdif 3906  {cpr 4587  dom cdm 5632  cfv 6494  (class class class)co 7352  cc 11008  1c1 11011  ici 11012   + caddc 11013   · cmul 11015  cmin 11344  -cneg 11345   / cdiv 11771  2c2 12167  logclog 25862  arctancatan 26166
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pr 5383
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rab 3407  df-v 3446  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-id 5530  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-fv 6502  df-ov 7355  df-atan 26169
This theorem is referenced by:  atandm2  26179  atandm3  26180  atancj  26212  2efiatan  26220  tanatan  26221  dvatan  26237
  Copyright terms: Public domain W3C validator