Theorem atandm 27204

Description: Since the property is a little lengthy, we abbreviate 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ -i ∧ 𝐴 ≠ i as 𝐴 ∈ dom arctan. This is the necessary precondition for the definition of arctan to make sense. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
atandm	⊢ (𝐴 ∈ dom arctan ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ -i ∧ 𝐴 ≠ i))

Proof of Theorem atandm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 4049	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ { -i, i}) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝐴 ∈ { -i, i}))
2		elprg 4606	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ { -i, i} ↔ (𝐴 = -i ∨ 𝐴 = i)))
3	2	notbid 321	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (¬ 𝐴 ∈ { -i, i} ↔ ¬ (𝐴 = -i ∨ 𝐴 = i)))
4		neanior 3048	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≠ -i ∧ 𝐴 ≠ i) ↔ ¬ (𝐴 = -i ∨ 𝐴 = i))
5	3, 4	bitr4di 292	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (¬ 𝐴 ∈ { -i, i} ↔ (𝐴 ≠ -i ∧ 𝐴 ≠ i)))
6	5	pm5.32i 585	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝐴 ∈ { -i, i}) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ≠ -i ∧ 𝐴 ≠ i)))
7	1, 6	bitri 278	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ { -i, i}) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ≠ -i ∧ 𝐴 ≠ i)))
8		ovex 7453	. . . 4 ⊢ ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝑥))) − (log‘(1 + (i · 𝑥))))) ∈ V
9		df-atan 27195	. . . 4 ⊢ arctan = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ { -i, i}) ↦ ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝑥))) − (log‘(1 + (i · 𝑥))))))
10	8, 9	dmmpti 6683	. . 3 ⊢ dom arctan = (ℂ ∖ { -i, i})
11	10	eleq2i 2852	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan ↔ 𝐴 ∈ (ℂ ∖ { -i, i}))
12		3anass 1111	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ -i ∧ 𝐴 ≠ i) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ≠ -i ∧ 𝐴 ≠ i)))
13	7, 11, 12	3bitr4i 306	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ -i ∧ 𝐴 ≠ i))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   ∖ cdif 4045  {cpr 4585  dom cdm 5650  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11198  1c1 11201  ici 11202   + caddc 11203   · cmul 11205   − cmin 11541   -cneg 11542   / cdiv 11973  2c2 12397  logclog 26882  arctancatan 27192

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-fv 6546  df-ov 7423  df-atan 27195

This theorem is used by:  atandm2  27205  atandm3  27206  atancj  27238  2efiatan  27246  tanatan  27247  dvatan  27263