![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > atandm | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Since the property is a little lengthy, we abbreviate ๐ด โ โ โง ๐ด โ -i โง ๐ด โ i as ๐ด โ dom arctan. This is the necessary precondition for the definition of arctan to make sense. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.) |
Ref | Expression |
---|---|
atandm | โข (๐ด โ dom arctan โ (๐ด โ โ โง ๐ด โ -i โง ๐ด โ i)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | eldif 3953 | . . 3 โข (๐ด โ (โ โ {-i, i}) โ (๐ด โ โ โง ยฌ ๐ด โ {-i, i})) | |
2 | elprg 4644 | . . . . . 6 โข (๐ด โ โ โ (๐ด โ {-i, i} โ (๐ด = -i โจ ๐ด = i))) | |
3 | 2 | notbid 318 | . . . . 5 โข (๐ด โ โ โ (ยฌ ๐ด โ {-i, i} โ ยฌ (๐ด = -i โจ ๐ด = i))) |
4 | neanior 3029 | . . . . 5 โข ((๐ด โ -i โง ๐ด โ i) โ ยฌ (๐ด = -i โจ ๐ด = i)) | |
5 | 3, 4 | bitr4di 289 | . . . 4 โข (๐ด โ โ โ (ยฌ ๐ด โ {-i, i} โ (๐ด โ -i โง ๐ด โ i))) |
6 | 5 | pm5.32i 574 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ยฌ ๐ด โ {-i, i}) โ (๐ด โ โ โง (๐ด โ -i โง ๐ด โ i))) |
7 | 1, 6 | bitri 275 | . 2 โข (๐ด โ (โ โ {-i, i}) โ (๐ด โ โ โง (๐ด โ -i โง ๐ด โ i))) |
8 | ovex 7437 | . . . 4 โข ((i / 2) ยท ((logโ(1 โ (i ยท ๐ฅ))) โ (logโ(1 + (i ยท ๐ฅ))))) โ V | |
9 | df-atan 26750 | . . . 4 โข arctan = (๐ฅ โ (โ โ {-i, i}) โฆ ((i / 2) ยท ((logโ(1 โ (i ยท ๐ฅ))) โ (logโ(1 + (i ยท ๐ฅ)))))) | |
10 | 8, 9 | dmmpti 6687 | . . 3 โข dom arctan = (โ โ {-i, i}) |
11 | 10 | eleq2i 2819 | . 2 โข (๐ด โ dom arctan โ ๐ด โ (โ โ {-i, i})) |
12 | 3anass 1092 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง ๐ด โ -i โง ๐ด โ i) โ (๐ด โ โ โง (๐ด โ -i โง ๐ด โ i))) | |
13 | 7, 11, 12 | 3bitr4i 303 | 1 โข (๐ด โ dom arctan โ (๐ด โ โ โง ๐ด โ -i โง ๐ด โ i)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ยฌ wn 3 โ wb 205 โง wa 395 โจ wo 844 โง w3a 1084 = wceq 1533 โ wcel 2098 โ wne 2934 โ cdif 3940 {cpr 4625 dom cdm 5669 โcfv 6536 (class class class)co 7404 โcc 11107 1c1 11110 ici 11111 + caddc 11112 ยท cmul 11114 โ cmin 11445 -cneg 11446 / cdiv 11872 2c2 12268 logclog 26439 arctancatan 26747 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2697 ax-sep 5292 ax-nul 5299 ax-pr 5420 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2704 df-cleq 2718 df-clel 2804 df-nfc 2879 df-ne 2935 df-ral 3056 df-rex 3065 df-rab 3427 df-v 3470 df-dif 3946 df-un 3948 df-in 3950 df-ss 3960 df-nul 4318 df-if 4524 df-sn 4624 df-pr 4626 df-op 4630 df-uni 4903 df-br 5142 df-opab 5204 df-mpt 5225 df-id 5567 df-xp 5675 df-rel 5676 df-cnv 5677 df-co 5678 df-dm 5679 df-iota 6488 df-fun 6538 df-fn 6539 df-fv 6544 df-ov 7407 df-atan 26750 |
This theorem is referenced by: atandm2 26760 atandm3 26761 atancj 26793 2efiatan 26801 tanatan 26802 dvatan 26818 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |