MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  atandm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atandm 26759
Description: Since the property is a little lengthy, we abbreviate ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  -i โˆง ๐ด โ‰  i as ๐ด โˆˆ dom arctan. This is the necessary precondition for the definition of arctan to make sense. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
atandm (๐ด โˆˆ dom arctan โ†” (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  -i โˆง ๐ด โ‰  i))

Proof of Theorem atandm
StepHypRef Expression
1 eldif 3953 . . 3 (๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– {-i, i}) โ†” (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐ด โˆˆ {-i, i}))
2 elprg 4644 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด โˆˆ {-i, i} โ†” (๐ด = -i โˆจ ๐ด = i)))
32notbid 318 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (ยฌ ๐ด โˆˆ {-i, i} โ†” ยฌ (๐ด = -i โˆจ ๐ด = i)))
4 neanior 3029 . . . . 5 ((๐ด โ‰  -i โˆง ๐ด โ‰  i) โ†” ยฌ (๐ด = -i โˆจ ๐ด = i))
53, 4bitr4di 289 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (ยฌ ๐ด โˆˆ {-i, i} โ†” (๐ด โ‰  -i โˆง ๐ด โ‰  i)))
65pm5.32i 574 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐ด โˆˆ {-i, i}) โ†” (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ด โ‰  -i โˆง ๐ด โ‰  i)))
71, 6bitri 275 . 2 (๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– {-i, i}) โ†” (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ด โ‰  -i โˆง ๐ด โ‰  i)))
8 ovex 7437 . . . 4 ((i / 2) ยท ((logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐‘ฅ))) โˆ’ (logโ€˜(1 + (i ยท ๐‘ฅ))))) โˆˆ V
9 df-atan 26750 . . . 4 arctan = (๐‘ฅ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {-i, i}) โ†ฆ ((i / 2) ยท ((logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐‘ฅ))) โˆ’ (logโ€˜(1 + (i ยท ๐‘ฅ))))))
108, 9dmmpti 6687 . . 3 dom arctan = (โ„‚ โˆ– {-i, i})
1110eleq2i 2819 . 2 (๐ด โˆˆ dom arctan โ†” ๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– {-i, i}))
12 3anass 1092 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  -i โˆง ๐ด โ‰  i) โ†” (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ด โ‰  -i โˆง ๐ด โ‰  i)))
137, 11, 123bitr4i 303 1 (๐ด โˆˆ dom arctan โ†” (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  -i โˆง ๐ด โ‰  i))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆจ wo 844   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2934   โˆ– cdif 3940  {cpr 4625  dom cdm 5669  โ€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  โ„‚cc 11107  1c1 11110  ici 11111   + caddc 11112   ยท cmul 11114   โˆ’ cmin 11445  -cneg 11446   / cdiv 11872  2c2 12268  logclog 26439  arctancatan 26747
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-fv 6544  df-ov 7407  df-atan 26750
This theorem is referenced by:  atandm2  26760  atandm3  26761  atancj  26793  2efiatan  26801  tanatan  26802  dvatan  26818
  Copyright terms: Public domain W3C validator