![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > atandm | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Since the property is a little lengthy, we abbreviate ๐ด โ โ โง ๐ด โ -i โง ๐ด โ i as ๐ด โ dom arctan. This is the necessary precondition for the definition of arctan to make sense. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.) |
Ref | Expression |
---|---|
atandm | โข (๐ด โ dom arctan โ (๐ด โ โ โง ๐ด โ -i โง ๐ด โ i)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | eldif 3957 | . . 3 โข (๐ด โ (โ โ {-i, i}) โ (๐ด โ โ โง ยฌ ๐ด โ {-i, i})) | |
2 | elprg 4650 | . . . . . 6 โข (๐ด โ โ โ (๐ด โ {-i, i} โ (๐ด = -i โจ ๐ด = i))) | |
3 | 2 | notbid 318 | . . . . 5 โข (๐ด โ โ โ (ยฌ ๐ด โ {-i, i} โ ยฌ (๐ด = -i โจ ๐ด = i))) |
4 | neanior 3032 | . . . . 5 โข ((๐ด โ -i โง ๐ด โ i) โ ยฌ (๐ด = -i โจ ๐ด = i)) | |
5 | 3, 4 | bitr4di 289 | . . . 4 โข (๐ด โ โ โ (ยฌ ๐ด โ {-i, i} โ (๐ด โ -i โง ๐ด โ i))) |
6 | 5 | pm5.32i 574 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ยฌ ๐ด โ {-i, i}) โ (๐ด โ โ โง (๐ด โ -i โง ๐ด โ i))) |
7 | 1, 6 | bitri 275 | . 2 โข (๐ด โ (โ โ {-i, i}) โ (๐ด โ โ โง (๐ด โ -i โง ๐ด โ i))) |
8 | ovex 7453 | . . . 4 โข ((i / 2) ยท ((logโ(1 โ (i ยท ๐ฅ))) โ (logโ(1 + (i ยท ๐ฅ))))) โ V | |
9 | df-atan 26812 | . . . 4 โข arctan = (๐ฅ โ (โ โ {-i, i}) โฆ ((i / 2) ยท ((logโ(1 โ (i ยท ๐ฅ))) โ (logโ(1 + (i ยท ๐ฅ)))))) | |
10 | 8, 9 | dmmpti 6699 | . . 3 โข dom arctan = (โ โ {-i, i}) |
11 | 10 | eleq2i 2821 | . 2 โข (๐ด โ dom arctan โ ๐ด โ (โ โ {-i, i})) |
12 | 3anass 1093 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง ๐ด โ -i โง ๐ด โ i) โ (๐ด โ โ โง (๐ด โ -i โง ๐ด โ i))) | |
13 | 7, 11, 12 | 3bitr4i 303 | 1 โข (๐ด โ dom arctan โ (๐ด โ โ โง ๐ด โ -i โง ๐ด โ i)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ยฌ wn 3 โ wb 205 โง wa 395 โจ wo 846 โง w3a 1085 = wceq 1534 โ wcel 2099 โ wne 2937 โ cdif 3944 {cpr 4631 dom cdm 5678 โcfv 6548 (class class class)co 7420 โcc 11137 1c1 11140 ici 11141 + caddc 11142 ยท cmul 11144 โ cmin 11475 -cneg 11476 / cdiv 11902 2c2 12298 logclog 26501 arctancatan 26809 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1790 ax-4 1804 ax-5 1906 ax-6 1964 ax-7 2004 ax-8 2101 ax-9 2109 ax-10 2130 ax-11 2147 ax-12 2167 ax-ext 2699 ax-sep 5299 ax-nul 5306 ax-pr 5429 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 847 df-3an 1087 df-tru 1537 df-fal 1547 df-ex 1775 df-nf 1779 df-sb 2061 df-mo 2530 df-eu 2559 df-clab 2706 df-cleq 2720 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ne 2938 df-ral 3059 df-rex 3068 df-rab 3430 df-v 3473 df-dif 3950 df-un 3952 df-in 3954 df-ss 3964 df-nul 4324 df-if 4530 df-sn 4630 df-pr 4632 df-op 4636 df-uni 4909 df-br 5149 df-opab 5211 df-mpt 5232 df-id 5576 df-xp 5684 df-rel 5685 df-cnv 5686 df-co 5687 df-dm 5688 df-iota 6500 df-fun 6550 df-fn 6551 df-fv 6556 df-ov 7423 df-atan 26812 |
This theorem is referenced by: atandm2 26822 atandm3 26823 atancj 26855 2efiatan 26863 tanatan 26864 dvatan 26880 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |