![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > atandm | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Since the property is a little lengthy, we abbreviate ๐ด โ โ โง ๐ด โ -i โง ๐ด โ i as ๐ด โ dom arctan. This is the necessary precondition for the definition of arctan to make sense. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.) |
Ref | Expression |
---|---|
atandm | โข (๐ด โ dom arctan โ (๐ด โ โ โง ๐ด โ -i โง ๐ด โ i)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | eldif 3925 | . . 3 โข (๐ด โ (โ โ {-i, i}) โ (๐ด โ โ โง ยฌ ๐ด โ {-i, i})) | |
2 | elprg 4612 | . . . . . 6 โข (๐ด โ โ โ (๐ด โ {-i, i} โ (๐ด = -i โจ ๐ด = i))) | |
3 | 2 | notbid 318 | . . . . 5 โข (๐ด โ โ โ (ยฌ ๐ด โ {-i, i} โ ยฌ (๐ด = -i โจ ๐ด = i))) |
4 | neanior 3038 | . . . . 5 โข ((๐ด โ -i โง ๐ด โ i) โ ยฌ (๐ด = -i โจ ๐ด = i)) | |
5 | 3, 4 | bitr4di 289 | . . . 4 โข (๐ด โ โ โ (ยฌ ๐ด โ {-i, i} โ (๐ด โ -i โง ๐ด โ i))) |
6 | 5 | pm5.32i 576 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ยฌ ๐ด โ {-i, i}) โ (๐ด โ โ โง (๐ด โ -i โง ๐ด โ i))) |
7 | 1, 6 | bitri 275 | . 2 โข (๐ด โ (โ โ {-i, i}) โ (๐ด โ โ โง (๐ด โ -i โง ๐ด โ i))) |
8 | ovex 7395 | . . . 4 โข ((i / 2) ยท ((logโ(1 โ (i ยท ๐ฅ))) โ (logโ(1 + (i ยท ๐ฅ))))) โ V | |
9 | df-atan 26233 | . . . 4 โข arctan = (๐ฅ โ (โ โ {-i, i}) โฆ ((i / 2) ยท ((logโ(1 โ (i ยท ๐ฅ))) โ (logโ(1 + (i ยท ๐ฅ)))))) | |
10 | 8, 9 | dmmpti 6650 | . . 3 โข dom arctan = (โ โ {-i, i}) |
11 | 10 | eleq2i 2830 | . 2 โข (๐ด โ dom arctan โ ๐ด โ (โ โ {-i, i})) |
12 | 3anass 1096 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง ๐ด โ -i โง ๐ด โ i) โ (๐ด โ โ โง (๐ด โ -i โง ๐ด โ i))) | |
13 | 7, 11, 12 | 3bitr4i 303 | 1 โข (๐ด โ dom arctan โ (๐ด โ โ โง ๐ด โ -i โง ๐ด โ i)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ยฌ wn 3 โ wb 205 โง wa 397 โจ wo 846 โง w3a 1088 = wceq 1542 โ wcel 2107 โ wne 2944 โ cdif 3912 {cpr 4593 dom cdm 5638 โcfv 6501 (class class class)co 7362 โcc 11056 1c1 11059 ici 11060 + caddc 11061 ยท cmul 11063 โ cmin 11392 -cneg 11393 / cdiv 11819 2c2 12215 logclog 25926 arctancatan 26230 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2708 ax-sep 5261 ax-nul 5268 ax-pr 5389 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2539 df-eu 2568 df-clab 2715 df-cleq 2729 df-clel 2815 df-nfc 2890 df-ne 2945 df-ral 3066 df-rex 3075 df-rab 3411 df-v 3450 df-dif 3918 df-un 3920 df-in 3922 df-ss 3932 df-nul 4288 df-if 4492 df-sn 4592 df-pr 4594 df-op 4598 df-uni 4871 df-br 5111 df-opab 5173 df-mpt 5194 df-id 5536 df-xp 5644 df-rel 5645 df-cnv 5646 df-co 5647 df-dm 5648 df-iota 6453 df-fun 6503 df-fn 6504 df-fv 6509 df-ov 7365 df-atan 26233 |
This theorem is referenced by: atandm2 26243 atandm3 26244 atancj 26276 2efiatan 26284 tanatan 26285 dvatan 26301 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |