MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  atandm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atandm 26821
Description: Since the property is a little lengthy, we abbreviate ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  -i โˆง ๐ด โ‰  i as ๐ด โˆˆ dom arctan. This is the necessary precondition for the definition of arctan to make sense. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
atandm (๐ด โˆˆ dom arctan โ†” (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  -i โˆง ๐ด โ‰  i))

Proof of Theorem atandm
StepHypRef Expression
1 eldif 3957 . . 3 (๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– {-i, i}) โ†” (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐ด โˆˆ {-i, i}))
2 elprg 4650 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด โˆˆ {-i, i} โ†” (๐ด = -i โˆจ ๐ด = i)))
32notbid 318 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (ยฌ ๐ด โˆˆ {-i, i} โ†” ยฌ (๐ด = -i โˆจ ๐ด = i)))
4 neanior 3032 . . . . 5 ((๐ด โ‰  -i โˆง ๐ด โ‰  i) โ†” ยฌ (๐ด = -i โˆจ ๐ด = i))
53, 4bitr4di 289 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (ยฌ ๐ด โˆˆ {-i, i} โ†” (๐ด โ‰  -i โˆง ๐ด โ‰  i)))
65pm5.32i 574 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ ๐ด โˆˆ {-i, i}) โ†” (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ด โ‰  -i โˆง ๐ด โ‰  i)))
71, 6bitri 275 . 2 (๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– {-i, i}) โ†” (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ด โ‰  -i โˆง ๐ด โ‰  i)))
8 ovex 7453 . . . 4 ((i / 2) ยท ((logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐‘ฅ))) โˆ’ (logโ€˜(1 + (i ยท ๐‘ฅ))))) โˆˆ V
9 df-atan 26812 . . . 4 arctan = (๐‘ฅ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {-i, i}) โ†ฆ ((i / 2) ยท ((logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐‘ฅ))) โˆ’ (logโ€˜(1 + (i ยท ๐‘ฅ))))))
108, 9dmmpti 6699 . . 3 dom arctan = (โ„‚ โˆ– {-i, i})
1110eleq2i 2821 . 2 (๐ด โˆˆ dom arctan โ†” ๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– {-i, i}))
12 3anass 1093 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  -i โˆง ๐ด โ‰  i) โ†” (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ด โ‰  -i โˆง ๐ด โ‰  i)))
137, 11, 123bitr4i 303 1 (๐ด โˆˆ dom arctan โ†” (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  -i โˆง ๐ด โ‰  i))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆจ wo 846   โˆง w3a 1085   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099   โ‰  wne 2937   โˆ– cdif 3944  {cpr 4631  dom cdm 5678  โ€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  โ„‚cc 11137  1c1 11140  ici 11141   + caddc 11142   ยท cmul 11144   โˆ’ cmin 11475  -cneg 11476   / cdiv 11902  2c2 12298  logclog 26501  arctancatan 26809
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5429
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3430  df-v 3473  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-fv 6556  df-ov 7423  df-atan 26812
This theorem is referenced by:  atandm2  26822  atandm3  26823  atancj  26855  2efiatan  26863  tanatan  26864  dvatan  26880
  Copyright terms: Public domain W3C validator