Theorem atandm2 26787

Description: This form of atandm 26786 is a bit more useful for showing that the logarithms in df-atan 26777 are well-defined. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
atandm2	⊢ (𝐴 ∈ dom arctan ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0))

Proof of Theorem atandm2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		atandm 26786	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ -i ∧ 𝐴 ≠ i))
2		3anass 1094	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ((1 − (i · 𝐴)) ≠ 0 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0)))
3		ax-1cn 11126	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
4		ax-icn 11127	. . . . . . . . . . 11 ⊢ i ∈ ℂ
5		mulcl 11152	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
6	4, 5	mpan 690	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
7		subeq0 11448	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → ((1 − (i · 𝐴)) = 0 ↔ 1 = (i · 𝐴)))
8	3, 6, 7	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 − (i · 𝐴)) = 0 ↔ 1 = (i · 𝐴)))
9	4, 4	mulneg2i 11625	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (i · -i) = -(i · i)
10		ixi 11807	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (i · i) = -1
11	10	negeqi 11414	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -(i · i) = --1
12		negneg1e1 12175	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ --1 = 1
13	9, 11, 12	3eqtri 2756	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (i · -i) = 1
14	13	eqeq2i 2742	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((i · 𝐴) = (i · -i) ↔ (i · 𝐴) = 1)
15		eqcom 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((i · 𝐴) = 1 ↔ 1 = (i · 𝐴))
16	14, 15	bitri 275	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i · 𝐴) = (i · -i) ↔ 1 = (i · 𝐴))
17	8, 16	bitr4di 289	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 − (i · 𝐴)) = 0 ↔ (i · 𝐴) = (i · -i)))
18		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
19	4	negcli 11490	. . . . . . . . . 10 ⊢ -i ∈ ℂ
20	19	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -i ∈ ℂ)
21	4	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → i ∈ ℂ)
22		ine0 11613	. . . . . . . . . 10 ⊢ i ≠ 0
23	22	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → i ≠ 0)
24	18, 20, 21, 23	mulcand 11811	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴) = (i · -i) ↔ 𝐴 = -i))
25	17, 24	bitrd 279	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 − (i · 𝐴)) = 0 ↔ 𝐴 = -i))
26	25	necon3bid 2969	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 − (i · 𝐴)) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ -i))
27		addcom 11360	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (1 + (i · 𝐴)) = ((i · 𝐴) + 1))
28	3, 6, 27	sylancr 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 + (i · 𝐴)) = ((i · 𝐴) + 1))
29		subneg 11471	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((i · 𝐴) − -1) = ((i · 𝐴) + 1))
30	6, 3, 29	sylancl 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴) − -1) = ((i · 𝐴) + 1))
31	28, 30	eqtr4d 2767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 + (i · 𝐴)) = ((i · 𝐴) − -1))
32	31	eqeq1d 2731	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + (i · 𝐴)) = 0 ↔ ((i · 𝐴) − -1) = 0))
33	3	negcli 11490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -1 ∈ ℂ
34		subeq0 11448	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → (((i · 𝐴) − -1) = 0 ↔ (i · 𝐴) = -1))
35	6, 33, 34	sylancl 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((i · 𝐴) − -1) = 0 ↔ (i · 𝐴) = -1))
36	32, 35	bitrd 279	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + (i · 𝐴)) = 0 ↔ (i · 𝐴) = -1))
37	10	eqeq2i 2742	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i · 𝐴) = (i · i) ↔ (i · 𝐴) = -1)
38	36, 37	bitr4di 289	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + (i · 𝐴)) = 0 ↔ (i · 𝐴) = (i · i)))
39	18, 21, 21, 23	mulcand 11811	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴) = (i · i) ↔ 𝐴 = i))
40	38, 39	bitrd 279	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + (i · 𝐴)) = 0 ↔ 𝐴 = i))
41	40	necon3bid 2969	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + (i · 𝐴)) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ i))
42	26, 41	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((1 − (i · 𝐴)) ≠ 0 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0) ↔ (𝐴 ≠ -i ∧ 𝐴 ≠ i)))
43	42	pm5.32i 574	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((1 − (i · 𝐴)) ≠ 0 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ≠ -i ∧ 𝐴 ≠ i)))
44		3anass 1094	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ -i ∧ 𝐴 ≠ i) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ≠ -i ∧ 𝐴 ≠ i)))
45	43, 44	bitr4i 278	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((1 − (i · 𝐴)) ≠ 0 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ -i ∧ 𝐴 ≠ i))
46	2, 45	bitri 275	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ -i ∧ 𝐴 ≠ i))
47	1, 46	bitr4i 278	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  dom cdm 5638  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  0cc0 11068  1c1 11069  ici 11070   + caddc 11071   · cmul 11073   − cmin 11405  -cneg 11406  arctancatan 26774

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-atan 26777

This theorem is referenced by:  atanf  26790  atanneg  26817  atancj  26820  efiatan  26822  atanlogaddlem  26823  atanlogadd  26824  atanlogsublem  26825  atanlogsub  26826  efiatan2  26827  2efiatan  26828  atantan  26833  atanbndlem  26835  dvatan  26845  atantayl  26847