MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  atandm2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atandm2 26243
Description: This form of atandm 26242 is a bit more useful for showing that the logarithms in df-atan 26233 are well-defined. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
atandm2 (๐ด โˆˆ dom arctan โ†” (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โ‰  0 โˆง (1 + (i ยท ๐ด)) โ‰  0))

Proof of Theorem atandm2
StepHypRef Expression
1 atandm 26242 . 2 (๐ด โˆˆ dom arctan โ†” (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  -i โˆง ๐ด โ‰  i))
2 3anass 1096 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โ‰  0 โˆง (1 + (i ยท ๐ด)) โ‰  0) โ†” (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ((1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โ‰  0 โˆง (1 + (i ยท ๐ด)) โ‰  0)))
3 ax-1cn 11116 . . . . . . . . . 10 1 โˆˆ โ„‚
4 ax-icn 11117 . . . . . . . . . . 11 i โˆˆ โ„‚
5 mulcl 11142 . . . . . . . . . . 11 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
64, 5mpan 689 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
7 subeq0 11434 . . . . . . . . . 10 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) = 0 โ†” 1 = (i ยท ๐ด)))
83, 6, 7sylancr 588 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) = 0 โ†” 1 = (i ยท ๐ด)))
94, 4mulneg2i 11609 . . . . . . . . . . . 12 (i ยท -i) = -(i ยท i)
10 ixi 11791 . . . . . . . . . . . . 13 (i ยท i) = -1
1110negeqi 11401 . . . . . . . . . . . 12 -(i ยท i) = --1
12 negneg1e1 12278 . . . . . . . . . . . 12 --1 = 1
139, 11, 123eqtri 2769 . . . . . . . . . . 11 (i ยท -i) = 1
1413eqeq2i 2750 . . . . . . . . . 10 ((i ยท ๐ด) = (i ยท -i) โ†” (i ยท ๐ด) = 1)
15 eqcom 2744 . . . . . . . . . 10 ((i ยท ๐ด) = 1 โ†” 1 = (i ยท ๐ด))
1614, 15bitri 275 . . . . . . . . 9 ((i ยท ๐ด) = (i ยท -i) โ†” 1 = (i ยท ๐ด))
178, 16bitr4di 289 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) = 0 โ†” (i ยท ๐ด) = (i ยท -i)))
18 id 22 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
194negcli 11476 . . . . . . . . . 10 -i โˆˆ โ„‚
2019a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ -i โˆˆ โ„‚)
214a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ i โˆˆ โ„‚)
22 ine0 11597 . . . . . . . . . 10 i โ‰  0
2322a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ i โ‰  0)
2418, 20, 21, 23mulcand 11795 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((i ยท ๐ด) = (i ยท -i) โ†” ๐ด = -i))
2517, 24bitrd 279 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) = 0 โ†” ๐ด = -i))
2625necon3bid 2989 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โ‰  0 โ†” ๐ด โ‰  -i))
27 addcom 11348 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 + (i ยท ๐ด)) = ((i ยท ๐ด) + 1))
283, 6, 27sylancr 588 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (1 + (i ยท ๐ด)) = ((i ยท ๐ด) + 1))
29 subneg 11457 . . . . . . . . . . . . 13 (((i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((i ยท ๐ด) โˆ’ -1) = ((i ยท ๐ด) + 1))
306, 3, 29sylancl 587 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((i ยท ๐ด) โˆ’ -1) = ((i ยท ๐ด) + 1))
3128, 30eqtr4d 2780 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (1 + (i ยท ๐ด)) = ((i ยท ๐ด) โˆ’ -1))
3231eqeq1d 2739 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((1 + (i ยท ๐ด)) = 0 โ†” ((i ยท ๐ด) โˆ’ -1) = 0))
333negcli 11476 . . . . . . . . . . 11 -1 โˆˆ โ„‚
34 subeq0 11434 . . . . . . . . . . 11 (((i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง -1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (((i ยท ๐ด) โˆ’ -1) = 0 โ†” (i ยท ๐ด) = -1))
356, 33, 34sylancl 587 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (((i ยท ๐ด) โˆ’ -1) = 0 โ†” (i ยท ๐ด) = -1))
3632, 35bitrd 279 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((1 + (i ยท ๐ด)) = 0 โ†” (i ยท ๐ด) = -1))
3710eqeq2i 2750 . . . . . . . . 9 ((i ยท ๐ด) = (i ยท i) โ†” (i ยท ๐ด) = -1)
3836, 37bitr4di 289 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((1 + (i ยท ๐ด)) = 0 โ†” (i ยท ๐ด) = (i ยท i)))
3918, 21, 21, 23mulcand 11795 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((i ยท ๐ด) = (i ยท i) โ†” ๐ด = i))
4038, 39bitrd 279 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((1 + (i ยท ๐ด)) = 0 โ†” ๐ด = i))
4140necon3bid 2989 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((1 + (i ยท ๐ด)) โ‰  0 โ†” ๐ด โ‰  i))
4226, 41anbi12d 632 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (((1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โ‰  0 โˆง (1 + (i ยท ๐ด)) โ‰  0) โ†” (๐ด โ‰  -i โˆง ๐ด โ‰  i)))
4342pm5.32i 576 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ((1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โ‰  0 โˆง (1 + (i ยท ๐ด)) โ‰  0)) โ†” (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ด โ‰  -i โˆง ๐ด โ‰  i)))
44 3anass 1096 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  -i โˆง ๐ด โ‰  i) โ†” (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ด โ‰  -i โˆง ๐ด โ‰  i)))
4543, 44bitr4i 278 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ((1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โ‰  0 โˆง (1 + (i ยท ๐ด)) โ‰  0)) โ†” (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  -i โˆง ๐ด โ‰  i))
462, 45bitri 275 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โ‰  0 โˆง (1 + (i ยท ๐ด)) โ‰  0) โ†” (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  -i โˆง ๐ด โ‰  i))
471, 46bitr4i 278 1 (๐ด โˆˆ dom arctan โ†” (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โ‰  0 โˆง (1 + (i ยท ๐ด)) โ‰  0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2944  dom cdm 5638  (class class class)co 7362  โ„‚cc 11056  0cc0 11058  1c1 11059  ici 11060   + caddc 11061   ยท cmul 11063   โˆ’ cmin 11392  -cneg 11393  arctancatan 26230
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-po 5550  df-so 5551  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-atan 26233
This theorem is referenced by:  atanf  26246  atanneg  26273  atancj  26276  efiatan  26278  atanlogaddlem  26279  atanlogadd  26280  atanlogsublem  26281  atanlogsub  26282  efiatan2  26283  2efiatan  26284  atantan  26289  atanbndlem  26291  dvatan  26301  atantayl  26303
  Copyright terms: Public domain W3C validator