MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  atandm2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atandm2 26920
Description: This form of atandm 26919 is a bit more useful for showing that the logarithms in df-atan 26910 are well-defined. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
atandm2 (𝐴 ∈ dom arctan ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0))

Proof of Theorem atandm2
StepHypRef Expression
1 atandm 26919 . 2 (𝐴 ∈ dom arctan ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ -i ∧ 𝐴 ≠ i))
2 3anass 1095 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ((1 − (i · 𝐴)) ≠ 0 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0)))
3 ax-1cn 11213 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
4 ax-icn 11214 . . . . . . . . . . 11 i ∈ ℂ
5 mulcl 11239 . . . . . . . . . . 11 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
64, 5mpan 690 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
7 subeq0 11535 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → ((1 − (i · 𝐴)) = 0 ↔ 1 = (i · 𝐴)))
83, 6, 7sylancr 587 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → ((1 − (i · 𝐴)) = 0 ↔ 1 = (i · 𝐴)))
94, 4mulneg2i 11710 . . . . . . . . . . . 12 (i · -i) = -(i · i)
10 ixi 11892 . . . . . . . . . . . . 13 (i · i) = -1
1110negeqi 11501 . . . . . . . . . . . 12 -(i · i) = --1
12 negneg1e1 12384 . . . . . . . . . . . 12 --1 = 1
139, 11, 123eqtri 2769 . . . . . . . . . . 11 (i · -i) = 1
1413eqeq2i 2750 . . . . . . . . . 10 ((i · 𝐴) = (i · -i) ↔ (i · 𝐴) = 1)
15 eqcom 2744 . . . . . . . . . 10 ((i · 𝐴) = 1 ↔ 1 = (i · 𝐴))
1614, 15bitri 275 . . . . . . . . 9 ((i · 𝐴) = (i · -i) ↔ 1 = (i · 𝐴))
178, 16bitr4di 289 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → ((1 − (i · 𝐴)) = 0 ↔ (i · 𝐴) = (i · -i)))
18 id 22 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
194negcli 11577 . . . . . . . . . 10 -i ∈ ℂ
2019a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → -i ∈ ℂ)
214a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → i ∈ ℂ)
22 ine0 11698 . . . . . . . . . 10 i ≠ 0
2322a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → i ≠ 0)
2418, 20, 21, 23mulcand 11896 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴) = (i · -i) ↔ 𝐴 = -i))
2517, 24bitrd 279 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((1 − (i · 𝐴)) = 0 ↔ 𝐴 = -i))
2625necon3bid 2985 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((1 − (i · 𝐴)) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ -i))
27 addcom 11447 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (1 + (i · 𝐴)) = ((i · 𝐴) + 1))
283, 6, 27sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℂ → (1 + (i · 𝐴)) = ((i · 𝐴) + 1))
29 subneg 11558 . . . . . . . . . . . . 13 (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((i · 𝐴) − -1) = ((i · 𝐴) + 1))
306, 3, 29sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴) − -1) = ((i · 𝐴) + 1))
3128, 30eqtr4d 2780 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℂ → (1 + (i · 𝐴)) = ((i · 𝐴) − -1))
3231eqeq1d 2739 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + (i · 𝐴)) = 0 ↔ ((i · 𝐴) − -1) = 0))
333negcli 11577 . . . . . . . . . . 11 -1 ∈ ℂ
34 subeq0 11535 . . . . . . . . . . 11 (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → (((i · 𝐴) − -1) = 0 ↔ (i · 𝐴) = -1))
356, 33, 34sylancl 586 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → (((i · 𝐴) − -1) = 0 ↔ (i · 𝐴) = -1))
3632, 35bitrd 279 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + (i · 𝐴)) = 0 ↔ (i · 𝐴) = -1))
3710eqeq2i 2750 . . . . . . . . 9 ((i · 𝐴) = (i · i) ↔ (i · 𝐴) = -1)
3836, 37bitr4di 289 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + (i · 𝐴)) = 0 ↔ (i · 𝐴) = (i · i)))
3918, 21, 21, 23mulcand 11896 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴) = (i · i) ↔ 𝐴 = i))
4038, 39bitrd 279 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + (i · 𝐴)) = 0 ↔ 𝐴 = i))
4140necon3bid 2985 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + (i · 𝐴)) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ i))
4226, 41anbi12d 632 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (((1 − (i · 𝐴)) ≠ 0 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0) ↔ (𝐴 ≠ -i ∧ 𝐴 ≠ i)))
4342pm5.32i 574 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((1 − (i · 𝐴)) ≠ 0 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ≠ -i ∧ 𝐴 ≠ i)))
44 3anass 1095 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ -i ∧ 𝐴 ≠ i) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ≠ -i ∧ 𝐴 ≠ i)))
4543, 44bitr4i 278 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((1 − (i · 𝐴)) ≠ 0 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ -i ∧ 𝐴 ≠ i))
462, 45bitri 275 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ -i ∧ 𝐴 ≠ i))
471, 46bitr4i 278 1 (𝐴 ∈ dom arctan ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  dom cdm 5685  (class class class)co 7431  cc 11153  0cc0 11155  1c1 11156  ici 11157   + caddc 11158   · cmul 11160  cmin 11492  -cneg 11493  arctancatan 26907
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-atan 26910
This theorem is referenced by:  atanf  26923  atanneg  26950  atancj  26953  efiatan  26955  atanlogaddlem  26956  atanlogadd  26957  atanlogsublem  26958  atanlogsub  26959  efiatan2  26960  2efiatan  26961  atantan  26966  atanbndlem  26968  dvatan  26978  atantayl  26980
  Copyright terms: Public domain W3C validator