Theorem atandm2 26025

Description: This form of atandm 26024 is a bit more useful for showing that the logarithms in df-atan 26015 are well-defined. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
atandm2	⊢ (𝐴 ∈ dom arctan ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0))

Proof of Theorem atandm2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		atandm 26024	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ -i ∧ 𝐴 ≠ i))
2		3anass 1094	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ((1 − (i · 𝐴)) ≠ 0 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0)))
3		ax-1cn 10930	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
4		ax-icn 10931	. . . . . . . . . . 11 ⊢ i ∈ ℂ
5		mulcl 10956	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
6	4, 5	mpan 687	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
7		subeq0 11247	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → ((1 − (i · 𝐴)) = 0 ↔ 1 = (i · 𝐴)))
8	3, 6, 7	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 − (i · 𝐴)) = 0 ↔ 1 = (i · 𝐴)))
9	4, 4	mulneg2i 11422	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (i · -i) = -(i · i)
10		ixi 11604	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (i · i) = -1
11	10	negeqi 11214	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -(i · i) = --1
12		negneg1e1 12091	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ --1 = 1
13	9, 11, 12	3eqtri 2772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (i · -i) = 1
14	13	eqeq2i 2753	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((i · 𝐴) = (i · -i) ↔ (i · 𝐴) = 1)
15		eqcom 2747	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((i · 𝐴) = 1 ↔ 1 = (i · 𝐴))
16	14, 15	bitri 274	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i · 𝐴) = (i · -i) ↔ 1 = (i · 𝐴))
17	8, 16	bitr4di 289	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 − (i · 𝐴)) = 0 ↔ (i · 𝐴) = (i · -i)))
18		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
19	4	negcli 11289	. . . . . . . . . 10 ⊢ -i ∈ ℂ
20	19	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -i ∈ ℂ)
21	4	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → i ∈ ℂ)
22		ine0 11410	. . . . . . . . . 10 ⊢ i ≠ 0
23	22	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → i ≠ 0)
24	18, 20, 21, 23	mulcand 11608	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴) = (i · -i) ↔ 𝐴 = -i))
25	17, 24	bitrd 278	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 − (i · 𝐴)) = 0 ↔ 𝐴 = -i))
26	25	necon3bid 2990	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 − (i · 𝐴)) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ -i))
27		addcom 11161	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (1 + (i · 𝐴)) = ((i · 𝐴) + 1))
28	3, 6, 27	sylancr 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 + (i · 𝐴)) = ((i · 𝐴) + 1))
29		subneg 11270	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((i · 𝐴) − -1) = ((i · 𝐴) + 1))
30	6, 3, 29	sylancl 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴) − -1) = ((i · 𝐴) + 1))
31	28, 30	eqtr4d 2783	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 + (i · 𝐴)) = ((i · 𝐴) − -1))
32	31	eqeq1d 2742	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + (i · 𝐴)) = 0 ↔ ((i · 𝐴) − -1) = 0))
33	3	negcli 11289	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -1 ∈ ℂ
34		subeq0 11247	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → (((i · 𝐴) − -1) = 0 ↔ (i · 𝐴) = -1))
35	6, 33, 34	sylancl 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((i · 𝐴) − -1) = 0 ↔ (i · 𝐴) = -1))
36	32, 35	bitrd 278	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + (i · 𝐴)) = 0 ↔ (i · 𝐴) = -1))
37	10	eqeq2i 2753	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i · 𝐴) = (i · i) ↔ (i · 𝐴) = -1)
38	36, 37	bitr4di 289	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + (i · 𝐴)) = 0 ↔ (i · 𝐴) = (i · i)))
39	18, 21, 21, 23	mulcand 11608	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴) = (i · i) ↔ 𝐴 = i))
40	38, 39	bitrd 278	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + (i · 𝐴)) = 0 ↔ 𝐴 = i))
41	40	necon3bid 2990	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + (i · 𝐴)) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ i))
42	26, 41	anbi12d 631	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((1 − (i · 𝐴)) ≠ 0 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0) ↔ (𝐴 ≠ -i ∧ 𝐴 ≠ i)))
43	42	pm5.32i 575	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((1 − (i · 𝐴)) ≠ 0 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ≠ -i ∧ 𝐴 ≠ i)))
44		3anass 1094	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ -i ∧ 𝐴 ≠ i) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ≠ -i ∧ 𝐴 ≠ i)))
45	43, 44	bitr4i 277	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((1 − (i · 𝐴)) ≠ 0 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ -i ∧ 𝐴 ≠ i))
46	2, 45	bitri 274	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ -i ∧ 𝐴 ≠ i))
47	1, 46	bitr4i 277	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1542   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2945  dom cdm 5590  (class class class)co 7271  ℂcc 10870  0cc0 10872  1c1 10873  ici 10874   + caddc 10875   · cmul 10877   − cmin 11205  -cneg 11206  arctancatan 26012

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-id 5490  df-po 5504  df-so 5505  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-er 8481  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-atan 26015

This theorem is referenced by:  atanf  26028  atanneg  26055  atancj  26058  efiatan  26060  atanlogaddlem  26061  atanlogadd  26062  atanlogsublem  26063  atanlogsub  26064  efiatan2  26065  2efiatan  26066  atantan  26071  atanbndlem  26073  dvatan  26083  atantayl  26085