MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  atandm2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atandm2 26934
Description: This form of atandm 26933 is a bit more useful for showing that the logarithms in df-atan 26924 are well-defined. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
atandm2 (𝐴 ∈ dom arctan ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0))

Proof of Theorem atandm2
StepHypRef Expression
1 atandm 26933 . 2 (𝐴 ∈ dom arctan ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ -i ∧ 𝐴 ≠ i))
2 3anass 1094 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ((1 − (i · 𝐴)) ≠ 0 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0)))
3 ax-1cn 11210 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
4 ax-icn 11211 . . . . . . . . . . 11 i ∈ ℂ
5 mulcl 11236 . . . . . . . . . . 11 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
64, 5mpan 690 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
7 subeq0 11532 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → ((1 − (i · 𝐴)) = 0 ↔ 1 = (i · 𝐴)))
83, 6, 7sylancr 587 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → ((1 − (i · 𝐴)) = 0 ↔ 1 = (i · 𝐴)))
94, 4mulneg2i 11707 . . . . . . . . . . . 12 (i · -i) = -(i · i)
10 ixi 11889 . . . . . . . . . . . . 13 (i · i) = -1
1110negeqi 11498 . . . . . . . . . . . 12 -(i · i) = --1
12 negneg1e1 12381 . . . . . . . . . . . 12 --1 = 1
139, 11, 123eqtri 2766 . . . . . . . . . . 11 (i · -i) = 1
1413eqeq2i 2747 . . . . . . . . . 10 ((i · 𝐴) = (i · -i) ↔ (i · 𝐴) = 1)
15 eqcom 2741 . . . . . . . . . 10 ((i · 𝐴) = 1 ↔ 1 = (i · 𝐴))
1614, 15bitri 275 . . . . . . . . 9 ((i · 𝐴) = (i · -i) ↔ 1 = (i · 𝐴))
178, 16bitr4di 289 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → ((1 − (i · 𝐴)) = 0 ↔ (i · 𝐴) = (i · -i)))
18 id 22 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
194negcli 11574 . . . . . . . . . 10 -i ∈ ℂ
2019a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → -i ∈ ℂ)
214a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → i ∈ ℂ)
22 ine0 11695 . . . . . . . . . 10 i ≠ 0
2322a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → i ≠ 0)
2418, 20, 21, 23mulcand 11893 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴) = (i · -i) ↔ 𝐴 = -i))
2517, 24bitrd 279 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((1 − (i · 𝐴)) = 0 ↔ 𝐴 = -i))
2625necon3bid 2982 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((1 − (i · 𝐴)) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ -i))
27 addcom 11444 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (1 + (i · 𝐴)) = ((i · 𝐴) + 1))
283, 6, 27sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℂ → (1 + (i · 𝐴)) = ((i · 𝐴) + 1))
29 subneg 11555 . . . . . . . . . . . . 13 (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((i · 𝐴) − -1) = ((i · 𝐴) + 1))
306, 3, 29sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴) − -1) = ((i · 𝐴) + 1))
3128, 30eqtr4d 2777 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℂ → (1 + (i · 𝐴)) = ((i · 𝐴) − -1))
3231eqeq1d 2736 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + (i · 𝐴)) = 0 ↔ ((i · 𝐴) − -1) = 0))
333negcli 11574 . . . . . . . . . . 11 -1 ∈ ℂ
34 subeq0 11532 . . . . . . . . . . 11 (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → (((i · 𝐴) − -1) = 0 ↔ (i · 𝐴) = -1))
356, 33, 34sylancl 586 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → (((i · 𝐴) − -1) = 0 ↔ (i · 𝐴) = -1))
3632, 35bitrd 279 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + (i · 𝐴)) = 0 ↔ (i · 𝐴) = -1))
3710eqeq2i 2747 . . . . . . . . 9 ((i · 𝐴) = (i · i) ↔ (i · 𝐴) = -1)
3836, 37bitr4di 289 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + (i · 𝐴)) = 0 ↔ (i · 𝐴) = (i · i)))
3918, 21, 21, 23mulcand 11893 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴) = (i · i) ↔ 𝐴 = i))
4038, 39bitrd 279 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + (i · 𝐴)) = 0 ↔ 𝐴 = i))
4140necon3bid 2982 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + (i · 𝐴)) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ i))
4226, 41anbi12d 632 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (((1 − (i · 𝐴)) ≠ 0 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0) ↔ (𝐴 ≠ -i ∧ 𝐴 ≠ i)))
4342pm5.32i 574 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((1 − (i · 𝐴)) ≠ 0 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ≠ -i ∧ 𝐴 ≠ i)))
44 3anass 1094 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ -i ∧ 𝐴 ≠ i) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ≠ -i ∧ 𝐴 ≠ i)))
4543, 44bitr4i 278 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((1 − (i · 𝐴)) ≠ 0 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ -i ∧ 𝐴 ≠ i))
462, 45bitri 275 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ -i ∧ 𝐴 ≠ i))
471, 46bitr4i 278 1 (𝐴 ∈ dom arctan ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  dom cdm 5688  (class class class)co 7430  cc 11150  0cc0 11152  1c1 11153  ici 11154   + caddc 11155   · cmul 11157  cmin 11489  -cneg 11490  arctancatan 26921
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-po 5596  df-so 5597  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-atan 26924
This theorem is referenced by:  atanf  26937  atanneg  26964  atancj  26967  efiatan  26969  atanlogaddlem  26970  atanlogadd  26971  atanlogsublem  26972  atanlogsub  26973  efiatan2  26974  2efiatan  26975  atantan  26980  atanbndlem  26982  dvatan  26992  atantayl  26994
  Copyright terms: Public domain W3C validator