MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  atandm2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atandm2 26382
Description: This form of atandm 26381 is a bit more useful for showing that the logarithms in df-atan 26372 are well-defined. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
atandm2 (๐ด โˆˆ dom arctan โ†” (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โ‰  0 โˆง (1 + (i ยท ๐ด)) โ‰  0))

Proof of Theorem atandm2
StepHypRef Expression
1 atandm 26381 . 2 (๐ด โˆˆ dom arctan โ†” (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  -i โˆง ๐ด โ‰  i))
2 3anass 1096 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โ‰  0 โˆง (1 + (i ยท ๐ด)) โ‰  0) โ†” (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ((1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โ‰  0 โˆง (1 + (i ยท ๐ด)) โ‰  0)))
3 ax-1cn 11168 . . . . . . . . . 10 1 โˆˆ โ„‚
4 ax-icn 11169 . . . . . . . . . . 11 i โˆˆ โ„‚
5 mulcl 11194 . . . . . . . . . . 11 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
64, 5mpan 689 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
7 subeq0 11486 . . . . . . . . . 10 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) = 0 โ†” 1 = (i ยท ๐ด)))
83, 6, 7sylancr 588 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) = 0 โ†” 1 = (i ยท ๐ด)))
94, 4mulneg2i 11661 . . . . . . . . . . . 12 (i ยท -i) = -(i ยท i)
10 ixi 11843 . . . . . . . . . . . . 13 (i ยท i) = -1
1110negeqi 11453 . . . . . . . . . . . 12 -(i ยท i) = --1
12 negneg1e1 12330 . . . . . . . . . . . 12 --1 = 1
139, 11, 123eqtri 2765 . . . . . . . . . . 11 (i ยท -i) = 1
1413eqeq2i 2746 . . . . . . . . . 10 ((i ยท ๐ด) = (i ยท -i) โ†” (i ยท ๐ด) = 1)
15 eqcom 2740 . . . . . . . . . 10 ((i ยท ๐ด) = 1 โ†” 1 = (i ยท ๐ด))
1614, 15bitri 275 . . . . . . . . 9 ((i ยท ๐ด) = (i ยท -i) โ†” 1 = (i ยท ๐ด))
178, 16bitr4di 289 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) = 0 โ†” (i ยท ๐ด) = (i ยท -i)))
18 id 22 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
194negcli 11528 . . . . . . . . . 10 -i โˆˆ โ„‚
2019a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ -i โˆˆ โ„‚)
214a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ i โˆˆ โ„‚)
22 ine0 11649 . . . . . . . . . 10 i โ‰  0
2322a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ i โ‰  0)
2418, 20, 21, 23mulcand 11847 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((i ยท ๐ด) = (i ยท -i) โ†” ๐ด = -i))
2517, 24bitrd 279 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) = 0 โ†” ๐ด = -i))
2625necon3bid 2986 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โ‰  0 โ†” ๐ด โ‰  -i))
27 addcom 11400 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 + (i ยท ๐ด)) = ((i ยท ๐ด) + 1))
283, 6, 27sylancr 588 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (1 + (i ยท ๐ด)) = ((i ยท ๐ด) + 1))
29 subneg 11509 . . . . . . . . . . . . 13 (((i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((i ยท ๐ด) โˆ’ -1) = ((i ยท ๐ด) + 1))
306, 3, 29sylancl 587 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((i ยท ๐ด) โˆ’ -1) = ((i ยท ๐ด) + 1))
3128, 30eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (1 + (i ยท ๐ด)) = ((i ยท ๐ด) โˆ’ -1))
3231eqeq1d 2735 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((1 + (i ยท ๐ด)) = 0 โ†” ((i ยท ๐ด) โˆ’ -1) = 0))
333negcli 11528 . . . . . . . . . . 11 -1 โˆˆ โ„‚
34 subeq0 11486 . . . . . . . . . . 11 (((i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง -1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (((i ยท ๐ด) โˆ’ -1) = 0 โ†” (i ยท ๐ด) = -1))
356, 33, 34sylancl 587 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (((i ยท ๐ด) โˆ’ -1) = 0 โ†” (i ยท ๐ด) = -1))
3632, 35bitrd 279 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((1 + (i ยท ๐ด)) = 0 โ†” (i ยท ๐ด) = -1))
3710eqeq2i 2746 . . . . . . . . 9 ((i ยท ๐ด) = (i ยท i) โ†” (i ยท ๐ด) = -1)
3836, 37bitr4di 289 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((1 + (i ยท ๐ด)) = 0 โ†” (i ยท ๐ด) = (i ยท i)))
3918, 21, 21, 23mulcand 11847 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((i ยท ๐ด) = (i ยท i) โ†” ๐ด = i))
4038, 39bitrd 279 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((1 + (i ยท ๐ด)) = 0 โ†” ๐ด = i))
4140necon3bid 2986 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((1 + (i ยท ๐ด)) โ‰  0 โ†” ๐ด โ‰  i))
4226, 41anbi12d 632 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (((1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โ‰  0 โˆง (1 + (i ยท ๐ด)) โ‰  0) โ†” (๐ด โ‰  -i โˆง ๐ด โ‰  i)))
4342pm5.32i 576 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ((1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โ‰  0 โˆง (1 + (i ยท ๐ด)) โ‰  0)) โ†” (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ด โ‰  -i โˆง ๐ด โ‰  i)))
44 3anass 1096 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  -i โˆง ๐ด โ‰  i) โ†” (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ด โ‰  -i โˆง ๐ด โ‰  i)))
4543, 44bitr4i 278 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ((1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โ‰  0 โˆง (1 + (i ยท ๐ด)) โ‰  0)) โ†” (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  -i โˆง ๐ด โ‰  i))
462, 45bitri 275 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โ‰  0 โˆง (1 + (i ยท ๐ด)) โ‰  0) โ†” (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  -i โˆง ๐ด โ‰  i))
471, 46bitr4i 278 1 (๐ด โˆˆ dom arctan โ†” (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โ‰  0 โˆง (1 + (i ยท ๐ด)) โ‰  0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2941  dom cdm 5677  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108  0cc0 11110  1c1 11111  ici 11112   + caddc 11113   ยท cmul 11115   โˆ’ cmin 11444  -cneg 11445  arctancatan 26369
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-atan 26372
This theorem is referenced by:  atanf  26385  atanneg  26412  atancj  26415  efiatan  26417  atanlogaddlem  26418  atanlogadd  26419  atanlogsublem  26420  atanlogsub  26421  efiatan2  26422  2efiatan  26423  atantan  26428  atanbndlem  26430  dvatan  26440  atantayl  26442
  Copyright terms: Public domain W3C validator