Theorem atandm2 26379

Description: This form of atandm 26378 is a bit more useful for showing that the logarithms in df-atan 26369 are well-defined. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
atandm2	⊢ (𝐴 ∈ dom arctan ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0))

Proof of Theorem atandm2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		atandm 26378	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ -i ∧ 𝐴 ≠ i))
2		3anass 1095	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ((1 − (i · 𝐴)) ≠ 0 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0)))
3		ax-1cn 11167	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
4		ax-icn 11168	. . . . . . . . . . 11 ⊢ i ∈ ℂ
5		mulcl 11193	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
6	4, 5	mpan 688	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
7		subeq0 11485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → ((1 − (i · 𝐴)) = 0 ↔ 1 = (i · 𝐴)))
8	3, 6, 7	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 − (i · 𝐴)) = 0 ↔ 1 = (i · 𝐴)))
9	4, 4	mulneg2i 11660	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (i · -i) = -(i · i)
10		ixi 11842	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (i · i) = -1
11	10	negeqi 11452	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -(i · i) = --1
12		negneg1e1 12329	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ --1 = 1
13	9, 11, 12	3eqtri 2764	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (i · -i) = 1
14	13	eqeq2i 2745	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((i · 𝐴) = (i · -i) ↔ (i · 𝐴) = 1)
15		eqcom 2739	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((i · 𝐴) = 1 ↔ 1 = (i · 𝐴))
16	14, 15	bitri 274	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i · 𝐴) = (i · -i) ↔ 1 = (i · 𝐴))
17	8, 16	bitr4di 288	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 − (i · 𝐴)) = 0 ↔ (i · 𝐴) = (i · -i)))
18		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
19	4	negcli 11527	. . . . . . . . . 10 ⊢ -i ∈ ℂ
20	19	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -i ∈ ℂ)
21	4	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → i ∈ ℂ)
22		ine0 11648	. . . . . . . . . 10 ⊢ i ≠ 0
23	22	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → i ≠ 0)
24	18, 20, 21, 23	mulcand 11846	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴) = (i · -i) ↔ 𝐴 = -i))
25	17, 24	bitrd 278	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 − (i · 𝐴)) = 0 ↔ 𝐴 = -i))
26	25	necon3bid 2985	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 − (i · 𝐴)) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ -i))
27		addcom 11399	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (1 + (i · 𝐴)) = ((i · 𝐴) + 1))
28	3, 6, 27	sylancr 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 + (i · 𝐴)) = ((i · 𝐴) + 1))
29		subneg 11508	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((i · 𝐴) − -1) = ((i · 𝐴) + 1))
30	6, 3, 29	sylancl 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴) − -1) = ((i · 𝐴) + 1))
31	28, 30	eqtr4d 2775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 + (i · 𝐴)) = ((i · 𝐴) − -1))
32	31	eqeq1d 2734	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + (i · 𝐴)) = 0 ↔ ((i · 𝐴) − -1) = 0))
33	3	negcli 11527	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -1 ∈ ℂ
34		subeq0 11485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → (((i · 𝐴) − -1) = 0 ↔ (i · 𝐴) = -1))
35	6, 33, 34	sylancl 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((i · 𝐴) − -1) = 0 ↔ (i · 𝐴) = -1))
36	32, 35	bitrd 278	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + (i · 𝐴)) = 0 ↔ (i · 𝐴) = -1))
37	10	eqeq2i 2745	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i · 𝐴) = (i · i) ↔ (i · 𝐴) = -1)
38	36, 37	bitr4di 288	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + (i · 𝐴)) = 0 ↔ (i · 𝐴) = (i · i)))
39	18, 21, 21, 23	mulcand 11846	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴) = (i · i) ↔ 𝐴 = i))
40	38, 39	bitrd 278	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + (i · 𝐴)) = 0 ↔ 𝐴 = i))
41	40	necon3bid 2985	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + (i · 𝐴)) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ i))
42	26, 41	anbi12d 631	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((1 − (i · 𝐴)) ≠ 0 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0) ↔ (𝐴 ≠ -i ∧ 𝐴 ≠ i)))
43	42	pm5.32i 575	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((1 − (i · 𝐴)) ≠ 0 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ≠ -i ∧ 𝐴 ≠ i)))
44		3anass 1095	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ -i ∧ 𝐴 ≠ i) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ≠ -i ∧ 𝐴 ≠ i)))
45	43, 44	bitr4i 277	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((1 − (i · 𝐴)) ≠ 0 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ -i ∧ 𝐴 ≠ i))
46	2, 45	bitri 274	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ -i ∧ 𝐴 ≠ i))
47	1, 46	bitr4i 277	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  dom cdm 5676  (class class class)co 7408  ℂcc 11107  0cc0 11109  1c1 11110  ici 11111   + caddc 11112   · cmul 11114   − cmin 11443  -cneg 11444  arctancatan 26366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-atan 26369

This theorem is referenced by:  atanf  26382  atanneg  26409  atancj  26412  efiatan  26414  atanlogaddlem  26415  atanlogadd  26416  atanlogsublem  26417  atanlogsub  26418  efiatan2  26419  2efiatan  26420  atantan  26425  atanbndlem  26427  dvatan  26437  atantayl  26439