Theorem atandm2 27010

Description: This form of atandm 27009 is a bit more useful for showing that the logarithms in df-atan 27000 are well-defined. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
atandm2	⊢ (𝐴 ∈ dom arctan ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0))

Proof of Theorem atandm2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		atandm 27009	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ -i ∧ 𝐴 ≠ i))
2		3anass 1109	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ((1 − (i · 𝐴)) ≠ 0 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0)))
3		ax-1cn 11160	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
4		ax-icn 11161	. . . . . . . . . . 11 ⊢ i ∈ ℂ
5		mulcl 11186	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
6	4, 5	mpan 702	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
7		subeq0 11486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → ((1 − (i · 𝐴)) = 0 ↔ 1 = (i · 𝐴)))
8	3, 6, 7	sylancr 598	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 − (i · 𝐴)) = 0 ↔ 1 = (i · 𝐴)))
9	4, 4	mulneg2i 11663	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (i · -i) = -(i · i)
10		ixi 11845	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (i · i) = -1
11	10	negeqi 11452	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -(i · i) = --1
12		negneg1e1 12209	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ --1 = 1
13	9, 11, 12	3eqtri 2796	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (i · -i) = 1
14	13	eqeq2i 2782	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((i · 𝐴) = (i · -i) ↔ (i · 𝐴) = 1)
15		eqcom 2776	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((i · 𝐴) = 1 ↔ 1 = (i · 𝐴))
16	14, 15	bitri 278	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i · 𝐴) = (i · -i) ↔ 1 = (i · 𝐴))
17	8, 16	bitr4di 292	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 − (i · 𝐴)) = 0 ↔ (i · 𝐴) = (i · -i)))
18		id 23	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
19	4	negcli 11528	. . . . . . . . . 10 ⊢ -i ∈ ℂ
20	19	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -i ∈ ℂ)
21	4	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → i ∈ ℂ)
22		ine0 11651	. . . . . . . . . 10 ⊢ i ≠ 0
23	22	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → i ≠ 0)
24	18, 20, 21, 23	mulcand 11849	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴) = (i · -i) ↔ 𝐴 = -i))
25	17, 24	bitrd 282	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 − (i · 𝐴)) = 0 ↔ 𝐴 = -i))
26	25	necon3bid 3008	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 − (i · 𝐴)) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ -i))
27		addcom 11398	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (1 + (i · 𝐴)) = ((i · 𝐴) + 1))
28	3, 6, 27	sylancr 598	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 + (i · 𝐴)) = ((i · 𝐴) + 1))
29		subneg 11509	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((i · 𝐴) − -1) = ((i · 𝐴) + 1))
30	6, 3, 29	sylancl 597	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴) − -1) = ((i · 𝐴) + 1))
31	28, 30	eqtr4d 2807	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 + (i · 𝐴)) = ((i · 𝐴) − -1))
32	31	eqeq1d 2771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + (i · 𝐴)) = 0 ↔ ((i · 𝐴) − -1) = 0))
33	3	negcli 11528	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -1 ∈ ℂ
34		subeq0 11486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → (((i · 𝐴) − -1) = 0 ↔ (i · 𝐴) = -1))
35	6, 33, 34	sylancl 597	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((i · 𝐴) − -1) = 0 ↔ (i · 𝐴) = -1))
36	32, 35	bitrd 282	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + (i · 𝐴)) = 0 ↔ (i · 𝐴) = -1))
37	10	eqeq2i 2782	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i · 𝐴) = (i · i) ↔ (i · 𝐴) = -1)
38	36, 37	bitr4di 292	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + (i · 𝐴)) = 0 ↔ (i · 𝐴) = (i · i)))
39	18, 21, 21, 23	mulcand 11849	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴) = (i · i) ↔ 𝐴 = i))
40	38, 39	bitrd 282	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + (i · 𝐴)) = 0 ↔ 𝐴 = i))
41	40	necon3bid 3008	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + (i · 𝐴)) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ i))
42	26, 41	anbi12d 643	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((1 − (i · 𝐴)) ≠ 0 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0) ↔ (𝐴 ≠ -i ∧ 𝐴 ≠ i)))
43	42	pm5.32i 584	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((1 − (i · 𝐴)) ≠ 0 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ≠ -i ∧ 𝐴 ≠ i)))
44		3anass 1109	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ -i ∧ 𝐴 ≠ i) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ≠ -i ∧ 𝐴 ≠ i)))
45	43, 44	bitr4i 281	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((1 − (i · 𝐴)) ≠ 0 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ -i ∧ 𝐴 ≠ i))
46	2, 45	bitri 278	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ -i ∧ 𝐴 ≠ i))
47	1, 46	bitr4i 281	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0))

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  dom cdm 5664  (class class class)co 7413  ℂcc 11100  0cc0 11102  1c1 11103  ici 11104   + caddc 11105   · cmul 11107   − cmin 11443  -cneg 11444  arctancatan 26997

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5273  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7735  ax-resscn 11159  ax-1cn 11160  ax-icn 11161  ax-addcl 11162  ax-addrcl 11163  ax-mulcl 11164  ax-mulrcl 11165  ax-mulcom 11166  ax-addass 11167  ax-mulass 11168  ax-distr 11169  ax-i2m1 11170  ax-1ne0 11171  ax-1rid 11172  ax-rnegex 11173  ax-rrecex 11174  ax-cnre 11175  ax-pre-lttri 11176  ax-pre-lttrn 11177  ax-pre-ltadd 11178  ax-pre-mulgt0 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5559  df-po 5572  df-so 5573  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11445  df-neg 11446  df-atan 27000

This theorem is referenced by:  atanf  27013  atanneg  27040  atancj  27043  efiatan  27045  atanlogaddlem  27046  atanlogadd  27047  atanlogsublem  27048  atanlogsub  27049  efiatan2  27050  2efiatan  27051  atantan  27056  atanbndlem  27058  dvatan  27068  atantayl  27070